北京市通州区2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

北京市通州区2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．如果是第三象限的角，那么（

）A． B． C． D．以上都不对【正确答案】C【分析】根据象限角的符号特点即可判断.【详解】如果是第三象限的角，则，，，故选：C.2．下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.【详解】显然各项函数的定义域均为R，，偶函数，A不符合；，奇函数，B符合；，非奇非偶函数，C不符合；，非奇非偶函数，D不符合.故选：B3．已知角α的终边上一点，且，则m等于（

）A． B．3 C．-3 D．【正确答案】B【分析】由三角函数的定义计算即可.【详解】由三角函数的定义可得.故选：B4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【正确答案】D【分析】由题可得函数，再根据三角函数图象变换规律，即得．【详解】由于函数，故把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.故选：D．5．下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】应用整体法，根据对应三角函数的性质判断区间单调性及其周期.【详解】由，各项函数单调性如下：由，，故在上递增，且周期为π；由，，故在上不单调；由定义域为，而不满足定义域；由，，则在上递增，且周期为4π.故选：A6．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A．1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．B．C．的图象关于直线对称D．的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称【正确答案】D【分析】对于A、B：根据图像可得，，结合周期得，代入点，分析可得；对于C：结合三角函数图象性质：在最值处取到对称轴，代入检验即可；对于D：通过平移可得，结合奇偶性分析判断．【详解】根据图象可得：，则，即，A正确；∵的图象过点，则又∵，则∴，即，B正确；∴，则为最大值∴的图象关于直线对称，C正确；的图象向右平移个单位长度得到不是奇函数，不关于原点对称，D错误；故选：D．8．已知点P是边长为1的菱形内一动点（包括边界），，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【正确答案】B【分析】根据题意，利用平面向量数量积的几何意义即可求解.【详解】解：在菱形中，因为边长为1，，所以，且，如图，过P作PQ垂直于AB于Q，过C作CE垂直于AB于E，因为点P是边长为1的菱形内一动点（包括边界），所以由平面向量数量积的几何意义，有,所以当点P在C点处时最大为，即最大，此时，所以的最大值为，故选：B.9．函数|在区间内的图象是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】分类讨论去绝对值符号，化简函数式结合正弦函数与正切函数的图象即可判定.【详解】当时，，∴，当时，，∴，由选项可判定B选项图象正确.故选：B10．刘辉（约公元225-295年），魏晋期间的数学家.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章.割圆术的核心思想是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积.运用割圆术的思想得到的近似值为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用割圆术的核心思想将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，表示其面积即可建立方程求的近似值.【详解】利用割圆术的核心思想：将圆平分60份，每份即近似一个小三角形，该三角形面积与扇形面积近似，故，故选：D二、填空题11．已知向量，，若向量与垂直，则________.【正确答案】2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】解：向量，，向量与垂直，，解得．故．本题考查实数值的求法，考查向量的数量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12．在△ABC中，若，则△ABC一定是__________三角形.（请填写锐角，直角，或钝角）【正确答案】直角【分析】利用和角正弦公式可得，结合三角形内角性质判断形状即可.【详解】由题设，则，又，所以，即△ABC一定是直角三角形.故直角三、双空题13．计算:=_________，=_________.【正确答案】/【分析】利用和角余弦公式、二倍角正切公式化简，由特殊角函数值求值即可.【详解】由，由.故，14．已知单位向量和的夹角为，则__________；则与的夹角的余弦值为________.【正确答案】/【分析】利用向量数量积的运算律求得、，再由向量夹角公式、数量积运算律求夹角余弦值.【详解】由，则，而，则，由.故，四、填空题15．对任意实数，定义运算，则关于函数的说法正确的是__________.（填序号）①函数的值域为；②当时，；③是函数的一个周期；④函数图像的对称轴为.【正确答案】①④【分析】把根据题意写成分段函数的形式，画出函数的部分图像，根据图像即可判断值域、函数值的正负、周期性、对称轴.【详解】由题意得，函数，如图，作出函数在的图像.由图可知：函数为周期函数，最小正周期为，为其中一个周期.在内，①当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，所以函数的值域为正确；②当时，，所以当时，错误；③函数的最小正周期为，所以是函数的一个周期错误；④函数关于和对称，所以函数图像的对称轴为正确.故①④五、解答题16．已知的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求的单调递增区间；(3)求在区间上的最大值.【正确答案】(1)(2)单调递增区间，(3)2【分析】（1）由周期公式，即可求参数值；（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；（3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.