2023-2024学年八年级数学上册 专题1.2 与三角形有关的角（八大题型）（解析版）

专题1.2与三角形有关的角（八大题型）重难点题型归纳【题型1运用三角形内角和直接求角的度数】【题型2三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】【题型3三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】【题型6运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【题型7判断直角三角形】【题型8运用直角三角形两锐角互余的性质】【题型1运用三角形内角和直接求角的度数】1．（2023•石家庄三模）根据图中的数据，可得x+y的值为（）A．180 B．110 C．100 D．70【答案】B【解答】解：由图可知，x+y＝180°﹣70°＝110°．故选：B．2．（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（）A．32° B．34° C．36° D．38°【答案】C【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝4∠C，∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°．故选：C．3．（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（）A．72° B．92° C．108° D．180°【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，又∵∠A＝45°，∠B＝63°，∴45°+63°+∠C＝180°，∴∠C＝72°，故选：A．4．（2023春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠B的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．60°【答案】C【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+2x+4x＝180°，∴x＝20°，∴∠B＝2x＝40°．故选：C．【题型2三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】5．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（）​A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：∵△ABC中，∠A＝2∠C，∴设∠C＝α，那么∠A＝2α，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣3α），∵BD⊥AC，∠DBE＝20°，∴∠ABD＝∠ABE﹣∠DBE＝（180°﹣3α）﹣20°＝70°﹣α，∴∠A+∠ABD＝2α+70°﹣α＝90°，∴α＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α＝60°．故选：B．6．（2023春•东台市月考）如图，AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC，E为CA延长线上的点，过E作EG⊥BC于G，交AB于点F．（1）试说明∠3＝∠E；（2）若∠B＝32°，求∠E的度数．【答案】（1）见解答过程；（2）58°．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠DGE＝∠CDA＝90°，∴AD∥EG，∴∠2＝∠E，∠1＝∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠E；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝32°，∴∠1＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝58°，∵∠1＝∠3，∠3＝∠E，∴∠E＝58°．7．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度数．【答案】42°．【解答】解：∵CD是AB边上高，∠BFC＝114°，∴∠BDF＝90°，∴∠ABE＝∠BFC﹣∠BDF＝114°﹣90°＝24°，∵BE为角平分线，∴∠CBF＝∠ABE＝24°，∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠CBF＝180°﹣114°﹣24°＝42°．8．（2023春•建湖县期中）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．【答案】（1）14°；（2）21°．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∠B＝76°，∠C＝48°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣48°＝56°，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣76°＝14°，∵AE平分∠BAC，∴，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝28°﹣14°＝14°；（2）∵∠B﹣∠C＝42°，∴∠B＝∠C+42°，∵AD是△ABC的高，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣（∠C+42°）﹣∠C＝138°﹣2∠C，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣（∠C+42°）＝48°﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝69°﹣∠C﹣（48°﹣∠C）＝21°．9．（2023春•济南期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．【答案】82°．【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣56°＝84°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACB＝×84°＝42°．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣56°＝34°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝42°﹣34°＝8°．∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝90°﹣8°＝82°．【题型3三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】10．（2023•蜀山区模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（）A．5° B．10° C．15° D．25°【答案】C【解答】解：∵一副直角三角尺如图摆放，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠F＝45°，∵EF∥BD，∴∠CDE＝∠DEF＝45°．∵∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠CDE＝180°﹣120°﹣45°＝15°．故选：C．11．（2023•陕西模拟）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（）A．51° B．61° C．65° D．75°【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝43°，∴∠ADE＝∠B＝43°，∵△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．∴∠ACM＝∠B+∠A＝43°+∠A，∴∠ACE＝，∵∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，∵，∴∠A＝61°．故选：B．12．（2023•滑县二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（）A．40° B．45° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝45°，∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠DAC＝45°，故选：B．13．（2023春•泗阳县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【解答】解：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C＝55°，又∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴∠B＝180°﹣55°﹣60°＝65°．故选：B．14．（2023•长沙一模）如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（）A．105° B．85° C．80° D．75°【答案】B【解答】解：∵EF∥AB，∠ACE＝65°，∴∠A＝∠ACE＝65°，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣30°＝85°．故选：B．15．（2023•定远县二模）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56° B．34° C．36° D．24°【答案】A【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝58°，∴∠CDE＝∠1＝58°，∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，∵△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，故选：A．16．（2023春•长沙期中）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．（1）求证：DF∥AB．（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．