基于拼帖定理的地形插值方法

基于拼帖定理的地形插值方法

1传统数学中的图形概念在计算和分析数据时，需要插入数据。方法需要找到已知数据的函数关系，以便更好地接近已知数据，并根据函数关系在区域范围内计算其他任何点的值。地学数据的复杂性和不规则性早已人所共知,近年来大量的研究结果则表明,地学数据大多具有一定的随机分形特征。然而,传统的数学理论与计算机图形方法,对数据的处理往往基于这样的观点——图形应该是平直、光滑的,所以地形数据内插采用的通常是线性插值、样条法等手段。对不规则的、有的甚至是极不规则的地学数据若仍用这些传统的方法来处理,必然会产生较大的误差,因此迫切需要引入专门研究不规则的复杂形状与现象的分形理论与方法。2传统插值函数给定一组测量数据{(xi,yi);xi-1<xi,i-1,2,3,…,N},欲构造一个函数f(x)使它的几何图形连续地穿过每个点,即yi=f(xi),i=0,1,…,N。函数f(x)就称为插值函数。传统的插值函数,对相邻的两插值点(xi,yi),(xi+1,yi+1)之间只能是用直线或光滑曲线连接,而得不到这两点之间的局部变化特征。然而对大量实际情况,在相邻两信息点之间并不是线性变化的或是光滑过渡的,而是存在局部变化的特征。事实上,用分形插值就可以得到相邻两插值点之间的局部变化特征,从而使得插值结果更加符合实际。2.1函数fx的图形依据拼帖定理,存在一迭代函数系统{X;W0,w1,…,wN}其吸引子近似于或相似于一个给定的集合L。也就是说对于一幅任意给定的有限边界的图形,总可以找到一组变换{W0,w1,…,wN},使的给定集合L在这组变换下的象的并或拼帖近似于给定的集合L。对于给定的数据点{(xi,yi);xi-1<xi,i=1,2,3,…,N},可构造迭代函数系统(IFS):{R2;wi,i=1,2,3,…,n},使得这个迭代函数系统的吸引子等于插值函数f(x)的图形。设迭代函数系统中每个函数是仿射变换,其构造为:wi(xy)=(aic0di)(xy)+(eifi)wi(xy)=(ai0cdi)(xy)+(eifi)该IFS的求取是通过拼帖完成的,满足如下条件:wi(x0y0)=(xi−1yi−1)wi(xnyn)=(xiyi)i=1‚2‚⋯‚nwi(x0y0)=(xi-1yi-1)wi(xnyn)=(xiyi)i=1‚2‚⋯‚n展开后有⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪aix0+ei=xi−1cix0+diy0+fi=yi−1aixn+ei=yicixn+diyn+fi=yi−1{aix0+ei=xi-1cix0+diy0+fi=yi-1aixn+ei=yicixn+diyn+fi=yi-1对于每个仿射变换wi,有ai,ci,di,ei,fi等五个常数,其中di为任意参数,称为垂直尺度因子,则由上式可得其它的系数:ai=xi−xi−1xn−x0ci=(yi−yi−1)−di(yn−y0)xn−x0ei=xnxi−1x0xixn−x0fi=(xnyi−1−x0yi)−di(xny0−x0yn)xn−x0ai=xi-xi-1xn-x0ci=(yi-yi-1)-di(yn-y0)xn-x0ei=xnxi-1x0xixn-x0fi=(xnyi-1-x0yi)-di(xny0-x0yn)xn-x0可以证明此定义求取IFS总用唯一的吸引子,且该吸引子必定是某个连续函数的图形,并同时通过各个插值点,而这个连续函数就称为分形插值函数。2.2迭代函数系统吸引子计算设{X;wi,i=1,2,…,n}是一IFS,选择一数据集A0,然后按下式逐次计算An:An+1=∪iNwi(An)n=0‚1‚2‚⋯An+1=∪iΝwi(An)n=0‚1‚2‚⋯就得到一个序列{An,n=0,1,2,…}。计算此序列的极限集A,则A就是迭代函数系统吸引子。