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文档简介

例.非均匀分布立体的质量设有空间立体

,当

的质量是均匀分布时,则的质量M=的体密度×的体积.若

的质量不是均匀分布的,则不能上述方式算质量M.设空间立体.其质量非均匀分布,体密度

(x

,y,z)连续,求的质量M.第二节三重积分一、三重积分的概念及性质(i)将分成n

个小立体

1,

2,…,

n,记

Vi表示的

i的体积,i=1,2,…,n.由于

(x

,y,z)连续,从而当i很小时,在i上

(x

,y,z)的变化不大.可近似看作不变.(ii)即,(

i,

i,

i)Di,以

(

i,

i,

i

)作为

i的体密度.从而,

i的质量mi

(

i,

i,

i)V

i(iii)因此,

的质量(iv)

设R3为有界闭区域,f(x,y,z)是定义在上的有界函数.将任意分成n个无公共内点的小区域i,(i=1,2,…,n),用Vi表示i的体积.并记如果对任意的分法和任意的取法,当

0时,和式则称f(x,y,z)在上可积,记为f(x,y,z)R(),定义1并称此极限值I为f(x,y,z)在上的三重积分,记作其中“

”称为三重积分号,称为积分区域,f(x,y,z)称为被积函数,dv称为体积元素,三重积分也记为即三重积分的性质与二重积分性质完全类似,比如若f(x,y,z)在上连续,则f(x,y,z)在上可积;常数因子可从积分号中提出来;和的积分等于积分之和;积分的可加性;积分的保号性;积分中值定理等.1.直角坐标系下三重积分的计算.类似于二重积分,三重积分可化为三个定积分计算(三次积分).设是R3中一母线平行于z轴,上,下底分别为z=z2(x,y),z=z1(x,y)的柱体.在xy面上的投影区域记为Dxy.如图0yzxz2=z2(x,y)Dxybaz1=z1

(x,y)二、三重积分的计算为x—型区域)0yzxz2=z2(x,y)Dxybaz1=z1(x,y)y=y1(x)y=y2(x)即为y—型区域.则应用时先画出的草图,看z是从哪一曲面变到哪一曲面.确定最里层积分上,下限.然后到Dxy上作二重口诀:从里到外,面—面,线—线,点—点.积分.注:1.当是一柱体,但侧面的母线平行于y轴,它在xz面上的投影区域为Dxz,则可选择先对y积分,然后到Dxz上作二重积分.2.当是一柱体,但侧面的母线平行于x轴,它在yz面上的投影区域为Dyz,则可选择先对x积分,然后到Dyz上作二重积分.3.当的母线退缩成一点时,此时不是柱体.比如.但作三重积分时,仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理,

:x2+y2+z21.则Dxy:x2+y21.例1.

y=0,z=0和x+y+z=1所围成的四面体.y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=1类似,例2.

y0zx1注意,由于先对x,再对y,再对z的积分里面的两个定积分(二次积分)本质上就是一个二重积分,因此,在很多情形下可先做一个二重积分,再做一个定积分,称为“先二后一”的积分,相应地称前面的方法为“先一后二”的积分.设空间有界闭区域满足C1

z

C2,并且以平行于xy面的平面z=常数(z)截所得平面区域为Dz,则(特别,若f(x,y,z)=g(z))0yzxC1C2zDz

例3.

yzx0

ccDz

关于利用对称性积分.设有界闭区域的形状关于xy面对称,且f(x,y,z)=f(x,y,z),若f(x,y,z)=f(x,y,z),其中

1是中处于xy面上方部分.类似可得关于xz面对称,而f(x,y,z)关于y是奇,偶函数的结论,以及关于yz面对称,而f(x,y,z)关于x是奇,偶函数的结论.(1)若关于平面y=x对称,则f(x,y,z)满足什么条件时,有上述两个结论?(2)不积分,其中为单位球x2+y2+z21.2.三重积分换元法.设变换T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)将

*变到,且函数x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)C1(*),雅可比行列式定理1例4.设:x2+y2+z2

1.z

0,1是中在第一卦限中的部分,证明则

1*:y2+z2+x2

1,y

0,z

0,x

0,即

1*=

1故

1:x2+y2+z2≦1,x≧0,y≧0,z≧0.作变量代换,令x=y,y=z,z=x.