【详解】（1）由，可得.（2）由（1）知：，令，，则，，所以的单调递增区间，.（3）由题设，，故，所以，故最大值为2.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.(1)求边c的值；(2)若的面积为，求边b的值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理解方程即可；（2）利用三角形的面积公式解得a，再利用余弦定理可得b的值.【详解】（1）由正弦定理，所以；（2）由，结合余弦定理可得.18．已知向量，.(1)若，当时，求x的值；(2)若.（i）求的最小正周期；（ii）当时，可以取得2次最大值，求m的取值范围.【正确答案】(1)或(2)（i）；（ii）【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，应用倍角正余弦公式、辅助角公式可得，结合角的范围求x的值；（2）由向量数量积坐标表示，应用倍角正余弦、辅助角公式可得，（i）由周期公式求最小正周期；（ii）由题设，根据正弦函数性质列不等式求参数范围.【详解】（1）由题设，则，所以，故，由，故或，则或.（2）由，（i）的最小正周期；（ii）由题设，可以取得2次最大值，所以，故.19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.（i）求证:；（ii）若，，求CD的长.【正确答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C的大小；（2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；（ii）由正弦定理可得，进而得，设并表示出，应用余弦定理列方程求k，最后求CD的长.【详解】（1）由题设，则，故，所以，又，故.（2）（i）由题设，若上的高为，又，，所以，即.（ii）由，则，又为锐角，故，若，则，且，，由余弦定理知：，所以，可得或，当，则，，此时，则；当，则，即，不合题设；综上，.20．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（W/cm2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝dB）来度量，为了描述声强级D（dB）与声强I（W/cm2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:组别1234567声强I（W/cm2）10-112×10-113×10-114×10-1110-10①9×10-7声强级D（dB）1013.0114.7716.022040②现有以下三种函数模型供选择:，，.(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:；(3)已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由.【正确答案】(1)，理由见解析，(2)，(3)，理由见解析【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①处的值；由已知可得时，可得，进而可求出当时的值，进而求出②处的值；（3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得，代入关系式，即可判断与的大小关系.【详解】（1）选择.由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是同一个常数，所以不应该选择一次函数；同时当自变量增加量为时，函数值的增加量从变为，后又缩小为，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；故应选择.由已知可得，即，解得，所以解析式为.（2）由（1）知，令，可得，，故①处应填；又当时，，故②处应填.（3）解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知，故有，所以，因此，即，所以.21．设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.(1)当时，判断函数和是否具有性质？（结论不要求证明）(2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式的解集；(3)已知函数具有性质，，且的图像是轴对称图形.若在上有最大值，且存在使得，求证：其对应的.【正确答案】(1)具有性质，不具有性质；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）由函数具有性质判断即可；（2）若，函数具有性质，当时，，可确定的值，再利用性质求出在上的解析式，按分段函数解不等式即可；（3）根据函数具有性质，且函数图像是轴对称图形，在区间上有最大值，分别讨论，时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明.【详解】（1）解：函数具有性质；函数不具有性质；（2）解：若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得，又当时，故当时，有，即，所以所以当时，，，即时，故当时，不等式为，无解；当时，不等式为，又，故不等式解得：，即解集为.（3）证明：已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有，所以，所以函数的图像端点为和由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线：①若，因为时，所以对任意，有由基本不等式得，有所以对任意，有根据图像的对称性，得对任意，有这样与存在矛盾.②若，由，得又，由图像的对称性知，且，所以这与在上有最大值矛盾.综上.本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论.北京市通州区2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正确答案】D【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可.【详解】复数，则其在复平面所对应的点为，故其在第四象限，故选：D.2．设向量，，.若，则（