随机迭代算法设{X;wi,i=1,2,…,n}是一IFS,其中每一个wi具有一个概率pi,且∑iNpi=1∑iΝpi=1,任取X0∈A,根据概率分布从中独立的随机选取一个wi,令X1=wi(X0),然后再随机选取wj,令X2=wi(X1)…,如此下去,可得到序列{Xn}∞n=1,则此序列的极限集A就是迭代函数系统吸引子。也可以用{Xn=n>0}来近似表示A。2.3插值及吸引子的生成根据上面定义的数学模型,就可以利用已知数据求取IFS。在实际计算时取鲁西煤矿的地表下沉数据(表1),插值的实现、图形的绘制使用MATLAB语言。从实测曲线图(图1)可以看出,地表点动态下沉曲线成非光滑形状,且存在一定的反弹现象,这主要与井下所采取的开采方法以及岩体特征和表土层的覆盖情况有关。从原始地表下沉数据中取8个数据作为插值数据值,(1,15),(7,19),(13,44),(19,47),(25,68),(31,52),(37,67),(48,70),垂直尺度因子d为0.1,-0.25,-0.2,-0.6,-0.2,0.2,-0.2,然后用分形插值方法对这些数据进行分形插值。这样就可以得到7个收缩仿射变换,组成一个IFS,定义为{X;ωi,i=1,2,3,4,5,6,7}。给定了一个IFS,也就确定了仿射变换的个数及每个仿射变换的6个参数,这样就可以计算相应的插值,并通过计算机绘制其吸引子的形状。文中采用确定性算法来生成插值图形,既IFS的吸引子。首先选择一个已知数据集A0。然后依据递归方法An+1=∪iNwi(An)An+1=∪iΝwi(An),独立地取每个数据顺序使用每个仿射变换,构造一个序列{An,n=0,1,2,…}。计算此序列的极限集A,则A就是迭代函数系统{X;ωi,i=1,2,3,4,5,6,7}的吸引子,如图2所示。3利用分形插值方法得到所测创建的y值在图2中可以明显看出,分形插值曲线和实测曲线变化形态是非常相似的,变化规律也非常一致。为了说明分形插值比传统插值方法具有更高的优越性,我们用同样的8个测量数据,用线性插值方法对这8个数据进行了插值,并将分形插值的结果与线性插值的结果进行了比较。可以看出,分形插值比线性插值具有明显的优越性,这主要是由于线性插值在任意两个相邻插值点之间,只能用直线连接,从而掩盖了两插值点之间数据的变化特征。而分形插值则是根据自相似原理进行插值,它能充分体现任意两相邻插值点之间的局部变化特征。但是分形插值方法也有其局限性,具体表现为:不是逐次加密,而是一遍到底,所以只能用于直接绘图,而不能直接得到任意指定x处的y值,不能用于数据点的加密插值与等距化。作者试图在分形插值的基础上,利用传统插值方法得到任意x处的y值。图4为在分形插值所得的数据基础上进行传统线性插值后所得的曲线和实测曲线图形,通过绘图可看出进行传统插值后所绘的图形与直接根据原有的分形插值数据所绘图形的关系。该图形(见图4)与分形插值图(见图2)和实际测量图(图1)的曲线变化形态是非常相似的,变化规律也非常一致。下表为利用上述方法求出的各时刻分形插值数据值和实测数据值以及它们之间的差值。由表2可知除了少数几个点的插值数据和实测数据相差较大之外,其余点的较差都较小。可以利用后验差检验法对插值方法进行检验:其中残差e等于表2中的较差。则e¯=−0.70‚Se=0.4317‚Sy=18.6066e¯=-0.70‚Se=0.4317‚Sy=18.6066后验差比值:c=Se/Sy=0.24<0.35小误差概率:P=P{|e−e¯|＜0.6744Se}=P{|e−(0.70)|＜12.5483}=0.98＞0.95Ρ=Ρ{|e-e¯|＜0.6744Se}=Ρ{|e-(0.70)|＜12.5483}=0.98＞0.95检验等级为优等,因此,我们可以利用由上述方法求得的任意x处的y值来近似代替此处的分形插值数据,用于数据点的加密插值和等距化。4传统分形插值与传统插值的比较由于测量数据的