向量数量积专题

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--内页能够根据需求调节适宜字体及大小--向量数量积专项(总)(总12页)平面对量的数量积【知识点精讲】一、平面对量的数量积（1）已知两个非零向量和，记为，则叫做向量与的夹角，记作，并规定。如果与的夹角是，就称与垂直，记为（2）叫做向量与的数量积（或内积），记作，即=.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是两个非零向量与平行的充要条件是二、平面对量数量积的几何意义数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，即（在方向上的投影为）；在方向上的投影为三、平面对量数量积的重要性质性质1性质2性质3当与同向时，；当与反向时，；或性质4性质5注：运用向量数量积的性质2能够解决有关垂直问题；运用性质3能够求向量长度；运用性质4能够求两向量夹角；运用性质5可解决不等式问题。四、平面对量数量积满足的运算律（1）（交换律）；（2）（为实数）；（3）（分派律).数量积运算法则满足交换律、分派律，但不满足结合律，不可约分不能得到。五、平面对量数量积有关性质的坐标表达设向量则，由此得到：若则或设则两点间距离设是与的夹角，则①非零向量，的充要条件是②由得六、向量中的易错点（1）平面对量的数量积是一种实数，可正、可负、可为零，且（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是由于任一与垂直的非零向量都有。当且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但（3）数量积不满足结合律，即，这是由于是一种与共线的向量，而是一种与共线的向量，而与不一定共线，因此不一定等于。即凡有数量积的结合律形成的选项，普通都是错误选项。（4）非零向量夹角为锐角（或钝角），当且仅当且（或且）.【题型归纳】一、平面对量的数量积【例1】（1）在中，则().（北京理13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为；的最大值为。在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）.【变式1】如图5-27所示，在平行四边形中，，垂足为，且,则.【变式2】在中，，若为的重心，则.【例2】如图所示，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是.【变式1】如图所示，在中，，，，是边上一点，，则.【变式2】如图所示，在中，，，，则.【变式3】已知为等边三角形，，设点满足，，，若，则（）。【例3】已知向量满足，，则.【变式1】在中，若，则.【变式2】已知向量满足，且，，则=.【变式3】已知向量满足，且若，则.【例4】设是单位向量，且，则的最小值为（） 【变式1】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是（）. 【变式2】（安徽理14）若平面对量满足，则的最小值是.【例5】在中，是的中点，，则=.二、平面对量的夹角 求夹角，用数量积，由，得，进而求得向量夹角.【例1】已知向量,则与则的夹角是.【例2】已知是非零向量且满足，则与则的夹角是（）.【例3】已知向量满足，则与则的夹角等于（）. 【变式1】若是两个非零向量，且，则与则的夹角为.【变式2】若平面对量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范畴是.【例4】已知，与的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的的取值范畴.【变式1】设两个向量，满足，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数的范畴.【变式2】已知与均为单位向量，其夹角为,有下列四个命题：；；；.其中的真命题是（）.【变式3】若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（）.三、平面对量的模长求模长，用平方，【例1】已知，向量与的夹角为，求.【变式1】已知向量满足，与的夹角为，则.【变式2】已知向量满足，，则等于（）.【变式3】在中，已知，求.【例2】已知，向量与的夹角为，,则等于（）.【变式1】已知向量的夹角为，且，则.【变式2】已知，则与的夹角为，【变式3】设点是线段的中点，点在直线外，，则（）【例3】已知平面对量，满足，且与的夹角为，则的取值范畴是.【变式1】若均为单位向量，且，，则的最大值为（）.【变式2】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范畴是（）.【例4】在平面上，，.若，则的取值范畴是（）.【变式1】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则（）加强练习：例1：在中，为中点，若，则_____例2：若均为单位向量，且，则的最大值为（）A.B.C.D.例3：平面上的向量满足，且，若，则的最小值为___________例4：已知平面对量满足，且与的夹角为，则的最小值是（）A.B.C.D.例5：已知平面对量的夹角，且，若，则的取值范畴是__________例6：已知，，则的最小值是（）A.B.C.D.例7：已知直角梯形中，∥，为腰上的动点，则的最小值为__________例8：如图，在边长为的正三角形中，分别是边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为（）A.B.C.D.例9：已知与的夹角为，，，且，,在时取到最小值。当时，的取值范畴是（）A.B.C.D.类型四平面对量与三角函数结合题1.已知向量，，设函数⑴求函数的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值．2.已知，A、B、C在同一种平面直角坐标系中的坐标分别为、、.(1)若，求角的值；(2)当时，求的值.3.已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面对量，平面对量（1）如果求a的值；（2）若请判断的形状.4.已知向量,函数(1)求的周期和单调增区间；(2)若在中，角所对的边分别是，，求的取值范畴。有效训练题下列命题中真命题的个数为（）.=1\*GB3①若,则；=2\*GB3②若且，则；=3\*GB3③；=4\*GB3④.已知向量，则向量的夹角为（）.已知向量.向量满足，,则（）.