纯净水安全监控问题的数学建模论文

纯净水安全监控问题摘要：水是人类赖以生存的资源，日趋加剧的水污染，已对人类的生存安全构成重大威胁，对水污染的研究，在现实社会中有着重大的的意义。为此强化纯净水安全监管工作已十分重要，虽然目前安全监管工作已取得了初步成效。但纯净水安全问题的总体形势仍不容乐观，如何加强安全监控尤为重要，本文是针对九家纯净水公司的具体检查情况建立模型对九家纯净水公司进行综合评价。问题1：经过我们的分析，确定了使用简单的线性评价模型来解决，即是，在设定好权值后，可以直接代入每次的检验结果就可以得出每次检验的综合指数，再根据这个指数就可以给出本批次纯净水的一个优劣层次。问题2:选用聚类分析将样品的相似性紧密联系在一起，结合专家打分法依照危害因素的危害程度赋予了一定的权值对公司的安全风险作出评价，得出同类公司的共同特点。公司归为第一类，公司归为第二类，公司的水用归为第三类。问题3：本文建立了熵权模型，通过熵值法求出四个危害因素在不同环节的权重，据此分析得出纯净水在生产流通环节的危害因素以及各个危害指标的分布规律，并在此基础上，讨论得出公司的管理状况。问题4：我们在现有的历史数据下,求出各个危害因素所占的百分比,据此得到每家公司在下一年度100个批次的检验总数中的检验分配数,在此基础上,我们建立以检测出不合格品的风险度最高为目标函数的整数线性规划模型,利用求解,可得到各公司检验批次的分布。问题5：我们可以按照书信的方式给该区的食品安全委员会提出了一些我们自已的建议和改善方法。这样，可以更为亲切的表达本文中的各项统计结果。最后对本文中的模型及相关问题处理作了评价，探讨优缺点，并做进一步的分析，提出改进思路。关键词：线性评价模型聚类分析熵权模型软件一问题描述与分析1.1问题背景本问题主要考虑纯净水的以下危害因素:（按照危害的严重性依次给出）“电导率”:是纯净水的特征性指标，反映的是纯净水的纯净程度，以及生产工艺控制的好坏，“电导率”根本达不到国家卫生标准要求，与自来水无异，根本不能算做纯净水。菌落总数:是指纯净水检样经过处理，在一定条件下培养后所取1ml（g）检样中所含菌落的总数。它可以作为判定纯净水被污染程度的指标之一。大肠菌群：反映纯净水加工过程中对大便污染程度的一个指标。数值越高证明污染越严重。霉菌：食物霉变后产生，直接引起中毒，或产生致癌物质，毒害人体。1.2问题的提出某城区共有九家生产并销售纯净水的公司，其中A公司和B公司规模较大，其余均为小公司。针对该城区提供的近年的关于各公司的纯净水检测报告（见附件），请你利用数学建模的方法回答以下问题：1、结合本问题所给数据，给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，确定评价的标准和评价的规则，对该城区所有批次的纯净水进行评判排序。2、对该城区范围内的监控对象（各公司）按风险度进行排序评价，并对它们分类综合评价，指出各公司产品的主要可能的危害因素，并指出同类公司的实际特点。3.对检测出的不合格的样品成因分析：评价纯净水生产流通环节（归为仓库和销售网点两类）的危害因素以及各个危害指标的分布规律，并通过四类危害指标的分析，讨论A、B、D公司的管理状况。4.国家相关部门每年要面对各种专项检验，对于纯净水专项检验的投入经费有限，已知该城区下一年度投在纯净水方面的检验总批次为100个批次，在现有历史数据的基础上，并考虑各公司的实际运行状况，如何设置各公司检验批次的分布，使得抽检方案的针对性最优（即检出的风险性为最大）。5.结合你的工作，请你给该城区食品安全委员会写一篇短文，阐述你的观点，评价该城区的饮用水安全形势并给出监控对策。1.3.1问题1的分析要给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，我们首先对题目给定的该城区近年来关于各公司的纯净水检测报告中的数据进行了统计分析。对相同批次的结果数据进行合并求均值处理，这里我们不考虑哪个公司对应哪个批次。这样我们就得到一个以批次为基准的数据表。同时，按照危害的严重性依次给“电导率”、菌落总数、大肠菌群以及霉菌进行权值设定，依次为0.4、0.3、0.2、0.1。然后对各项检测结果建立线性的综合评价体系即，在结果中，再将四项指标全合格的与至少有一项指标不合格的分开处理，把后者的综合指数乘以10处理，以扩大指数程度以方便与全合格的水进行区别。根据计算值，即综合指数进行排序处理即可得出该城区所有批次的纯净水的优劣层次。1.3.2问题2的分析问题二中涉及对监控对象的分类问题，可以利用聚类分析方法来解决。聚类分析一般寻求客观的分类方法，在进行聚类分析以前，对总体到底有几种类型并不知道，因此对本问题很适用。选用聚类分析将样品的相似性紧密联系在一起，结合专家打分法依照危害因素的危害程度赋予了一定的权值对公司的安全风险作出评价。