）A．1 B． C．2 D．【正确答案】B【分析】求出的坐标，再利用列方程求解的值.【详解】，，，，，解得.故选：B.3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：D.4．已知向量，,,则A． B． C．5 D．25【正确答案】C【详解】将平方得，选C.5．已知向量，且，则等于（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据垂直的数量积为0，结合二倍角的余弦公式求解即可.【详解】由可得，即.故选：B6．设点D为中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】将用基底表示，转化为以A为起点向量表示即可.【详解】如图，D为BC中点，O为靠近A的三等分点，，.故选：D.7．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简解析式，再求出正余弦函数的周期，最后判断函数的奇偶性，即可得出答案..【详解】因为，函数的周期为π，因为，所以是非奇非偶函数，A不正确；因为，函数的周期为2π，B不正确；因为，函数的周期为π，是偶函数，C不正确；因为，函数的周期为π，是奇函数，D正确；故选：D8．已知非零向量，，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若，则，，所以“”是“”成立的必要条件，若，则，，当，时，，成立，但.所以，“”不是“”成立的充分条件，所以“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B.9．若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A本题首先可根据诱导公式得出，然后根据二倍角公式即可得出结果.【详解】因为，所以，故选：A.本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查的公式有、，考查计算能力，是简单题.10．若向量满足：，且，则的最小值为（

）A． B．2 C．1 D．【正确答案】B【分析】由平面向量数量积的运算，结合图形以及平面向量的线性运算求解即可.【详解】设，，，为，的中点，则，，，，因为，，所以，，则，因为是直角三角形，所以，（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）所以，因为，当且仅当在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，且在线段上时取等号，如下图示，所以，所以的最小值为2.故选：B.二、填空题11．复数满足，则__________.【正确答案】【分析】利用复数模长的求法可得答案.【详解】因为，所以.故答案为.12．若，，，，则______．【正确答案】【分析】根据角的取值范围和同角三角函数的基本关系得到，，然后利用两脚差的正弦即可求解.【详解】因为，，且，所以，又因为，则，所以，又因为，所以，故答案为.13．已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为__________．【正确答案】12【分析】计算出正四棱锥的侧棱长以及侧面三角形的高，进而可计算出该正四棱锥的表面积.【详解】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，则为的中点，且，，取的中点，连接，则，且，，故正四棱锥的表面积为.故12.14．角的始边均为x轴非负半轴，它们的终边关于轴对称.如图，角的终边与单位圆交于点，则________，________．【正确答案】/-0.80【分析】根据三角函数的定义即可求解，进而由正切的和角关系即可代入求值.【详解】由角的终边与单位圆交于点可知，由于的终边关于轴对称，所以在的终边上，故，所以,故,0三、双空题15．在中，为线段的中点，，（1）若，则的面积为__________.（2）面积的最大值为__________.【正确答案】/【分析】①由等边三角形面积公式求解结果；②由余弦定理结合三角形面积公式及二次函数求最值得到结果.【详解】在中，，，所以为等边三角形，由为线段的中点，则为的高，所以，则.的面积为.设.在中，由余弦定理得，故的面积为，当时面积取到最大值，最大值为.故；.四、解答题16．已知向量与的夹角为，且.(1)求；(2)当为何值时.【正确答案】(1)(2).【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果.（2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果.【详解】（1）由已知得，因为.所以（2）若，即，所以，即，所以，即当时，.17．已知函数.(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的最值.【正确答案】(1)3，最小正周期为(2)最大值3，最小值【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式化简函数，再代入求值，求解周期；（2）先根据的范围求出的范围，再求解最值.【详解】（1）;;的最小正周期为.（2）因为，所以.所以.所以，即.时，最大值3;时，最小值.18．如图，在中，D是BC边上一点，，，．（1）求AD的长；（2）若，求角B的大小【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【详解】解：（1）在中，，，．利用余弦定理，解得．（2）利用余弦定理，所以，在中，利用正弦定理，整理得，故．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．在中，，．(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为．【正确答案】(1)(2)选择条件②,;选择条件③.【分析】(1)利用余弦定理求解即可；(2)根据条件①②③逐一计算，满足三角形只有一个解即可，再求面积.【详解】（1）由余弦定理知，，因为，所以．（2）选择条件①：把，代入中，化简得，解得，所以存在两个，不符合题意；选择条件②：因为，，所以，由正弦定理知，，所以，因为，所以的面积．选择条件③：因为的周长为，且，所以，又，所以，解得，所以的面积.20．无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930