第六章圆周运动

第六章圆周运动1圆周运动一、线速度1.定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，通过的弧长为Δs.则Δs与Δt的比值叫作线速度，公式：v＝eq\f(Δs,Δt).2.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢.3.方向：为物体做圆周运动时该点的切线方向.(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动.(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变.二、角速度1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值，公式：ω＝eq\f(Δθ,Δt).2.意义：描述物体绕圆心转动的快慢.3.单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1.不变的运动.三、周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，单位：秒(s).n：物体转动的圈数与所用时间之比.单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min).3.周期和转速的关系：T＝eq\f(1,n)(n的单位为r/s时).四、线速度与角速度的关系1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积.2.公式：v＝ωr。五、线速度和匀速圆周运动1.对线速度的理解(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快.(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上.(3)线速度的定义式：v＝eq\f(Δs,Δt)，Δs代表在时间Δt内通过的弧长.2.对匀速圆周运动的理解(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化.(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变.(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零。六、角速度、周期和转速1.对角速度的理解(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快.(2)角速度的定义式：ω＝eq\f(Δθ,Δt)，Δθ代表在时间Δt内物体与圆心的连线转过的角度.(3)在匀速圆周运动中，角速度不变.2.对周期和频率(转速)的理解(1)匀速圆周运动具有周期性，每经过一个周期，线速度大小和方向与初始时刻完全相同.(2)当单位时间取1s时，f＝n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同.3.周期、频率和转速间的关系：T＝eq\f(1,f)＝eq\f(1,n)。七、描述匀速圆周运动各物理量之间的关系1.描述匀速圆周运动各物理量之间的关系(1)v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)＝2πnr(2)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)＝2πn(3)v＝ωr2.各物理量之间关系的理解(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝eq\f(2π,T)＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了.(2)线速度与角速度之间关系的理解：由线速度大小v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq\f(1,r)；ω一定时，v∝r。八、同轴转动和皮带传动问题同轴转动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点角速度、周期相同线速度大小相等线速度大小相等规律线速度大小与半径成正比：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)2向心力一、向心力1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力.2.方向：始终沿着半径指向圆心.3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.5.表达式：(1)Fn＝meq\f(v2,r)(2)Fn＝mω2r.二、变速圆周运动和一般的曲线运动1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示.图1(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小.(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向.(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.三、实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系探究方案一用绳和沙袋定性研究如图3(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.图3在离小沙袋重心40cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：操作一手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.操作二手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.操作三改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.操作四手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.探究方案二用向心力演示器定量探究向心力演示器如图4所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.图4(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.探究方案三利用力传感器和光电传感器探究如图5所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡周运动的角速度.图5实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)①m、r一定(表一)序号123456Fnωω2②m、ω一定(表二)序号123456Fnr③r、ω一定(表三)序号123456Fnm(2)数据处理分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的图像，若Fn－ω图像不是直线，可以作Fn－ω2图像.(3)实验结论：①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.3向心加速度一、匀速圆周运动的加速度方向1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.二、匀速圆周运动的加速度大小an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r.2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.三、对向心加速度及其方向的理解1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.3.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。四、向心加速度的大小1.向心加速度公式(1)基本公式：①an＝eq\f(v2,r)；②an＝ω2r.(2)拓展公式：①an＝eq\f(4π2,T2)r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv.2.向心加速度公式的适用范围向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v即为那一位置的线速度圆心.3.向心加速度与半径的关系(如图2所示)图2【特别提醒】向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系.(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。4生活中的圆周运动一、火车转弯1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于质量太大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻.(1)弯道处外轨略高于内轨.(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧.支持力与重力的合力指向圆心.(3)在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和弹力FN的合力来提供.3.弯道的特点铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtanθ＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，如图2所示，则v0＝eq\r(gRtanθ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角。图24.速度与轨道压力的关系(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用.(2)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力.(3)当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力.二、拱形桥汽车过拱形桥汽车过凹形桥受力分析向心力Fn＝mg－FN＝meq\f(v2,r)Fn＝FN－mg＝meq\f(v2,r)对桥的压力FN′＝mg－meq\f(v2,r)FN′＝mg＋meq\f(v2,r)结论汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大三、航天器中的失重现象1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律：mg－FN＝meq\f(v2,R)，所以FN＝mg－meq\f(v2,R).2.完全失重状态：当v＝eq\r(Rg)时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态.四、离心运动1.定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动.2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力.(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机.(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度.4.物体做离心运动的原因提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足够的向心力.注意：物体做离心运动并不是物体受到“离心力”“离心力”实际上并不存在.5.合力与向心力的关系(如图3所示).图3(1)若F合＝mrω2或F合＝eq\f(mv2,r)，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”.(2)若F合>mrω2或F合>eq\f(mv2,r)，物体做近心运动，即“提供过度”.(3)若0<F合<mrω2或0<F合<eq\f(mv2,r)，则合力不足以将物体“拉回”到原轨道上，而做离心运动，即“提供不足”.四、汽车过桥问题与航天器中的失重现象(1)汽车过拱形桥(如图4)图4汽车在最高点满足关系：mg－FN＝meq\f(v2,R)，即FN＝mg－meq\f(v2,R).①当v＝eq\r(gR)时，FN＝0.②当0≤v<eq\r(gR)时，0<FN≤mg.③当v>eq\r(gR)时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险.说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态.(2)汽车过凹形桥(如图5）图5汽车在最低点满足关系：FN－mg＝eq\f(mv2,R)，即FN＝mg＋eq\f(mv2,R).说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态.由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.2.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝Meq\f(v2,R)，则v＝eq\r(gR).(2)质量为m的航天员：设航天员受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝eq\f(mv2,R).当v＝eq\r(gR)时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态.(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.