1.3.3问题3的分析根据题中所给数据找出的不合格的样品所对应的环节，找出四个危害因素在各个环节的权值，因为抽取的样品中，存在一定的不确定度，所以我们建立了熵权模型，利用熵值法解决这一问题，并且给出各个危害指标的分布规律。在此基础上，我们通过分析，讨论得出公司的管理状况。1.3.4问题4的分析本问要求我们设置各公司检验批次的分布，使得抽样方案的针对性最优，也即根据历史数据，使得在下一年度抽样检验中各公司生产的纯净水被检验到不合格的风险度最大，由于批次的分配数目不仅仅要落实到各家公司，还要具体到各家公司的两个环节（仓库和销售网点），所以我们先根据现有的历史数据，在算出各个危害因素所占的百分比的前提下，确定分配到各家公司的检验批次，再以检测出不合格品的风险度最高为目标函数，建立线形整数规划，在软件中求解，得到每家公司在各个环节的检验次数，也即各公司检验批次的分布。1.3.5问题5的分析实质是让我们对前面四问作一个总结，即是给当地食品安全委员会提出自的看法与建议，以此对改善该区的饮用水现状提供一些实质性参考依据。二假设和符号说明2.1问题假设假设1：各批次有一个危害因素不合格则视为该批次不合格；假设2：采样的地点、样品、及数量均是随机的；假设3：所有数据在记录时没有错误；假设4：仅考虑所检验的四个危害因素，其他因素忽略；假设5：每个公司放在仓库和销售点的产品不考虑差异性；假设6：项目4（霉菌和酵菌）中，标准值不得检出记为0值；2.2符号说明：综合指标：第i项危害因素的标准值：第i项危害因素的权重：第i项危害因素的检测结果：第j公司第i项危害因素均值：第i公司的风险度：第i公司检验次数：i公司拟定检验次数：i公司第j次检验的指标：i公司第j次检验的瓶数：i公司第j次检验k指标的结果------------电导率-------------菌落总数------------大肠菌群------------霉菌酵母菌---------------评价对象总得分矩阵；---------------评价对象的各指标项得分；----------------指标项的权值；----------------各公司检验批次；三模型建立与求解3.1针对问题13.1.1模型建立与求解在建立模型之前我们需要对数据进行处理，我们先对原始数据按照批号进行排序（升序）。排序后对相同批号的每一个指标的检验结果作均值处理，但是这里我们不考虑相同批次可能对应不同的公司的情况，并且在霉菌和酵母一项中，我们把未检出设制为0，得到如下表的结果：表1：按批号升序排列并对相同批次求均值批号电导率结果菌落总数结果大肠菌群结果霉菌和酵母结果200704153.91010200704252.6100200705121300200706091.72520200707037.233510200707045.433200.50.75200708094.0050.510200708104.7320.50200712163.69666671.66666670.33333330200712184.140.5002007121927.2100200712203.37000200808264.56000200808278.245160.250.25200809013.7534002008090221.34500200901091.820002009011027.80002009011144.717.5012009011226100.66666670题目中给出四项指标按照危害的严重性依次为：那么我们按照这个标准设定一组权值，依照上面的关系式权值依次为0.4、0.3、0.2、0.1，此权值完全依照危害指标的严重性及其社会属性而定，下面我们考虑简单的线性综合评价模型：这里y表示安全风险度，即我们所说的综合指数。下面我们就按照这个模型进行求解。通过代入每一项指标进行计算，同时对不合格的批次的综合指数作乘以10处理，并对综合指数进行排序（升序）可以得到下表：表2：按合格与不合格品进行综合指标排序批号四项指标的单项判定归总综合指数20090109合格品（全为1）0.728200705121.3200704251.34200712201.348200704151.764200712181.806200808261.824200708091.952200712162.045333200706092.588200708102.59220080827不合格品（至少有一个是0）81.7320090110111.220071219111.82008090111720090112135.333320070703135.9220090111202.3420080902220.220070704983.47这即是对该城区所有批次的纯净水进行的评判排序得出的结果。3.1.2模型评价和结论针对本问，我们是按照批次来评价。所以在这里要确定的评价标准一定是从各批次的抽检结果中来，这里只有四个指标，如果有更多指标，同样可以用上面分析出的简单线性模型来进行求解。