第15 届中环杯决赛试题解析（三年级）

第15届中环杯决赛试题解析（三年级）一、填空题A（本大题共8小题，每题6分，共48分）：1. 计算：2513215137.【答案】2015【解答】25132151375131051321513513312015在一场上海队与北京队的篮球比赛中，姚明得到了分，带领上海队以10胜了北京队。上海队与北京队的总得分比姚明得分的5倍少10分，那么上海队获得 分【答案】75分【解答】根据题意，上海队与北京队的总得分为30510140分，而上海队减去北京队的得分为10分，根据和差问题，我们有：上海队得了14010275分一个数只包含两种数字：3或者4，而且3或者4都至少出现一个。这个数既是3的数，又是4的倍数。这样的数最小为 .【答案】3444【解答】为了使得它是4的倍数，最后两位只能是44。如果只有两个数字4，这个数无法成为3的倍数，所以很容易得到其最小值为3444我们有个111的小立方体，将其拼成一个333的大立方体，其中的一些小立方体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如下图所示。那么，六个面都是白的小立方体最多有 个【答案】15【解答】我们可以数一下，发现含有灰色面的小立方体有12个，而一共有27个小立方体，所以六个面都是白色的小立方体最多有271215个如图，一个大三角形被三条线段分成了七部分，其中四部分是三角形，另外三分是四边形。三个四边形的周长之和为厘米，四个三角形的周长之和为厘米，三角形的周长为19厘米。那么厘米FEFEB D C【答案】13【解答】如果我们将三个四边形的周长之和与四个三角形的周长之和相加，那么中间的线段都被加了两次。比如下图中的GH，它既是四边形GFBH的一条边、又是ABBC,CA。所以我们要求的线段之和为252019213厘米FGFGEHIB D C的站台出发，然后到任意的站台结束（只要经过所有的站台即可）。假设他必须重经过n个站台，则n的最小值为 .【答案】3【解答】如下图，对所有的点进行标记，小明可以从ABCDEDFGHIHGJKL，这样他必须重复经过3个站台，接下来我们证明3是最小值。显然，D,G这两个换乘台肯定会被重复经过的。如果小明不是从A开始或者从A结束，那么B肯定会被重复经过，这样就至少重复经过3个站台了；如果小明不是从L开始或者从L结束，那么K肯定会被重复经过，这样就至少重复经过3个站台了；如果小明从A开始从L结束，那么H肯定会被重复经过。所以，n3【说明】此题要做出答案并不难，关键在于后面的证明，考虑到填空题，所以将其放在第6题A B C D FL GK JH I7.如果653整除ab2347，则ab.【答案】11【解答】由于||ab2347653，考虑到ab2347653ab3000，所以653|ab31000。由于653是素数，并且653无法整除1000，所以653|ab3，从而推出a6，所以ab11b5会将空盘子数一下，然后拿走一个空盘子去装食物（能多拿）盘子数量比第一个到会的人员少一个，还有4个空盘子。已知学校准备的所有空盘子的数量与所有到会人员的数量之和为，则总共有 人加了这次野餐会。【答案】1006【解答】x个人参加了野餐会，空盘子总共有x第1个参会人员数到有x个空盘子；第2个参会人员数到有x个空盘子；第n个参会人员数到有2016xn个空盘子；x个参会人员数到有xx2x个空盘子；从而得到方程2x4x二、填空题B（本大题共4小题，每题8分，共32分）：D四人有一些数量互不相同的纸牌。A说：“我比C多16张纸牌。”BD比C多6张纸牌。”C说：“A比D多9张纸牌。”D说：“如果A再给我2张纸牌，我纸牌的数量就是C的3倍。”D张纸牌【答案】10【解答】首先对每个人所说的话进行翻译：AAC16；BDC6；CAD9；D的意思是：D23C。A和CAABDDB或C。AD如果C说的是正确的，则AC16DCADC729BC说的是错误的。利用B的结论，我们有DC6D23C

C4D

。所以答案为10。 七个正方形拼成下图。我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求：至少涂其中的两个正方形；相邻正方形不能同时被涂色（形）。那么，有 种不同的涂色方法。【答案】10【解答】直接分类讨论：如果我们涂最上面的那个正方形，那么它下面的两个正方形不能被涂色，得4要简单分析一下：显然b不能被涂色（否则b一旦被涂色了，那么acd都不能被涂色了），而且cd2种涂法（ac或者ad）。综上所述，如果我们涂最上面的那个正方形，一共有426种涂法dabc如果我们不涂最上面的那个正方形，得到下左图。显然，我们不能涂eba,f以及cd都不能同时被涂色，所以此时能且只能涂两个正方形，一共有224种涂法。fefedabcfdac综上所述，一共有6410种涂法在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字。在算式的格中填入适当的数字，使得算式成立。那么杯所代表的三位数是 .66中环杯中环杯【答案】124 【解答】由于c cd,c

，所以d,e都是7~9中的数字。根据“abc6是三位数”我们很容易推出a1。由于“中环杯中环杯中环杯1001”，所以7|abc11|1001|abcd6e。考虑到abc只是一个三位数，所以不可能同时满足11|13|abc

，所以7,11,13中至少有一个数整除d6e。接下来分类讨论：若7|d6e，结合de都是7~9中的数字，我们很容易推出只有满足条件。由于此时都不能整除，所以整除abc，所以1113143，此时143868，满足我们的要求。若11|d6e，结合de都是7~9中的数字，所以de611de17，我们很容易推出只有或满足要求。考虑到7,13都不能整除这两个数，所以7,13整除abc，所以7132182，而6不是三位数，矛盾。若13|d6e，结合de都是7~9中的数字，我们很容易推出只有满足条件。考虑到7,11都不能整除这两个数，所以7,11整除abc，所以7112154。此时154，但是题目说了“中环杯”的三个数字互不相同，所以也不符合要求。综上所述，最后的答案只有一个，就是“中环杯124”。a a b cd 6 e中环杯中环杯1010个数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接两个顶点上的数之和。棱PQ上的数为9，则棱上的数为 .?9?9RPQ【答案】5【解答】设六条棱上的数之和为S棱、四个顶点上的数之和为S顶，容易发现S棱3S顶（三次）。考虑到S棱S顶1234567891156，从而推出S顶14，可能的情况有：1238、1247、1256、1346，接下来开始排除：PQ9，所以1256排除了（没有两个数之和为9）对于1238来说，由于123，所以一条棱上的数应该为3，但是某个顶点上的数也是3，矛盾。同样可以将1346排除最后，剩下的只有一组选择：1247，从而得到下图，所以答案为5?9?9427三、动手动脑题（本大题共2小题，每题10分，共20分）：5方形的边长为24厘米。求：单个长方形的面积。【答案】32【解答】假设长方形的长为x、宽为y，则3x242x2y24

x8，所以长方形的面积y4 为32cm2 D1、2、、1313上，开始的时候所有牌都是牌面朝上，每次翻动可以将一张牌翻成牌面朝下（成牌面朝下，这张牌就不能翻动了）DA2D老师就可以翻动写有A92D老师就可以12的牌（12的牌还是牌面朝上的）D12DD老师有多少种不同的翻牌顺序？【答案】26624【解答】首先，我们将所有含数字的牌调整一下顺序，得到下图，从而将题目转化为：若相邻的牌中有牌面朝上的，那么D老师就可以翻动当前的牌11 1 48 75 102 1312 39 6接下来我们会发现，若两次选牌的过程中发生跳跃，那么最后必然会导致至少2张牌无法翻面。如下图所示，若第一次翻4号牌，第二次翻12号牌