现代控制理论课后作业答案程鹏王艳东

现代控制理论第一次作业1-1.由图1-1所示，可得：则状态空间可表示为：1-4.由。则，，，则，1-5.（1）极点多项式为：由，一阶子式公分母：二阶子式公分母：极点多项式为：（2）零点多项式为：二阶子式：零点多项式为：现代控制理论第二次作业1-7.系统的状态方程为：其中，，。1-8.反证法：设，则存在一个非零向量使得：不防设,则，两边同乘，则则可看出能用线性表出,以此类推，可得均可由线性表出，则：与已知矛盾，假设不成立，所以有1-9.（1）解：,，可控性矩阵，,故系统可控。则变换矩阵为,则：

（2）系统矩阵为：可控性矩阵为：，，故系统不可控。选取U中的第一二列，取。则：其中，是可控的。现代控制理论第三次作业1.10（1），，可观测矩阵:,,所以系统可观测的，可化为可观测标准形。对偶系统的状态空间为：,。可控性矩阵：，，则可观测标准形为：（2）则可观测矩阵为：，，系统不可观测。取可观测矩阵前两行，再补一行，使下列矩阵非奇异，组成变换阵为：，则可观测性方程为：1-17零点多项式为：极点多项式为：最小动态方程实现：（两种方法）1、对列展开得：可构成实现：可观测性分解为：最小动态实现为：2、对其行展开：\可观性实现为：由系统不可控，所以进行可控性分解：取前四列并做等效变换，再加上一列使其非奇异，得，则变换后的系统矩阵为： 得到最小实现为：（2）零点多项式：极点多项式：最小阶动态实现：对其行展开：构成实现：由,系统可控不可观，进行可观分解得：得到的最小实现为：现代控制理论第四次作业1-12状态方程为：可看出有两个特征值，特征值1对应一个约当块，特征值2对应两个约当块。判断可控性的行向量分别为：，由定理2-3特征值2不可控。前两组特征值包含特征值-1，故可以找到增益向量k；第三组不含有-1，所以不能找到增益向量k使得闭环系统具有特征值。对于系统，易得可控性矩阵为：1.对于特征值，令期望极点的特征式为。对比系数得，所以2.对于特征值，同理可得，。1-13 系统的状态方程和输出方程为：由，所以系统不可控。取.则可控性矩阵为：，其特征值为：，对于原系统有三个特征值：，所以为不可控。第一组极点包含-1，所以可以通过极点配置找到k，第二组极点不包含，所以找不到k。1-16由于原系统无零极点对消，所以其动态方程的最小阶实现是可控可观的。，由于状态反馈不改变系统的零点，所以可用极状态反馈将极点配置到。由：系统的可控标准型为：设期望的极点多项式为：。对比系数得。方框图略。现代控制理论第五次作业1—19（1）

则，因为，E为奇异矩阵，所以系统不能用状态反馈解耦。（2）计算：则，因为，E为非奇异矩阵，所以系统可以用状态反馈解耦。计算F阵。计算H阵。计算K阵。所以状态反馈率为：1—25设,则。观测器的特征多项式为：期望多项式为：对比系数得：观测器表达式：取状态反馈，则所以整个系统的方程为：传递函数为：第六次作业首先，介绍一下代数重数和几何重数的定义：代数重数表示的是特征值为的个数；几何重数表示特征值为的特征向量空间的维数，。当代数重数=几何重数时，对应的约当块为一阶的。1-20-1A有两个特征值0和-1，所以系统不是渐近稳定的。特征值为0时，它的代数重数，几何重数，所以，系统化不是李氏稳定。计算，含有极点0，所以系统不是BIBS稳定。计算传递函数，含有极点为-1，所以系统是BIBO稳定。由上可知，系统不是BIBS全稳定，所以系统不是总体稳定。1-20-2A特征值为，-2，-2,0，所以系统是李氏稳定，不是渐近稳定。由（A,B）可控，所以系统是BIBS稳定，又是李氏稳定，所以是BIBS全稳定。所以系统是BIBO全稳定，所以是总体稳定。1-20-3A矩阵的特征值为，所以系统不是李氏稳定也不是渐近稳定。由（A,C）可观，则系统是BIBO稳定，但不是BIBO全稳定。计算，含有极点为，所以是BIBS稳定。系统不是总体稳定。1-22由,rank(u)=3，所以系统可控由，rank(v)=3,所以系统可观。传递函数由传递函数的极点为0，0.5+j1.732，0.5-j1.732所以系统不是BIBO稳定。1-21知识点回顾：（1）李氏稳定A的实部为零的特征值对应的约当块是一阶，其余特征值均具有负实部；（2）渐近稳定A的特征值均具有负实部；（3）不稳定A或有正实部，或实部为零的特征值对应有非一阶约当块；（4）BIBS稳定极点均具有负实部；（5）BIBO稳定极点均具有负实部。答案解析：只需保证实部为0特征值，对应若当块为一阶，其余特征值均有负实部。由于当时，又，从而代数重数等于几何重数，故对应若当块均为一阶，从而稳定。当时，，一零根，两个负根，又，从而的代数重数等于几何重数，故对应一阶若当块，从而稳定。当时，有正根存在故不稳定。因此，当是李雅普诺夫意义下稳定的。（2）只需极点均具有负实部即可。则当时，的极点多项式为，极点为，有零极点存在；当时，的极点多项式为，极点为，有零极点存在；当时，的极点多项式为，极点为，有零极点和正的极点存在；所以，不管取任何值，系统都不会BIBS稳定（3）只需极点均具有负实部即可则则当时，系统BIBO稳定；