直线和平面垂直练习题

直线与平面垂直练习题

一、解答题1.如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，.1.求证：平面；2.求异面直线与所成角的大小．如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，且为正三角形.（1）求证：平面；（2）若，三棱锥的体积为1，求点到平面的距离.3.如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，，是的中点，为的中点，过的平面交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．4.如图,在三棱锥中,平面平面,,,,D为线段上的点,且,.1.求证:平面;2.若,求点B到平面的距离.5.如图所示，在三棱锥中，分别是的中点,,.1.求证：平面；2.求异面直线与所成角的余弦值；6.如图,在三棱锥中,,,为的中点.1.证明:平面;2.若点在棱上,且,求点到平面的距离.7.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，是的中点，是的中点．（1）求证：平面（2）求证:平面．8.如图，在三棱柱中，,侧面底面.1.求证:平面;2.若,求三棱柱的体积.9.直三棱柱中,,.1.证明:平面;2.设四边形的两条对角线的交点为D,求三棱锥的体积.10.如图,D是的中点,四边形是菱形,平面平面，.1.若点M是线段的中点，证明:平面;2.求六面体的体积.11.如图,三角形中,,是边长为1的正方形,平面⊥平面,若分别是的中点.

1.求证:平面;

2.求证:平面;

3.求几何体的体积.二、计算题12.如图，在直三棱柱中，，，1.证明：⊥平面；2.求三棱锥的体积。

参考答案一、解答题1.答案：1.证明：∵平面，平面，∴又∵，，∴，又∵，∴面2.∵，∴异面直线与所成角是或其补角，∵，且,∴平面，平面，∴在中，∵，，∴，∴异面直线与所成角的大小为解析：2.答案：（1）证明：在正中，是的中点，因此．由于是的中点，是的中点，因此，故．又，平面，因此平面．由于平面，因此．又平面，因此平面．（2）设,则三棱锥的体积为，得设点到平面的距离为．由于为正三角形，因此．由于，因此．因此．由于，由（1）知，因此．在中，，因此．由于，因此，即．因此．故点到平面的距离为．解析：3.答案：（1）由于，平面，平面，因此平面．又平面平面，因此．又由于，因此．又由于为的中点，所觉得的中点，因此．由于为的中点，，因此，因此四边形为平行四边形，因此．又由于平面，平面，因此平面．（2）由于四边形是边长为2的菱形，且为中点，因此．又由于，因此平面．由于，因此平面．（3）如图建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，.设平面的法向量，则，令，则，.直线与平面所成角的正弦值为．解析：4.答案：1.连接,据题知,,,∴,∴,∴,∴,∴,则.∵平面平面,∴平面,∴,∵,,∴.2.由题1得,∵,∴,,在中,,∴是等腰三角形,∴可求得.设点B到平面的距离为d,由,得,∴.故点B到平面的距离为3.解析：5.答案：1.证明：连接在中，由已知可得，而，即2.取的中点，连接由为的中点知直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角.在中,，是斜边上的中线解析：6.答案：1.证明：连接，由于为的中点，则。由勾股定理得：，而，因此在中，为中点，，因此，由勾股定理得。由于，则，故是直角三角形，且由于，则平面。2.连接，过作于点，由于平面因此，又，因此平面。由于，，则。在中，由于，，则是等腰直角三角形，且。则，则。在中，由勾股定理有：。由于，则而。设点到平面的距离为。则。故。即点到平面的距离为。解析：7.答案：（1）连，∵在菱形中，，∴为等边三角形，∵是中点，∴，又平面，平面，∴，∵，∴平面，（2）证明：取中点点，连，∵分别是，中点，∴且又且，∴且。∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．解析：8.答案：1.在侧面中,∵,∴四边形为菱形,∴.∵侧面底面,∴平面.∵平面,∴.又,∴平面.2.如图,过作,垂足为D.∵平面平面,平面平面,∴平面,∴为三棱柱的高.∵，∴,又,∴为等边三角形,∴.∴.解析：9.答案：1.∵,,,∴平面,∵平面,∴.易知四边形是正方形,∴,

又,∴平面.2.由题1得点B到平面的距离为.,∴.解析：10.答案：1.如图,连接.∵四边形为菱形,且,∴为等边三角形.∵M是的中点,∴.∵时的中点,∴∵平面平面,平面平面平面，∴平面.又平面,∴.又,∴平面.2..由1知平面,∴.∴解析：11.答案：1.取的中点的中点连结、、(如图)

∵、分别是和的中点

∴,且,

,且,

又∵为正方形

∴

∴且

∴为平行四边形

∴,又面,面

∴平面

2.∵为正方形,∴,

又∵平面平面,∴平面

∵面,∴

又∵

∴,

∵,

∴平面

3.连结,由于,∴,

又平面平面,平面,

∴平面。

∵三角形是等