2023-2024学年福建省南平市高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年福建省南平市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知，则的虚部为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用复数的乘方及乘法运算化简复数，即可确定其虚部.【详解】，虚部为.故选：B2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A． B．1 C． D．【正确答案】A【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选：A．3．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（

）A．若直线，异面，，异面，则，异面B．若直线，相交，，相交，则，相交C．若，则，与所成的角相等D．若，，则【正确答案】C【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可.【详解】对于A，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种，如在正方体中，与异面，与异面，，或与异面，与异面，与相交于点，或与异面，与异面，与异面，故选项A错误；对于B，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种，如在正方体中，与相交于点，与相交于点，，或与相交于点，与相交于点，与相交于点，或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B错误；对于C，由异面直线所成角的定义，选项C正确；对于D，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种，如在正方体中，，，，或，，与相交于点，或，，与异面，故选项D错误.故选：C.4．已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（

）A． B．2 C． D．【正确答案】B【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案.【详解】因为，所以，即，故，故选：B5．平行四边形ABCD，点E满足，，则（

）A． B． C． D．1【正确答案】A【分析】先根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理即可得解.【详解】，又因为，所以，所以，所以.故选：A.6．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（

）A．18π B．16π C．14π D．12π【正确答案】A【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积.【详解】如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接，∵分别为的中点，则，∴正方体的边长为，故，可得，根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，故该半正多面体外接球的表面积为.故选：A.7．已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为A． B． C． D．【正确答案】C【分析】设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN则MN∥AD，∠CMN或其补角是CM与AD所成的角，由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值．【详解】如图，设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN，∵M是AB的中点，∴MN∥AD，∴∠CMN或其补角是CM与AD所成的角，设MN的中点为E，则CE⊥MN，在△CME中，ME，CM＝CN，∴直线CM与AD所成角的余弦值为cos∠CME.故选C．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（

）A．圆锥的母线长为1 B．圆锥的底面半径为2C．圆锥的体积为 D．圆锥的侧面积为【正确答案】C【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据侧面展开图为一个半圆,得出半径与母线的关系，结合圆锥的表面积求出半径与母线，然后对选项进行逐一判断即可.【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，由侧面展开图为一个半圆，则，所以，圆锥的表面积为，则，，圆锥的高，圆锥的体积为，圆锥的侧面积为，故选：C二、多选题9．已知复数满足，则（

）A． B．在复平面内对应的点位于第二象限C． D．满足方程【正确答案】AD【分析】根据复数的运算及其几何意义，逐个选项判断即可．【详解】对于A：，，故A正确；对于B：在复平面内对应的点位于第四象限，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；．故选：AD．10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为锐角，则 D．若，则在上的投影向量为【正确答案】BD【分析】利用向量模及共线向量的坐标表示，计算判断AB；利用向量夹角公式计算判断C；求出投影向量判断D作答.【详解】平面向量，，对于A，当时，，因此，A错误；对于B，，则有，解得，B正确；对于C，与的夹角为锐角，则且与不共线，当时，，解得，由B选项知，当时，与不共线，因此，C错误；对于D，当时，，而，因此在上的投影向量为，D正确.故选：BD11．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（

）A．圆锥SO的侧面积为B．三棱锥S-ABC体积的最大值为C．∠SAB的取值范围是D．若，F为线段AB上的动点，则的最小值为【正确答案】ABD【分析】A求出母线长、底面周长，应用扇形面积公式求侧面积；B棱锥体积最大只需到距离最大，并确定最大值，应用棱锥体积公式求体积；C注意确定大小即可判断；D将两个三角形展开为一个平面，由三点共线求最小值即可.【详解】A：由题设，圆锥母线，底面周长为，故侧面积为，对；B：要使三棱锥S-ABC体积最大，只需最大即可，即到距离最大，为，所以体积的最大值为，对；C：当时，△为等腰直角三角形，此时，所以，即△为等边三角形，此时，错；D：由C分析知：时△为等腰直角三角形、△为等边三角形，将它们展开成一个平面，如下图，要使，即共线，最小值为的长度，而，，则，对.故选：ABD12．在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，，，．则下列说法正确的是（