故一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z后,的表达式不变(即具有“轮换性”),则3.利用柱面坐标求三重积分.设点M=(x,

y,z)R3,它在xy面上的投影点为P=(x,y,o)显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z,反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M.因点P可用其极坐标确定,故M可由P的极坐标r,

以及z唯一确定,称为柱面坐标.zxyo

P=(x,y,o)M=(x,y,z)r所以在柱面坐标中r=常数,则在直角坐标系中的图形为圆柱面,点M的直角坐标(x,y,z)和它的柱面坐标(r,,z)的关系为:x=rcos

,y=rsin

,z=z,其中0

r<+,0

2(或

)<z<+.易见,在柱面坐标中,x2+y2=a2化为r=a(a>0)y=kx化为tg

=k即,

=常数.而

=常数,则在直角坐标系中的图形为过z轴的平面,z=常数为平行于xy面的平面.设变换T:x=rcos,y=rsin,z=z将柱面坐标系中的区域*变成直角坐标系中的区域,易算得从而一般,若是一母线平行于z轴的柱面,z1(x,y)

z

z2(x,y),(x,y)

Dxy,在xy面上的投影区域Dxy适合用极坐标处理(如圆,曲边扇形等),则可考虑用柱面坐标求三重积分.并可将其化为先对z,再对r,再对

的三次积分(即先对z积分,然后在Dxy上用极坐标做二重积分).例5.计算其中:x2+y2+z2

1,且z

0.解:

是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位圆x2+y2

≦1.令x=rcos

,y=rsin

,z=z,则平面z=0和球面即0

z

且0

r

1,0

2,其中由x2+y2=2z及z=2所围成.例6.求xzyx2+y2=2zx2+y2=4或r=2o2注:常用的二次曲面有,球面,椭球面,柱面.a(x2+y2)=z(旋转抛物面),ax2+by2=z(椭圆抛物面),a2(x2+y2)=z2(圆锥面).为确定OM的方向,记

为OM在xy面上的投影与x轴正向的夹角(与柱面坐标中

相同),4.利用球面坐标计算三重积分.为OM与z轴正向夹角,而OM又是由其长度和其方向唯一确定.记||OM||=,R3中的点M=(x,y,z)与向量OM一一对应.则当OM的方向确定时,

,

唯一确定,反之亦然.故M与数组(

,

,

)一一对应.zxyo

P=(x,y,o)M=(x,y,z)

r称(

,

,

)为点M的球面坐标,规定0

<

+,0

,0

2

(或

)由图知,直角坐标与球面坐标的关系为x=rcos=sin

cos

,y=rsin

=

sin

sin

,z=

cos.用球面坐标,可将x2+y2+z2=a2化为

=a(a>0),将圆锥面a(x2+y2)=z2化为=常数,将y=kx化为=常数.即=常数,=常数=常数分别表球面,圆锥面,过z轴的半平面.zxyo

P=(x,y,o)M=(x,y,z)

r若变换T:x=rsin

cos

,y=rsin

sin

,z=rcos

将*变到,易算得右端一般化为先对r,再对

,再对

的三次积分.

注:本教材用字母r表示

.即x=rsin

cos

,y=rsin

sin

,z=rcso

.(此处r与柱面坐标中的r意义不同).确定r,

,

的变化范围的方法(与用极坐标算二重积分类似)(1)若由两曲面围成,其球面坐标方程为r=r1(

,

),r=r2(

,

).以原点为起点作向量穿过,先遇到的曲面为r=r1(

,

),后遇到的曲面为r=r2(

,

),则r1(

,

)r

r2(

,

).

,

的变化范围要由其几何意义视具体情况确定.(2)若原点在的边界上,以原点为起点所作的穿过的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程为r=r

(

,

),(3)若包含原点,围成的曲面方程为r=r

(

,

),则0r

r(

,

),0

,0

2

.

,

的变化范围可根据它们的几何意义,视具体情况确定.则0r

r(

,

),例7.求由半径R的球面x2+y2+z22Rz=0和半顶角为

的圆锥面ctg2

(x2+y2)=z2围成的立体的体积V,其中位于圆锥面上方,球面下方.0yzx

由前面的(2)及的形状知0r2Rco

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