第九~十一课时曲线与方程

曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程第一课时

我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为____________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为_______________________.复习回顾:x-y=0点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线含有关系：x-y=0xy0（1）上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上曲线条件方程坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:xy.C（1）圆C上的点的坐标都是方程的解;（2）方程的解为坐标的点都在圆C上。

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;

这条曲线叫做方程的曲线.定义:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;

方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00xy说明:2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.

已知f(x,y)=0是曲线c的方程，（1）若点M(x,y)的坐标是方程f(x,y)=0的解，则点M在曲线C上.（错误）（正确）（错误）（正确）（4）若点M(x,y)在曲线C上，则点M的坐标不一定满足方程f(x,y)=0.（3）若点M(x,y)在曲线C上，则点M的坐标满足方程f(x,y)=0.（2）若点M(x,y)的坐标是方程f(x,y)=0的解，则点M不在曲线C上.1.判断正误：

基础巩固：2：判断点（2，2）是否在圆x2＋y2＝16上.变为（3，1）呢？3判断下列说法是否正确.O(1)方程：|x|-y=0的曲线如下图.xy(曲线上有的点的坐标(x,y)不满足方程)(1).曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解.(2).以方程f(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在曲线C上.满足（2)

但不满足(1)Oxy(2).和两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是:

y=x(除了直线y=x上的点满足条件外,还有其他的点满足条件.)(1).曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解.(2).以方程f(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在曲线C上.满足（1)

但不满足(2)或y=-x0C(2,0)xyB(-2,0)(3)图中以BC为底边的等腰△ABC的顶点A的轨迹方程是:x=0C:以原点为圆心,半径为5的圆方程:0xy(4)巩固练习1、

:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，应为x=3,(2)不正确，应为y=±1.(3)正确.(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=12、指出下列各组直线与方程的关系oooxyxyxyx-y=0x-y=0x-y=0（2）以方程的解为坐标的点都是这条直线上的点.（1）直线上点的坐标都是这个方程的解；××3.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.

第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤

第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.提高练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0;(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=

。10xy-110xy-11-2210xy-11-221不是不是是练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？①-=0|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲线是C

B.坐标满足f(x,y)=0的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C

D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部D练习4:设圆M的方程为,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()CA.点P在直线上，但不在圆上B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上D.点P既不在圆上，也不在直线上练习5:已知方程的曲线经过点,则m=_____,n=______.练习6：(1)设A(2,0)、B(0,2)，能否说线段AB的方程为x+y-2=0?(2)方程x2-y2=0表示的图形是_______2.1.2求曲线的方程（1）第二课时2.1曲线与方程

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.“数形结合”数学思想的基础解:复习1.2.BB3.我们的目标就是要找x与y的关系式先找曲线上的点满足的几何条件例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是

设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，练习1.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_________

解:设动点为(x，y)，则由题设得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程.2.在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的

中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.设A(x，y)，又D(0，0)，所以化简得:x2+y2=9(y≠0)这就是所求的轨迹方程.解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系.3、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.BDACB思考题：2.1.2求曲线的方程（2）第三课时2.1曲线与方程一、复习方程f(x,y)=0是曲线C的方程需满足什么条件？(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.求曲线方程的一般步骤：1.建系设点－－

建立适当的直角坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）2.寻找条件－－

写出适合条件P的点M的集合3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)已知一座圆拱桥的跨度是36m，圆拱高为6m，以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求圆拱所在的圆的方程.ABOxyC练习1：练习3、已知线段AB,B点的坐标（6,0），A点在曲线y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程.xyABMy=x2+3O点A（X1，Y1）在曲线y=x2+3上，则

y1=x12+3解；设AB的中点M的坐标为（x，y），又设A（X1，Y1），则代入，得2y=（2x-6）2+3练习4、点M与定点F距离和它到直线的距离的比为,则动点M的轨迹方程为