测量平差之条件平差

2023/11/7第三章条件平差1改正数方程：

方程的闭合差

若取

则上述方程可表示为：按求函数极值的拉格朗日乘数法组成新函数K为乘系数（联系数）,,第一节条件平差原理

函数模型2023/11/7第三章条件平差2将

对V求导并令一阶导数为0：转置后：令：法方程：法方程的解平差值：第一节条件平差原理

改正数方程基础方程法方程纯量形式2023/11/7第三章条件平差3二、精度评定

1.单位权中误差的计算其中的计算如下：推导如下：第一节条件平差原理

纯量形式观测值独立时2023/11/7第三章条件平差4二、精度评定

2.的协因数阵及互协因数阵

则上述方程可表示为：第一节条件平差原理

传播律中的K根据协因数传播律：2023/11/7第三章条件平差5二、精度评定

的协因数阵及互协因数阵根据协因数传播律：

第一节条件平差原理

2023/11/7第三章条件平差6也可以单独求：已推导得：

求解：第一节条件平差原理

2023/11/7第三章条件平差7二、精度评定

3.平差值函数的权倒数（协因数）设有平差值函数：对上式全微分得：

取全微分式的系数阵为：

由协因数传播律得：此式即为平差值函数的协因数表达式。可求得该平差值函数的方差：第一节条件平差原理

2023/11/7第三章条件平差8三、解题步骤：

（1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测值的个数t及多余观测个数r=n-t，列出平差值条件方程并转化为改正数条件方程（2）组成法方程；（3）计算联系数K；（4）计算观测值改正数V；并依据（3-1-6）式计算出观测值的平差值；（5）计算单位权中误差；第一节条件平差原理

2023/11/7第三章条件平差9（6）列出平差值函数关系式，并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f，利再计算出平差值函数的协因数QFF

，然后计算出平差值函数的协方差DFF。为了检查平差计算的正确性，可以将平差值代入平差值条件方程式，看是否满足方程关系。第一节条件平差原理

函数的方差函数的协因数线性化后2023/11/7第三章条件平差10[例3-1]n=4t=3r=1第一节条件平差原理

2023/11/7第三章条件平差11[例3-1]n=4t=3r=1第一节条件平差原理

2023/11/7第三章条件平差12第二节高程网条件平差

一、平差的目的求待定点高程平差值，并进行精度评定。二、条件方程个数的确定

条件方程个数等于多余观测个数。

r=n-t

关键在于确定必要观测个数

t

。（1）当网中含有一个或一个以上已知水准点时：

t=网中待定点数（2）当网中没有已知水准点时：

t=网中待定点数—1三、水准网条件方程的列立要求：足数、线性无关、形式简单条件方程的形式：闭合条件方程；符合条件方程。列立方法见下页，图见教材P65-66四、高程网平差举例详见教材P66-69

2023/11/7第三章条件平差13图3-2n=8t=3r=5

-平差值条件方程

第二节高程网条件平差

改正数条件方程条件方程闭合差符合条件方程闭合条件方程2023/11/7第三章条件平差14图3-3n=8t=4r=4

第二节高程网条件平差

-平差值条件方程

2023/11/7第三章条件平差15图3-4n=8t=5-1=4r=4改正数条件方程-平差值方程

条件方程闭合差

第二节高程网条件平差

2023/11/7第三章条件平差16例3-2n=8t=4r=4

-

第二节高程网条件平差

权逆阵C=1条件方程闭合差条件方程2023/11/7第三章条件平差17-

第二节高程网条件平差

观测值改正数例3-2n=8t=4r=4

法方程系数阵联系数K观测值平差值2023/11/7第三章条件平差18一、单一符合导线条件平差1.目的：求各待定点平面坐标（Xi，Yi）的平差值，并进行精度评定。2.条件方程个数的确定：观测边数：n

观测角数：n+1

待定点数：n-1

必要观测个数：t=2(n-1)=2n-2

多余观测个数（条件式个数）：

r=n+n+1-(2n-2)=3符合导线的条件方程数恒等于33.条件方程的列立已知：AB边方位角：或CD边方位角：计算值：B点坐标：C点坐标：三个条件方程：1个方位角符合条件；2个坐标符合条件第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差19一、单一符合导线条件平差3.条件方程的列立（1）方位角符合条件平差值条件方程：而：所以有：改正数条件方程：（1）式中：条件方程闭合差第三节导线网条件平差

方位角符合条件方程2023/11/7第三章条件平差20一、单一符合导线条件平差其中是第i边的方位角3.条件方程的列立（2）纵坐标符合条件所以：平差值条件方程：而：按泰勒级数展开：第i边的坐标增量：式中：将上式代入并按合并同类项得：第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差21一、单一符合导线条件平差3.条件方程的列立（2）纵坐标符合条件将上式代入所列的条件方程得：改正数条件方程：令：条件方程闭合差（2）第三节导线网条件平差

