“科学思维”专练（三） 万有引力定律的应用

“科学思维”专练（三）万有引力定律的应用一、选择题1．(2021·浙江1月学考)嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量m1＝6.0×1024kg，月球质量m2＝7.3×1022kg，月地距离r1＝3.8×105km，月球半径r2＝1.7×103km。当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200km处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为()A．16m/s B．1.1×102m/sC．1.6×103m/s D．1.4×104m/s解析：选C设组合体质量为m，根据匀速圆周运动的规律，万有引力充当向心力，Geq\f(m2m,r2＋h2)＝meq\f(v2,r2＋h)，解得v≈1.6×103m/s，选项C正确。2．(2022·上海光明中学期中)某人造地球卫星在距离地面高为h的轨道内做匀速圆周运动，现要变轨进入更高的轨道做匀速圆周运动，卫星需要()A．一直增大速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动B．一直减小速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动C．先增大速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比之前小D．先减小速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比之前大解析：选C卫星要进入更高的轨道，需要做离心运动，当万有引力不足以提供做圆周运动的向心力时，卫星做离心运动，则需要加速进入更高的轨道，到达预定轨道后做匀速圆周运动，根据eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知半径变大之后，速度v减小，故A、B、D错误，C正确。3．(2022·河南洛阳期中)(多选)据报道，中国探月工程四期已经启动，计划在月球南极建立科研站、届时将先把探测器送入环月的椭圆轨道Ⅰ，再在P点变轨，进入环月圆轨道Ⅱ，以选择合适的登陆地点，下列关于变轨前后探测器说法正确的是()A．探测器在Q点的速度大于在Ⅰ轨道上经过P点的速度B．探测器在Ⅰ轨道上经过P点的速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的速度C．探测器在Ⅰ轨道上经过P点的加速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的加速度D．探测器在Ⅰ轨道的周期大于在Ⅱ轨道的周期解析：选BD轨道Ⅰ上P点为近月点，速度最大，Q点为远月点，速度最小，故A错误；从轨道Ⅱ到轨道Ⅰ，需要在P点点火加速，因此探测器在Ⅰ轨道上经过P点的速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的速度，故B正确；同一点，受到的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，加速度相同，故C错误；根据开普勒第三定律可知，Ⅰ轨道半长轴较大，周期较大，故D正确。4．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m解析：选C在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝meq\f(4π2,T12)R火，得T12＝eq\f(4π2R火,g火)，根据开普勒第三定律，有eq\f(R火3,T12)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l远,2)))3,T22)，代入数据解得l远≈6×107m，C正确。5.(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M解析：选B由万有引力提供向心力有eq\f(GM中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只与中心天体的质量有关，则eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(RS23,TS22),\f(R地3,T地2))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞≈4×106M，B正确。6.我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图虚线为大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点“跃”入，实现多次减速，可避免损坏返回器。d点为轨迹的最高点，离地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。则返回器()A．在b点处于失重状态B．在a、c、e点时的速率相等C．在d点时的加速度大小为eq\f(GM,r2)D．在d点时的速度大小v＞eq\r(\f(GM,r))解析：选C由题意知，返回器在b点处于超重状态，故A错误；从a到e通过大气层，除了受到万有引力作用，由于有空气的阻力作用，在a、c、e三点时的速率不等，故B错误；在d点受万有引力：F＝eq\f(GMm,r2)＝ma，所以加速度a＝eq\f(GM,r2)，故C正确；在d点，v＜eq\r(\f(GM,r))，所以D错误。7.(2022·哈尔滨五十八中期末)(多选)某探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下列说法正确的是()A．T1＞T2＞T3 B．T1＜T2＜T3C．a1＞a2＞a3 D．a1＝a2＝a3解析：选AD根据开普勒第三定律eq\f(r13,T12)＝eq\f(r23,T22)＝eq\f(r33,T32)，由题图可知轨道Ⅰ半长轴最大，轨道Ⅲ半径最小，所以T1最大，T3最小，故A正确，B错误；在空间同一点，卫星受到月球的万有引力相等，根据牛顿第二定律可知在同一点，卫星产生的加速度相同，故C错误，D正确。8．(2022·重庆一中期中)(多选)字宙中两颗靠得比较近的恒星，在彼此之间的万有引力作用下，围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统，下列说法正确的是()A．质量大的恒星其轨道半径小B．质量大的恒星其轨道半径大C．若双星经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变小D．若双星经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变大解析：选AC设两星的质量分别为m1、m2，两星间距离为L，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据题意，由公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得eq\f(Gm1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1＝m2eq\f(4π2,T2)r2，整理可得m1r1＝m2r2，可知质量大的恒星其轨道半径小，故A正确，B错误；整理可得T＝eq\r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))可知，若双星经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变小，故D错误，C正确。9.(2022·浙江绍兴期末)(多选)“天问一号”是我国发射的火星探测器。如图所示，假设“天问一号”探测器环绕火星做匀速圆周运动的周期为T，对火星的张角为θ。已知引力常量为G，由以上数据可以求得()A．天问一号探测器的角速度B．火星的质量C．火星的第一宇宙速度D．火星的平均密度解析：选AD根据ω＝eq\f(2π,T)可知，可以求出天问一号探测器的角速度，故A正确；设轨道半径为r，星球半径为R，满足sineq\f(θ,2)＝eq\f(R,r)，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可知M＝eq\f(4π2r3,GT2)，由于r未知，无法计算火星质量，故B错误；根据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可知v＝eq\r(\f(GM,R))，由于R未知，无法求出火星的第一宇宙速度，故C错误；根据ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))3)可知，可求火星的平均密度，故D正确。