2023届安徽省皖江名校高三第四次阶段考试数学试题

2023届安徽省皖江名校高三第四次阶段考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图的程序框图，若输出的结果，则输入的值为()A． B．C．3或 D．或2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．3．已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．4．抛物线的准线方程是，则实数（）A． B． C． D．5．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）A．30 B． C． D．626．执行程序框图，则输出的数值为（）A． B． C． D．7．已知向量，且，则等于（）A．4 B．3 C．2 D．18．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸9．设函数，当时，，则（）A． B． C．1 D．10．已知的展开式中的常数项为8，则实数（）A．2 B．-2 C．-3 D．311．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（）A． B．C． D．12．已知函数（）的部分图象如图所示.则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，，则___________．14．以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则点的轨迹方程为_________．15．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里放的是，第3个盒子里放的是乙说：第2个盒子里放的是，第3个盒子里放的是丙说：第4个盒子里放的是，第2个盒子里放的是丁说：第4个盒子里放的是，第3个盒子里放的是小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________16．函数满足，当时，，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知椭圆经过点，且离心率，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，线段的中点为，记直线的斜率分别为，求证：为定值.18．（12分）已知函数，.（1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且；（2）若当时，不等式恒成立，求证：.19．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.（1）求证：；（2）当时，求的取值范围.20．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点.（1）求证：平面.（2）判断与平面的位置关系，并证明.21．（12分）设函数.（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；（2）若，，，求证：当时，．22．（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.【详解】因为,所以当，解得

，所以3是输入的x的值；当时，解得，所以是输入的x的值，所以输入的x的值为

或3，故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.2、A【解析】

根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3、A【解析】

分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.【详解】作出和，的图像如下所示：函数有三个零点，等价于与有三个交点，又因为，且由图可知，当时与有两个交点，故只需当时，与有一个交点即可.若当时，时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|有一个交点𝐵，故满足题意；时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|没有交点，故不满足题意；时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|也没有交点，故不满足题意；时，显然与有一个交点，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需.故选：A.【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.4、C【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选：C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.5、B【解析】

根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.6、C【解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，不满足条件，输出.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.7、D【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】因为，且，，则．故选：．【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．8、B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.9、A【解析】

由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．【详解】，时，，，∴，由题意，∴．故选：A．【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．10、A【解析】

先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为展开式的常数项，从而求出的值.【详解】展开式的通项为，当取2时，常数项为，当取时，常数项为由题知，则.故选：A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题.11、A【解析】

由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.【详解】由题意，2c＝8，则c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴双曲线C的方程为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.12、C【解析】

由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得.【详解】依题意，，即,解得；因为所以，当时，.故选:C.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

因为，所以，又，所以，则，所以．14、【解析】

根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程.【详解】，，和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上，，即，同理可得：，，，点的轨迹方程为．故答案为：．【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果.15、A或D【解析】

分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是是对的，则乙说：第3个盒子里面放的是是对的，丙说：第2个盒子里面放的是是对的，丁说：第4个盒子里面放的是是对的，由此可知第4个盒子里面放的是；假设甲说：第3个盒子里面放的是是对的，则丙说：第4个盒子里面放的是是对的，乙说：第2个盒子里面放的是是对的，丁说：第3个盒子里面放的是是对的，由此可知第4个盒子里面放的是．故第4个盒子里面放的电影票为或．故答案为：或【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．16、【解析】

由已知，在上有3个根，分，，，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，而含505个周期，所以在上有3个根，设，，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.若时，在上无根，在必有3个根，则，即，此时；若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；若时，要使在有2个根，只需，解得；若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数的范围为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）详见解析.【解析】

（1）由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得，代入标准方程中即可；（2）依题意，直线的斜率存在，且不为0，设其为，则直线的方程为，设，，通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含k的表达式表示，，进而表示；由韦达定理表示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示，最后做比即得证.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，即，所以.依题意，，即，解得，所以，.所以椭圆的标准方程为.（2）证明：依题意，直线的斜率存在，且不为0，设其为，则直线的方程为，设，.与椭圆联立整理得，故所以，，所以.又，所以为定值，得证.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的标准方程，还考查了椭圆中的定值问题，属于较难题.18、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

（1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论；（2）当时，不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立，设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可.【详解】（1），令，则，所以在区间上是增函数，则，所以在区间上是增函数.又因为，，所以在区间上有且仅有一个零点，且.（2）由题意，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，当时，；当时，恒成立，设（），所以.由（1）可知，，使，所以，当时，，当时，，由此在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.又因为，所以，从而，所以.令，，则，所以在区间上是增函数，所以，故.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.19、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）由于点在半圆上，则.①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），，，，.综上所述，；（2）根据题意得、，，令，则，所以，当时，，当时，.因此，的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.20、（1）见解析（2）平面.见解析【解析】

（1）要证平面，只需证明，，即可求得答案；（2）连接交于点，连接，根据已知条件求证，即可判断与平面的位置关系，进而求得答案.【详解】（1），为边的中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，，在内，，为所在边的中点，，又，，平面.（2）判断可知，平面，证明如下：连接交于点，连接.、、分别为边、、的中点，.又是的重心，，，平面，平面，平面.【点睛】本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理