纵坐标符合条件方程2023/11/7第三章条件平差22一、单一符合导线条件平差3.条件方程的列立（3）横坐标符合条件同理可得横坐标条件方程：（3）而条件方程闭合差为：在实际运算中，S、x、y常以米为单位，w、vS、vβ以厘米为单位改正数条件方程：纵坐标条件：横坐标条件：第三节导线网条件平差

横坐标符合条件方程2023/11/7第三章条件平差23一、单一符合导线条件平差3.条件方程的列立（1）条件方程汇总（2）（3）综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是：(1)计算各边近似方位角Ti和各点的近似坐标增量值Δxi、Δyi；(2)参照（1）写出方位角条件式，参照（2）（3）写出纵横坐标条件方程式；注意单位统一，决定的取值。W的计算见上面。

(3)按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。

第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差24二、单一闭合导线条件平差只要将B和C、A和D点分别重合，即可得到闭合导线。（见图）1.方程个数确定：观测角个数n+1(含1个连接角），测边个数n，共2n+1

必要观测个数：t=2n-2.条件方程个数：r=32.条件方程列立（1）内角和条件：（2）坐标条件：第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差25三、边角权的确定及单位权中误差的计算权的确定：一般取：则：单位权中误差计算：测边中误差的计算：第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差26第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差27第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差28第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差29第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差30第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差31第三节导线网条件平差

2023/11/7第三章条件平差32第四节三角网条件平差

三角网平差的目的求待定点平面坐标平差值，并进行精度评定。三角网的种类

测角网、测边网、边角同测网。无论网型多么复杂，都是由三角形和大地四边形相互邻接或重叠而组成。当网中仅具备4个必要起算数据（一点坐标、一条边的方位、一条边的边长或已知两点坐标）时，称为自由网。这四个数据成为必要起算数据。多余四个必要起算数据时，成为非自由网。一、条件方程个数的确定

条件方程个数等于多余观测个数。

r=n-t

关键在于确定必要观测个数

t

。1.当网中有2个或2个以上已知点时

t=2倍待定点数2.当网中少于2个已知点时（1）测角网

t=2倍待定点数-4（2）测边或边角网

t=2倍待定点数-32023/11/7第三章条件平差33

测角网：n=12t=2X6-4=8r=4测边网：n=9t=2X6-3=9r=0边角网：n=21t=9r=12测角网：n=23t=12r=11测边网：n=14t=12r=2边角网：n=37t=12r=25第四节三角网条件平差

2023/11/7第三章条件平差34二、条件方程的列立条件方程的种类：图形条件（内角和条件）、水平条件（圆周条件）、极条件、方位角条件、边长条件、坐标条件。图形条件(n=15t=8r=7哪7个？)

每个三角形内角平差值和等于180

第四节三角网条件平差

2023/11/7第三章条件平差35二、条件方程的列立2.水平条件中点多边形中心点角度平差值之和等于360。

第四节三角网条件平差

2023/11/7第三章条件平差36二、条件方程的列立3.极条件中点多边形和大地四边形存在极条件。中点多边形：从中心点的任一边开始，依次推算其它边的长度，最后回到起始边，则起始边长度的平差值应该与推算值相等。（从极点出发各边之比为1）

第四节三角网条件平差

列立规律：列出从极点P出发的各条边之比，把边长比换为正弦的比，即可列出2023/11/7第三章条件平差37二、条件方程的列立3.极条件极条件的线性化：

第四节三角网条件平差

记忆规律Sin变cot分子取+分母取-常数项颠倒2023/11/7第三章条件平差38第四节三角网条件平差

二、条件方程的列立3.极条件大地四边形：取一顶点（D）为极点，从极点出发的各条边之比等于1。把边长比换为角度正弦比。

2023/11/7第三章条件平差39第四节三角网条件平差

二、条件方程的列立4.方位角条件（n=12t=4r=8哪8个？)平差值条件方程：而：即：有：常数项：方位角条件：从一个已知方位角推算另一个已知方位角，推算值应该与已知值相等。2023/11/7第三章条件平差40第四节三角网条件平差

二、条件方程的列立5.边长条件（边长条件：从一条已知边推算另一已知边，推算值等于已知值）条件方程：而：即：有：常数项：线性化方法同极条件

2023/11/7第三章条件平差41第四节三角网条件平差

二、条件方程的列立6.坐标条件而：其中：

将上述公式代入XE式，用泰勒公式线性化得：2023/11/7第三章条件平差42第四节三角网条件平差

二、条件方程的列立3.坐标条件同理得：

请大家寻找记忆规律。2023/11/7第三章条件平差43第四节三角网条件平差

三、例题（见教材P86-88）

2023/11/7第三章条件平差44第五节附有参数的条件平差

N=6T=4R=2多余已知值为1，增加一个强制符合条件，总条件数=3但不容易列出2023/11/7第三章条件平差45第五节附有参数的条件平差

一、平差原理设观测值个数：n

必要观测个数：t

多余观测个数：r

未知参数个数：u

条件式总数：c=r+u平差值条件方程将代入：式中：随机模型要求：组成新函数求导基础方程改正数方程2023/11/7第三章条件平差46第五节附有参数的条件平差

一、平差原理（1）

（2）（3）解法一