）A．为锐角三角形 B．面积为或C．AB长度为6 D．外接圆的面积为【正确答案】BD【分析】利用余弦定理求出边判断C，再利用余弦定理判断角的范围即可判断A，利用面积公式判断B，利用正弦定理求出外接圆的半径即可判断D.【详解】由，，所以，即,解得或，故C错误；当时，，所以为钝角，此时为钝角三角形，故A错误；当时，；当时，，所以面积为或，故B正确；设外接圆的半径为R，由正弦定理得，所以，所以外接圆的面积为，故D正确；故选：BD.三、填空题13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________【正确答案】【分析】利用计算即可.【详解】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点所以故在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.14．在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．【正确答案】【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．15．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为___________.【正确答案】【分析】由平行关系得出点轨迹后计算【详解】如图，取中点，中点，可知，，故平面平面，故点的轨迹为线段故16．已知点为的外心，外接圆半径为，且满足，则的面积为__________．【正确答案】【分析】由题意得到，利用，分别求得向量的两两夹角的余弦值，得出正弦值，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，因为点为的外心，可得，由，可得①，②，③；①式两边平方得，可得，所以；同理②③两边分别平方，可得，，则，，，所以.故答案为.四、解答题17．设向量满足，且.(1)求与夹角的大小；(2)求在上的投影向量.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用数量积的运算律有，结合已知和向量数量积的定义求夹角即可；（2）所求投影向量为，根据已知和数量积的运算律求投影向量即可.【详解】（1）由题设，，所以，则，，所以.（2）由在上的投影向量.18．已知圆锥的底面半径，高(1)求圆锥的表面积和体积(2)如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值【正确答案】(1),;(2).【分析】（1）由已知求得圆锥的母线长,再由圆锥的侧面积与体积公式求解;（2）作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用h表示,然后结合二次函数求最值.【详解】（1）∵圆锥的底面半径R=6，高H=8，圆锥的母线长，则表面积，体积.（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,其中，设圆柱底面半径为r，则，即.设圆柱的侧面积为.当时，有最大值为.19．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问题：的内角所对的边分别为，且满足________.(1)求A；(2)若，且，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）选择①，由正弦定理边化角可得，求得答案；选择②，由正弦定理边化角，再结合余弦定理求得答案；选择③，由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求得答案；（2）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得，利用三角形面积公式即得答案.【详解】（1）选择①，,由正弦定理，得,而,故,.选择②，,由正弦定理，得，整理得，又而.选择③，，由正弦定理，得，即，即,又，所以,故.（2）由若，且，可得，故，即，故.20．已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为.(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数，且在上有两个零点，求的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，根据题意可得出函数的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可求得的值，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间；（2）分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于的不等式组，解之即可.【详解】（1）解：因为，因为函数图象相邻对称中心之间的距离为，故函数的最小正周期为，因为，则，则，故.由可得，因此，函数的单调递增区间为.（2）解：因为，当时，，由可得，所以，函数在上单调递增，由可得，所以，函数在上单调递减，因为，，，要使得函数在上有两个零点，则，解得，因此，实数的取值范围是.21．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.(1)当为的中点时，求证：平面.(2)当平面，求出点的位置，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；(2)存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析.【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；（2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置.【详解】（1）取中点为，连接，在中，为的中点，为中点，，在平行四边形中，为的中点，，，四边形为平行四边形，面面，平面；（2）连接，相交于，连接，面，面面面，，，即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.(1)求灯柱的高（用表示）；(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.【正确答案】(1)(2)，米【分析】（1）分别在△、△中，应用正弦定理求、，即可得解析式；（2）应用正弦定理求得，并应用差角正弦公式、倍角公式、辅助角公式化简得到，根据正弦型函数性质求最小值.【详解】（1）由题设，，，在△中，则，在△中，则.所以.（2）由题意，而，则，所以，结合（1）知：，又，所以，当，时，米.2023-2024学年福建省南平市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．复数（

