选修4-4-第一讲-坐标系(平面直角坐标系)

讲坐标系2021/5/91平面直角坐标系2021/5/92

声响定位问题

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上).信息中心观测点观测点观测点PBACyxO2021/5/93

yxBACPo

以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)

设P（x,y）为巨响为生点，因A点比B点晚4s听到爆炸声，故|PA|－|PB|=340×4=1360

由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，由双曲线定义P点在以A,B为焦点的双曲线上a=680,c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.所以双曲线的方程为：用y=－x代入上式，得

答:巨响发生在信息中心的西偏北450,距中心2021/5/94坐标法(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；2021/5/95

例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。(A)FBCEOyxA(0,0),B(c,0),F(c/2,0).

解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)，由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0

因为=(x/2-c,y/2)，所以=(c/2-x,-y)，(x/2-c,y/2)·(c/2-x,-y)因此，BE与CF互相垂直.2021/5/96。。MNOPXy

例2圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。

解：以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则两圆的圆心坐标分别为O1(-2,0)，O2(2,0)，设P(x,y)则PM2=PO12-MO12=同理，PN2=2021/5/97平面直角坐标系中的伸缩变换2021/5/98思考：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。xO

2y①上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，

保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P’(x’,y’)，坐标对应关系为：

我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。2021/5/99怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?

在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。xO2y上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’,y’),坐标对应关系为：②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.2021/5/910

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2;怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?xyO

在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.

即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’)，坐标对应关系为:③。把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换2021/5/911设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:定义:的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；①2021/5/912

例1在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换:后的图形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1解：(1)由伸缩变换得到代入2x+3y=0;；

得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是(2)将代入x2+y2=1，2021/5/913在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆，那么椭圆可以变成圆吗？抛物线、双曲线变成什么曲线？2021/5/914练习：1求下列点经过伸缩变换后的点的坐标：①（1，2）；②（-2，-1）.2曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是则曲线C的方程是

.3将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）2021/5/9154曲线变成曲线的伸缩变换是

.5在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆分别变成什么图形？6设M1是A1(x1,y1)与B1(x2,y2)的中点，经过伸缩变换后,

它们分别为M2,A2,B2，求证：M2是A2B2的中点.2021/5/9167已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知

|BC|=4，点A到直线l的距离为3，求∆ABC的外心的轨迹方程。

则A（0，3）B（x-2,0）C(x+2,0),

以l为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建立直角坐标系，设∆ABC外心为P（x,y）,由|PA|=