10．(2021·福建高考)(多选)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU(太阳到地球的距离为1AU)，S2的运行周期约为16年。假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出()A．S2与银河系中心致密天体的质量之比B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比C．S2在P点与Q点的速度大小之比D．S2在P点与Q点的加速度大小之比解析：选BCD设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率0.87＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(c,a)，且由题知，Q与O的距离约为120AU，即a－c＝120AU，由此可得出a与c，由于S2围绕致密天体运动，根据万有引力定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误；根据开普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝k，式中k与中心天体的质量M有关，且与M成正比，所以，对S2围绕致密天体运动有eq\f(a3,TS22)＝k致∝M致，对地球围绕太阳运动有eq\f(r地3,T地2)＝k太∝M太，两式相比，可得eq\f(M致,M太)＝eq\f(a3T地2,r地3TS22)，故可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；根据开普勒第二定律有eq\f(1,2)vP(a＋c)＝eq\f(1,2)vQ(a－c)，解得eq\f(vP,vQ)＝eq\f(a－c,a＋c)，故可以求出S2在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；S2不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，因P点到O点的距离为a＋c，Q点到O点的距离为a－c，解得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(a－c2,a＋c2)，故可以求出S2在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。二、非选择题11.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX­3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω。由牛顿第二定律，有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，又FA＝FB，设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，由以上各式得r＝eq\f(m1＋m2,m2)r1①由万有引力定律，有FA＝Geq\f(m1m2,r2)，将①代入上式得FA＝Geq\f(m1m23,m1＋m22r12)，令FA＝Geq\f(m1m′,r12)，可得m′＝eq\f(m23,m1＋m22)。②(2)由牛顿第二定律，有Geq\f(m1m′,r12)＝m1eq\f(v2,r1)③可见星A的轨道半径r1＝eq\f(vT,2π)④由②③④式解得eq\f(m23,m1＋m22)＝eq\f(v3T,2πG)。⑤答案：(1)eq\f(m23,m1＋m22)(2)eq\f(m23,m1＋m22)＝eq\f(v3T,2πG)12．一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由96m/s减小到0，历时80s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为7500N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的eq\f(1,2)，火星质量约为地球质量的eq\f(1,10)，地球表面重力加速度大小取10m/s2，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：(1)在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；(2)在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。解析：(1)设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为v1，末速度大小为v2，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有v2＝v1－at ①代入题给数据得a＝1.2m/s2 ②设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有s＝v1t－eq\f(1,2)at2 ③联立②③式并代入题给数据得s＝3840m。 ④(2)设火星的质量，半径和表面重力加速度大小分别为M火，r火，g火，地球的质量、半径和表面重力M地，r地，g地，由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有eq\f(GM火m,r火2)＝mg火 ⑤eq\f(GM地m,r地2)＝mg地 ⑥式中G为引力常量，设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为mmax，由力的平衡条件有F＝mmaxg火 ⑦联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得mmax＝1875kg ⑧一、选择题1．(2021·浙江1月学考)嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。为等待月面采集的环月做圆周运动。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量m1＝6.0×1024kg，月球质量m2＝7.3×1022kg，月地距离r1＝3.8×105km，月球半径r2＝1.7×103km。当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200km处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为()A．16m/s B．1.1×102m/sC．1.6×103m/s D．1.4×104m/s解析：选C设组合体质量为m，根据匀速圆周运动的规律，万有引力充当向心力，Geq\f(m2m,r2＋h2)＝meq\f(v2,r2＋h)，解得v≈1.6×103m/s，选项C正确。2．(2022·上海光明中学期中)某人造地球卫星在距离地面高为h的轨道内做匀速圆周运动，现要变轨进入更高的轨道做匀速圆周运动，卫星需要()A．一直增大速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动B．一直减小速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动C．先增大速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比之前小D．先减小速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比之前大解析：选C卫星要进入更高的轨道，需要做离心运动，当万有引力不足以提供做圆周运动的向心力时，卫星做离心运动，则需要加速进入更高的轨道，到达预定轨道后做匀速圆周运动，根据eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知半径变大之后，速度v减小，故A、B、D错误，C正确。3．(2022·河南洛阳期中)(多选)据报道，中国探月工程四期已经启动，计划在月球南极建立科研站、届时将先把探测器送入环月的椭圆轨道Ⅰ，再在P点变轨，进入环月圆轨道Ⅱ，以选择合适的登陆地点，下列关于变轨前后探测器说法正确的是()A．探测器在Q点的速度大于在Ⅰ轨道上经过P点的速度B．探测器在Ⅰ轨道上经过P点的速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的速度C．探测器在Ⅰ轨道上经过P点的加速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的加速度D．探测器在Ⅰ轨道的周期大于在Ⅱ轨道的周期解析：选BD轨道Ⅰ上P点为近月点，速度最大，Q点为远月点，速度最小，故A错误；从轨道Ⅱ到轨道Ⅰ，需要在P点点火加速，因此探测器在Ⅰ轨道上经过P点的速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的速度，故B正确；同一点，受到的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，加速度相同，故C错误；根据开普勒第三定律可知，Ⅰ轨道半长轴较大，周期较大，故D正确。4．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m解析：选C在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝meq\f(4π2,T12)R火，得T12＝eq\f(4π2R火,g火)，根据开普勒第三定律，有eq\f(R火3,T12)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l远,2)))3,T22)，代入数据解得l远≈6×107m，C正确。5.(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M解析：选B由万有引力提供向心力有eq\f(GM中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只与中心天体的质量有关，则eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(RS23,TS22),\f(R地3,T地2))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞≈4×106M，B正确。6.我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图虚线为大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点“跃”入，实现多次减速，可避免损坏返回器。d点为轨迹的最高点，离地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。则返回器()A．在b点处于失重状态B．在a、c、e点时的速率相等C．在d点时的加速度大小为eq\f(GM,r2)D．在d点时的速度大小v＞eq\r(\f(GM,r))解析：选C由题意知，返回器在b点处于超重状态，故A错误；从a到e通过大气层，除了受到万有引力作用，由于有空气的阻力作用，在a、c、e三点时的速率不等，故B错误；在d点受万有引力：F＝eq\f(GMm,r2)＝ma，所以加速度a＝eq\f(GM,r2)，故C正确；在d点，v＜eq\r(\f(GM,r))，所以D错误。7.(2022·哈尔滨五十八中期末)(多选)某探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下列说法正确的是()A．T1＞T2＞T3 B．T1＜T2＜T3C．a1＞a2＞a3 D．a1＝a2＝a3解析：选AD根据开普勒第三定律eq\f(r13,T12)＝eq\f(r23,T22)＝eq\f(r33,T32)，由题图可知轨道Ⅰ半长轴最大，轨道Ⅲ半径最小，所以T1最大，T3最小，故A正确，B错误；在空间同一点，卫星受到月球的万有引力相等，根据牛顿第二定律可知在同一点，卫星产生的加速度相同，故C错误，D正确。8．(2022·重庆一中期中)(多选)字宙中两颗靠得比较近的恒星，在彼此之间的万有引力作用下，围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统，下列说法正确的是()A．质量大的恒星其轨道半径小B．质量大的恒星其轨道半径大C．若双星经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变小D．若双星经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变大解析：选AC设两星的质量分别为m1、m2，两星间距离为L，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据题意，由公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得eq\f(Gm1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1＝m2eq\f(4π2,T2)r2，整理可得m1r1＝m2r2，可知质量大的恒星其轨道半径小，故A正确，B错误；整理可得T＝eq\r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))可知，若双星经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变小，故D错误，C正确。9.(2022·浙江绍兴期末)(多选)“天问一号”是我国发射的火星探测器。如图所示，假设“天问一号”探测器环绕火星做匀速圆周运动的周期为T，对火星的张角为θ。已知引力常量为G，由以上数据可以求得()A．天问一号探测器的角速度B．火星的质量C．火星的第一宇宙速度D．火星的平均密度解析：选AD根据ω＝eq\f(2π,T)可知，可以求出天问一号探测器的角速度，故A正确；设轨道半径为r，星球半径为R，满足sineq\f(θ,2)＝eq\f(R,r)，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可知M＝eq\f(4π2r3,GT2)，由于r未知，无法计算火星质量，故B错误；根据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可知v＝eq\r(\f(GM,R))，由于R未知，无法求出火星的第一宇宙速度，故C错误；根据ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))3)可知，可求火星的平均密度，故D正确。10．(2021·福建高考)(多选)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU(太阳到地球的距离为1AU)，S2的运行周期约为16年。假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出()A．S2与银河系中心致密天体的质量之比B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比C．S2在P点与Q点的速度大小之比D．S2在P点与Q点的加速度大小之比解析：选BCD设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率0.87＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(c,a)，且由题知，Q与O的距离约为120AU，即a－c＝120AU，由此可得出a与c，由于S2围绕致密天体运动，根据万有引力定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误；根据开普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝k，式中k与中心天体的质量M有关，且与M成正比，所以，对S2围绕致密天体运动有eq\f(a3,TS22)＝k致∝M致，对地球围绕太阳运动有eq\f(r地3,T地2)＝k太∝M太，两式相比，可得eq\f(M致,M太)＝eq\f(a3T地2,r地3TS22)，故可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；根据开普勒第二定律有eq\f(1,2)vP(a＋c)＝eq\f(1,2)vQ(a－c)，解得eq\f(vP,vQ)＝eq\f(a－c,a＋c)，故可以求出S2在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；S2不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，因P点到O点的距离为a＋c，Q点到O点的距离为a－c，解得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(a－c2,a＋c2)，故可以求出S2在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。二、非选择题11.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX­3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2