）A． B． C．1 D．【正确答案】C【分析】直接由复数的运算求解即可.【详解】.故选：C.2．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】由平面向量的线性运算逐步转化即可得解.【详解】=.故选：D．3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，所以平行四边形的周长是8．故选：A．4．若圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】由圆锥母线和底面半径可求得圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果.【详解】圆锥的母线长，底面半径，圆锥的高，圆锥的体积.故选：B.5．已知△ABC的三个内角为A，B，C，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】结合三角函数的性质，利用充分性与必要性的定义，可得出答案.【详解】A是△ABC的三个内角，当时，由，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6．在平行四边形中，已知，，对角线，则对角线的长为（

）A． B． C． D．2【正确答案】A【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解.【详解】根据题意，在中，由余弦定理得，因，所以，故在中，由余弦定理得，计算得.故选：A.7．在梯形中，，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【正确答案】B【分析】先利用平面向量的线性运算得到，再结合进行求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，，.故选：B.8．设为的边的中点，为内一点，且满足，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】由题意可得，由向量的线性运算可得，即且，可得，即可求得比值.【详解】因为为的边的中点，所以,又因为为内一点，且满足，所以，即，即且，因为，，所以，故选：A.二、多选题9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（

）A． B．的虚部是C．是纯虚数 D．在复平面上对应点在第四象限【正确答案】ACD【分析】由复数的模、复数的定义、复数的几何意义判断各选项．【详解】则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确．故选：ACD．10．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（

）A．若，满足||>||，且与反向，则<B．C．D．【正确答案】BD【分析】A.根据平面向量不能比较大小判断.B.根据平面向量的三角形法则判断.C.根据平面向量的数量积定义判断.D.根据平面向量的三角形法则判断.【详解】A选项.向量不能比较大小，选项A错误．B选项.根据向量加法运算公式可知，当向量和不共线时，两边之和大于第三边，即，当和反向时，，当和同向时，，所以成立，故B正确；C选项，，选项C错误．D选项.当向量和不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即当和反向时，，当和同向且时，，当和同向且时，，所以选项D正确.故选：BD11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为【正确答案】CD【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案.【详解】A选项，圆柱的侧面积为，A选项错误.B选项，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，B选项错误.C选项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C选项正确.D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为，球的体积为，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，D选项正确.故选：CD12．对于，有如下判断，其中正确的判断是（

）A．若，则为等腰三角形.B．若，则C．若，则是钝角三角形.D．若，则一定是一个钝角三角形.【正确答案】BD【分析】根据正弦函数的性质可判断A，根据正弦定理及大边对大角的性质可判断哪B，由向量夹角确定三角形内角判断C，根据所给性质及余弦定理判断D.【详解】，，或，为等腰或直角三角形，故A错误；，由正弦定理可知，，故B正确；的外角为钝角，为锐角，故C错误；设，则解得，则，因为，所以是钝角，故D正确.故选：BD三、填空题13．已知向量，且，则_______.【正确答案】2【详解】由题意可得解得.【名师点睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直.（3）向量的运算.14．是虚数单位，复数______.【正确答案】/3i+1【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】.故答案为.15．在中，若，，，则等于________.【正确答案】或.【分析】由正弦定理，求得，得到或，分类讨论，即可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，所以，因为，所以或，当时，，可得；当时，，此时，综上可得或.故或.本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得的值，得出的大小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.16．如图，在中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为___________.【正确答案】【分析】设，，用、表示、，再计算的最小值．【详解】由题意，设，，所以，.又，，所以，当时，取得最小值.故答案为.四、解答题17．已知复数．(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求m的值．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）虚部为0列出方程即可；（2）实部为0，虚部不为0列出方程即可【详解】（1）由题意得，解得（2）由题意得,即,解得18．在中，角所对的边分别为且满足（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．【正确答案】（1）；（2）最大值为2，此时【详解】（1）由正弦定理得因为所以（2）由（1）知于是取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时19．如图，在中，，，，点D在边BC上，且．(1)求AD；(2)求的面积．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）先求，然后通过正弦定理即可得结果；（2）通过余弦定理解出三角形，再计算面积即可.【详解】（1）由题意得．在中，由正弦定理，得（2）由余弦定理，得，解得．因为，所以，所以．故的面积为．20．在锐角中，分别是所对的边，已知，向量，，且．（1）求角A的大小（2）求周长的取值