选修抛物线的简单几何性质

2.3.2抛物线的简单几何性质.FM.1、抛物线的定义：

我们把平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.复习与巩固：

抛物线的焦点坐标是：准线方程为：你还知道抛物线的标准方程还有哪些不同的形式吗？标准方程

图形

焦点

准线xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、抛物线的标准方程：x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.讲授新课：

抛物线有许多重要性质，我们根据抛物线的标准方程:研究它的一些简单几何性质1.范围：2.对称性：3.顶点：y.xoF

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,它的顶点就是坐标原点.e=1|MF|=xOyFM通径的长度：2P4.离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率.用e表示：5.焦半径：

通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物的通径。6.通径：其他各种形式类比可得，见下表：方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！特别注意：例题讲解：

例1.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且过点M，求它的标准方程.

解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M，所以，可设它的方程为因为点M在抛物线上，所以即因此，所求抛物线的标准方程是:

想一想

这是一道简单，但解法丰富的典型的抛物线问题，你能给出它的几种解法吗？变式练习：

答：方法探究：具体步骤由同学们给出.答案：

这时，直线与抛物线只有一个公共点.②由即解得

于是，当且时，方程（Ⅰ）有2个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线与抛物线有2个公共点.③由即②由即解得

于是，当且时，方程（Ⅰ）有2个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线与抛物线有2个公共点.③由即解得

于是，当时，方程没有实数解，从而方程组（Ⅰ）没有解，这时，直线与抛物线没有公共点.综上可得：

当时，直线与抛物线只有一个公共点;

当时，直线与抛物线有两个公共点;

当时，直线与抛物线没有公共点.你能通过作图验证这些结论吗？判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）

计算判别式>0=0<0相交相切相离总结：巩固与练习：1)过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为

;2)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为则为;

3）抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）164.已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB