培优专题15因式分解的类型-解析版

培优专题15因式分解的类型◎类型一：只提不套型方法技巧：先提公因式，然后整理化简1．（2022·湖南邵阳·七年级期末）把多项式分解因式，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接找出公因式m，提公因式即可分解．【详解】解：m2﹣9m＝m（m﹣9）．故选：A．【点睛】本题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．2．（2022·河北沧州·八年级期末）将多项式利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为（）A． B．ab C．a D．b【答案】D【分析】利用提公因式法进行分解即可．【详解】解：a2b-2b=b（a2-2），将多项式a2b-2b利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为：b，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．3．（2022·浙江·杭州市实验外国语七年级期中）______．【答案】【分析】直接把进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：∵；故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行因式分解．4．（2022·江苏镇江·中考真题）分解因式：_________．【答案】##【分析】提公因式，即可求解．【详解】解：原式＝．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．5．（2022·山东·济南市济阳区创新八年级期中）因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式-2b，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式3x，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式2ab，进而分解因式得出答案．（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=（4）解：原式=【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．6．（2022·宁夏·中宁县第三八年级期中）把下列各式因式分解．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式分解因式即可；（2）利用提公因式进行因式分解即可．（1）解：＝（2）解：＝＝【点睛】此题主要考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法．◎类型二：只套不型提方法技巧：直接套用平方差公式或完全平方公式7．（2022·湖南·永州市剑桥七年级期中）已知，那么的值为（

）A．5 B．4 C．9 D．20【答案】D【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：∵，∴原式＝．故选D．【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式分解因式是解题的关键．8．（2021·黑龙江黑河·八年级期末）将多项式分解因式，结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：原式==故选：C【点睛】本题主要考查因式分解计算，主要因式分解过程中应分解彻底，是一个易错点．9．（2022·四川成都·七年级期末）若，，则__________．【答案】4【分析】根据，整体代入计算即可．【详解】因为，，所以，故答案为：4．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．10．（2021·浙江·树兰七年级期中）直接写出因式分解的结果：x2﹣y2＝________．【答案】【分析】直接根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：x2﹣y2＝．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．11．（2022·浙江·杭州市建兰七年级期中）（1）因式分解：①

②（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）①；②；（2）；5【分析】（1）①用完全平方公式分解因式即可；②先提公因数9，再用平方差公式分解因式即可；（2）先根据单项式成多项式和多项式乘多项式进行运算，然后再合并同类项即可化简出最简结果，最后代入数据进行计算即可．【详解】解：（1）①②（2）把代入得：原式．【点睛】本题主要考查了因式分解和整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．12．（2022·重庆南开三模）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先算括号，再利用分式除法法则计算．(1)解：原式；(2)解：原式．【点睛】本题考查整式的计算以及分式的计算，涉及因式分解，完全平方公式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．◎类型三：先提后套型方法技巧：先提公因式,然后运用平方差公式或完全平方公式法分解13．（2022·浙江·杭州市实验外国语七年级期中）如果，则是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据因式分解，进行计算即可得．【详解】解：，即，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解．14．（2022·山西·右玉县第八年级期末）把分解因式，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=，故选：C．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15．（2022·浙江·杭州市大关八年级阶段练习）配方填空：______（x-____）2．【答案】

9

【分析】要先提公因式，再运用和的完全平方公式，用中间项除以2再除以左边项即可得到右边项．【详解】解：提公因式后得，利用完全平方公式得右边项：，即配方为：，由得第一空的答案为：．故答案为：，．【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：多项式先提出二次项系数，常数项是一次项系数一半的平方，掌握并熟练运用配方法是解题关键．16．（2022·山东省青岛第六十三八年级期中）因式分解：_________．【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式是解答关键．17．（2022·浙江·杭州市实验外国语七年级期中）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答；（2）先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答．（1）解：（2）解：【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．18．（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）因式分解：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键．◎类型四：先破后立型方法技巧：先按整式乘法运算化简,然后再进行因式分解19．（2022·湖北武汉·八年级期末）下面分解因式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将各式分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，符合题意；D、，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了因式分解-公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．20．（2022·广东·九年级竞赛）已知，且，则的值为（