【答案】（1）见解答；（2）70°．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠B＝∠AED，∵∠1＝∠AED，∴∠1＝∠B，∴DF∥AB．（2）∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝55°，∵DF平分∠CDE，∴∠EDC＝2∠EDF＝110°，∴∠A＝∠EDC﹣∠AED＝∠EDC﹣∠1＝110°﹣55°＝55°，∵DE∥BC，∴∠A＝∠CDF＝55°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝70°．17．（2023春•锡山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2．（1）求证：AF∥BC；（2）若AC平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1的度数．【答案】（1）见解析；（2）72°．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2，∴AF∥BC；（2）解：∵AF∥BC，∴∠B+∠BAF＝180°，∵∠B＝36°，∴∠BAF＝144°，∵AC平分∠BAF，∴∠2＝∠BAF＝72°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝72°．18．（2023春•南康区期中）已知△ABC中，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，∠B＝70°，求∠1的度数．【答案】70°．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠BCD＝∠2，∴DE∥BC，∴∠1＝∠B，∵∠B＝70°，∴∠1＝70°．19．（2023春•盐城月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．（1）问：FG∥BC吗？为什么？（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度数．【答案】（1）见解答；（2）50°．【解答】（1）证明：∵DE∥FC，∴∠1＝∠BCF．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF，∴FG∥BC；（2）解：∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．又由（1）知，FG∥BC，∴∠B＝∠AFG＝50°．20．（2023春•夏邑县月考）如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．（1）求证：∠1+∠2＝180°；（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．【答案】（1）见解答过程；（2）90°．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠3＝∠B，∴∠3＝∠ADE，∴EF∥AB，∴∠2＝∠DFE，∵∠1+∠DFE＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（2）解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠ADC＝2∠B，∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADC＝180°，∴2∠B+2∠B＝180°，解得：∠B＝45°，由（1）得AB∥EF，∴∠1＝∠ADC＝2∠B＝90°．21．（2023春•开福区校级月考）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D、E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E．（1）求证：BD∥AF；（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度数．【答案】（1）见解析；（2）55°．【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，∵AF∥CE，∴∠E＝∠BAF，∴∠E＝∠CAF，又∵∠D＝∠E，∴∠D＝∠CAF，∴BD∥AF；（2）解：由（1）知BD∥AF，∴∠ABD＝∠BAF，∵AF平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAF＝2∠ABD，∵∠ABD＝2∠ABC，∴∠BAC＝4∠ABC，∵∠BAD＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝100°，∴，∴∠ACF＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝55°．【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】22．（2022秋•邯山区校级期末）如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（）A．40° B．100° C．140° D．160°【答案】C【解答】解：连接AA′．∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，∵∠EAD＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，∴∠EAD＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，故选：C．23．（2022秋•靖西市期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．（1）求证：∠BAE＝∠C．（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度数．【答案】（1）详见解答；（2）84°．【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAD．∵将△CDE沿DE对折后，点C落在点A处，∴DE垂直平分AC．∴EA＝EC．∴∠EAD＝∠C．∴∠BAE＝∠C．（2）解：由（1）可得，∠EAD＝∠BAE＝∠C，∴∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°．∵∠BAC+∠C+∠B＝180°．∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（∠EAD+∠BAE+∠C）＝180°﹣3×32°＝84°．24．（2022春•交城县校级期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD＝∠DAF，∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∠ADC＝50°+30°＝80°，∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝100°，∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC＝100°﹣80°＝20°．25．（2022秋•沂水县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．【答案】28°．【解答】解：如图所示：∵∠1是△ADF的外角，∴∠A+∠AFD＝∠1；又∵∠AFD是△EFA'的外角，∴∠2+∠A'＝∠AFD，∴∠A+∠2+∠A'＝∠1，由折叠可知∠A＝∠A'，且∠1＝80°，∠2＝24°，∴∠A+24°+∠A＝80°，即：2∠A＝56°，解得：∠A＝28°．26．（2023春•镇江期中）已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．（1）如图1，若∠ADB'＝110°，则∠CEB'的度数是50；（2）利用备用图画图并探究当CB'∥AB时，∠CB'E与∠ADB'满足的数量关系，并说明理由；【答案】（1）50°；（2）∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．【解答】解：（1）如图，连接BB'，由翻折的性质可知，∠DBE＝∠DB'E＝80°，∴∠ADB'＝∠DBB'+∠DB'B＝110°，∴∠EBB'+∠EB'B＝160°﹣110°＝50°，∴∠CEB'＝∠EBB'+∠EB'B＝50°，故答案为：50；（2）①如图，当点D线段AB上时，结论：∠CB'E+80°＝∠ADB'，理由：连接CB'，∵CB'∥AB，∴∠ADB'＝∠CB'D，由翻折可知，∠B＝∠DB'E＝80°，∴∠CB'E+80°＝∠CB'D＝∠ADB'；②如图，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB'E+∠ADB'＝80°，理由：连接CB'，∵CB'∥AD，∴∠ADB'+∠DB'C＝180°，∵∠ABC＝80°，∴∠DBE＝∠DB'E＝100°，∴∠CB'E+100°+∠ADB'＝180°，∴∠CB'E+∠ADB'＝80°；综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．27．（2022秋•城关区校级期末）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A；研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．【答案】（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．【解答】解：（1）∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A；故答案为：∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A＝∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；故答案为：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．理由：DA′交AC于点F，∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A＝∠DA′E，∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．28．（2022春•福山区期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝260°．（2）如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A′处，则∠1+∠2＝160°．（3）如图③，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数．（4）如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．【答案】（1）260°；（2）160°；（3）∠B+∠C＝140°；（4）∠A＝28°．【解答】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠AED＝260°，故答案为：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，∵翻折，∴∠EDA’＝∠ADE，∠AED＝∠DEA’，∴∠ADA’+∠AEA’＝2（∠ADE+∠AED）＝200°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ADA′+∠AEA′）＝160°，故答案为：160°；（3）连接AA'．如图所示：∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A＝∠EAD+∠EA′D，∵∠EAD＝∠EA'D，∴∠1+∠2＝2∠EAD＝80°，∴∠EAD＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°．（4）如图，设AB与DA'交于点F，∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，由折叠可得，∠A＝∠A'，∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，又∵∠1＝80°，∠2＝24°，∴80°＝2∠A+24°，∴∠A＝28°．【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】29．（2023春•青羊区校级期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为20°或84°．．【答案】20°或84°．【解答】解：∵∠BFD+∠BEC＝180°，∠BEC+∠AEB＝180°，∴∠BFD＝∠AEB，∴AC∥DF，∴∠AED＝∠EDF，∵∠EDF＝∠C，∴∠C＝∠AED，∴DE∥BC，∴∠BED＝∠CBE，∵DE平分∠AEB，∴∠AED＝∠BED，∴∠C＝∠CBE，∵△BCE是“德馨三角形”，∴当7∠C＝∠BEC时，则∠C+∠C+∠BEC＝180°，解得：∠C＝20°；当7∠BEC＝∠C时，∠C+∠C+∠C＝180°，解得：∠C＝84°．故答案为：20°或84°．30．（2022•西城区校级开学）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为90°，那么倍角α的度数是90°或60°．【答案】90°或60°．【解答】解：若90°的角为倍角，则倍角α＝90°，若另外两个内角中较大角为倍角，其角度为α，则较小内角角度为，三角形内角和180°，∴，解得α＝60°．综上，倍角α的度数是90°或60°．故答案为：90°或60°．31．（2022春•宛城区校级月考）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”．其中α称为“特征角”，若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为45°或30°．【答案】90°或60°．【解答】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”＝×90°＝45°；②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，由题意得，x+2x＝90°，解得x＝30°，所以，“特征角”是30°，综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°．故答案为：90°或60°．32．（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“2倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．【答案】（1）2；（2）18°或54°．【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，故答案为：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB＝∠BAC，∠DBA＝∠ABC，∴∠DAB+∠DBA＝×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．33．（2022秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝18°，△AOB是（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．34．（2022秋•荔城区校级月考）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为30°，△AOB不是（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．【答案】（1）30°；不是；（2）△AOC是“和谐三角形；（3）∠B＝80°或∠B＝30°．【解答】解：【简单应用】（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，∴∠MON＝2∠ABO，∴△AOB不是“和谐三角形”，故答案为：30°；不是．（2）证明：∵∠MON＝60°，∠ACB＝84°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝84°﹣60°＝24°，∴∠ACO＝96°＝4×24°＝4∠OAC，∴△AOC是“和谐三角形”．【应用拓展】∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝80°或∠B＝30°【题型6运用三角形内角和定理探究角的数量关系】35．（2023春•江北区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．【答案】（1）∠E＝25°；（2）∴∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由见解答．【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°，∴∠ADC＝65°，∴∠E＝25°；（2）．设∠B＝n°，∠ACB＝m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2＝∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°，∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．36．（2023春•仪征市月考）如图，将△ABC沿射线BA方向平移到△A'B'C'的位置，连接AC'，CC'．（1）AA'与CC'的位置关系为AA′∥CC′；∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝180°；（2）设∠AC'B'＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC'与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）AA′∥CC′；180°；（2）∠CAC'＝x+y．【解答】解：（1）由平移的性质可得：AA′∥CC′；根据平移性质可知A'C'∥AC，AA'∥CC'，∴∠A'＝∠BAC，∠BAC＝∠ACC'，∴∠A'＝∠ACC'，∵∠ACC'+∠CAC′+∠AC′C＝180°，∴∠A'+∠CAC'+∠AC'C＝180°，故答案为：AA′∥CC′；180°；（2）结论：∠CAC'＝x+y，过点A作AD∥BC，交CC'于点D，根据平移性质可知B'C'∥BC，∴B'C'∥AD∥BC'，∴∠AC'B'＝∠C'AD，∠ACB＝∠DAC，∴∠CAC'＝∠C'AD+∠CAD＝∠AC'B'+∠ACB＝x+y，即∠CAC'＝x+y．37．（2022秋•邢台期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝50°．Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①，连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A；又∵∠A＝40°，∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50；Ⅱ．由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°，又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABP+∠ACP）＝45°，∴∠BDC＝45°+40°＝85°．38．（2023春•虹口区期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数45°．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C＝∠C﹣∠B，即∠DAE＝∠C﹣∠B；（3）∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG，∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G，∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G，即∠AEC＝2∠G，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠G＝45°．故答案为45°．【题型7判断直角三角形】39．（2023•漳浦县模拟）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝1：5：6，设∠A＝x，则x+5x+6x＝180，x＝15°，∠C＝15°×6＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三