）A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044【答案】B【分析】将a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，变形后可得ab+ca+bc=0，进而可得结果．【详解】解：a2（b+c）=b2（a+c），a2b+a2c=b2a+b2c，a2b+a2c-（b2a+b2c）=0，a2b+a2c-b2a-b2c=0，ab（a-b）+c（a2-b2）=0，ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0，（a-b）（ab+ca+bc）=0，∵a≠b，∴ab+ca+bc=0，∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022，∴abc=-2022．故选：B【点睛】本题考查了单项式乘多项式以及因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式以及提公因式法因式分解．21．（2021·浙江杭州·七年级期末）计算．【答案】【分析】先根据乘法公式算乘法，再合并同类项即可．【详解】解：==【点睛】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，正确掌握运算法则是解题关键．22．（2022·湖南·永州市剑桥七年级期中）因式分解：[提示：把看成一个整体]【答案】【分析】将看做一个整体，去括号后，再利用完全平方公式分解因式．解：，，．【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和完全平方公式法分解因式，把看成一个整体是解本题的关键．23．（2021·陕西·西安高新第三八年级阶段练习）因式分解．【答案】【分析】先利用平方差公式，再提公因式分解即可解答．解：＝（x+4）（x﹣4）+2（x+4）＝（x+4）（x﹣4+2）＝（x+4）（x﹣2）．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．24．（2022·山东德州·八年级期末）因式分解：（x+1）（x-3）+4【答案】（x+2）2【分析】先将原式进行整式的混合运算计算，然后利用完全平方公式进行因式分解即可原式【点睛】本题考查利用提公因式法进行因式分解、平方差公式的运用，掌握完全平方公式与平方差公式是解题关键．◎类型五：利用分组分解法因式分解方法技巧：先分组使之提公因式或能运用公式法分解方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式25．（2021·辽宁丹东·八年级期末）若的三边a，b，c，满足，则的面积为（

）（补充知识点：如果三角形的两边平方和等于第三边，那么这个三角形是直角三角形）A．6 B． C． D．8【答案】A【分析】先将条件配成完全平方式，求出a，b，c的值，可得△ABC是直角三角形，即可求面积．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，∴△ABC是直角三角形，∴的面积为．故选：A【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解判断△ABC的形状是解决本题的关键．26．（2022·山东滨州·八年级期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．27．（2022·上海·新中初级七年级期末）因式分解：m2-n2-2m+1=___．【答案】（m-1+n）（m-1-n）【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可．【详解】原式=m2-2m+1-n2=（m-1）2-n2=（m-1+n）（m-1-n）．故答案为（m-1+n）（m-1-n）．【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键．28．（2021·安徽·郎溪实验一模）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．【答案】（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）【分析】首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．【详解】解：x3﹣6x2+11x﹣6＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．29．（2022·山东烟台·八年级期中）（1）分解因式：（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用整式乘法展开，再分组分解，最后利用平方差公式分解因式；（2）先利用平方差公式分解因式，再根据分解因式即可．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查因式分解，涉及到平方差公式和立方差公式，根据题中多项式结构特征，采用恰当的分组以及正确的分解因式的方法是解决问题的关键．30．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】．【分析】前三项利用十字相乘法分解，再设多项式分解因式为(x-y+a)(x+2y+b)，展开后利用等式的性质求得a=-5z，b=2z，即可分解．【详解】解：，设多项式分解因式为(x-y+a)(x+2y+b)，则(x-y+a)(x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，解得：a=-5z，b=2z，∴．【点睛】本题考查了因式分解－十字相乘法，多项式乘多项式，等式的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．◎类型六：十字相乘法因式分解方法技巧：先按整式乘法运算化简,然后再进行因式分解在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.31．（2022·湖南岳阳·七年级期中）已知方程的两个根分别是2和－3，则可分解为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了二次三项式的因式分解法以及根与系数的关系可得：2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，可知x2-px+q=x2-x-6，然后即可分解．【详解】解：据题意得2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，∴p=1，q=-6，可知x2-px+q=x2-x-6，∴x2-x-6=（x+2）（x-3）．故选：D．【点睛】此题十字相乘法分解因式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练应用十字相乘法分解因式．32．（2022·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（

）A．-7 B．7 C．-13 D．13【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式可得m、n的值，再代入计算即可．【详解】