在评价规则上，我们规定各项指标的单项判定全为1的为合格品，如果含有一个或以上0的为不合格品。这样一来，可以很方便的对合格与不合格品进行划分，并分别对这两类进行评判排序。即可以得到一个按综合指数大小进行评判的评价体系。但在建立模型阶段，我们对权值的设定处欠妥，只是根据其社会属性即其危害程序的严重性进行的。在最后的求解时，我们用了一个程度扩大化的思想，即把不合格的综合指数乘以10，拉大与合格品的距离，这样就方便我们直观的观察规律以及对各批次纯净水等级的判断。3.2针对问题23.2.1模型建立3.2.1.1模型1问题二中涉及对监控对象的分类问题，可以利用聚类分析方法来解决。聚类分析一般寻求客观的分类方法，在进行聚类分析以前，对总体到底有几种类型并不知道，因此对本问题很适用。聚类分析模型：设为所关心的个指标，对此指标作组观测得组观察值称为这组观测数据为个样本，这时，每个样本可看成片维空间的一个点，个样本组成维空间的个点，我们用各点之间距离；来衡量各样本之间的靠近程度。设是样品之间的距离，一般要求他满足下列条件：（1）且当且仅当；（2）；（3）；对数据求方差加权距离其中3.2.1.2模型2利用专家打分法对评价对象中的各项指标项目依照评价指标的重要程度，给与不同的权重，即对各因素的重要程度做区别对待。具体模型如下：式中，评价对象总得分；评价对象的指标项得分；指标项的权值；。3.2.2模型的求解根据的问题一中求解得指标综合得分,用聚类分析的方法将各样本分为三类（好、差、很差）,在分类时由于表格中的个别样本差异较大，如021502-1.2632其数据对分类有很大影响，原因可能是其数据与其它样本数据相差很大故文中将其归为第三类，另外数据（如下表6）：表（6）14800100.85470214000-1.0813516000-0.697321180130.9236其中数据较大文中亦将其归为第三类用聚类分析得出各类中样本数据的相似性达到85%以上，较好的达到了分类的目的。图（1）通过模型2对上述用聚类分析分得的三个类别（好、差、很差）进行赋权重，分别为0.5、0.3、0.2。对公司的风险度进行评分，分数越高的风险度越低。（1）A表示权重矩阵，即（2）利用对数据进行处理，得到各个公司中好、差、很差三种类别中纯净水的数量。所有数据构成一个的矩阵，令其为。各公司参加检测的产品数目为。（3）风险度评分矩阵，风险度评分越大说明好的类别中的数量占总的比重越大，即风险度越低。利用上述步骤求得的具体数据如下表（7）所示表(7)公司检测数量好（0.5）差(0.3)很差(0.2)总评分J风险排序A203980.29004B169430.39387C73400.38576D60150.21671E33000.50008F6060O.30005G44000.50009H50140.22002I30120.233333.2.3模型评价和结论按风险度进行排序从高到低依次为。对好、差、很差进行定义：（1）好表示其纯净水能较好达到国家标准可放心饮用；（2）差表示该纯净水基本可饮用；（3）很差表示其已不能饮用。按风险度评分用一次聚类方法把九家公司分成以下三类：公司归为第一类，公式归为第二类，公司的水用归为第三类。第一类公司很差类别的数量所占的比重很大,所以该类公司的纯净水质很差为不合格产品；第二类公司好和差所占比例差不多，不出现很差的，该类公司的纯净水基本可以使用；第三类公司的产品都是属于好类别的，该类公司的纯净水可放心饮用。对很差纯净水的危害因素进行讨论：A公司的纯净水主要危害因素为：电导率、菌落总数。D公司的纯净水主要危害因素为：菌落总数、霉菌。H公司主要危害因素为电导率、菌落总数。I公司的纯净水主要危害因素为电导率、菌落总数。第一类公司中其纯净水至少有两项没达到标准其菌落总数均比较多，而第二类公司其纯净水各项指标均能较好的达标，第三类公司的纯净水质量很好。3.3针对问题33.3.1模型的建立为了评价纯净水各个环节的危害因素，我们利用熵权法找出各个危害因素在不同环节的比重，从而对其进行评价。3.3.1.1基本原理在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性越大，熵也越大。根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大。3.3.1.2熵值法步骤（1）计算第j个危害因素下第i个时间检测结果占该指标的加权比重：（2）计算第j个危害因素的熵值（3）计算第j个危害因素的差异系数。对于第j个危害因素，指标的差异越大，对纯净水的作用也就越大，熵值就越小。定义差异系数：（4）求权重根据上述权重我们便可以求出各个危害因素在不同流通环节所占的比例。3.3.2模型的求解根据熵值法的步骤可求出各个危害因素在不同环节所占的权重如下表8：表8：各个危害因素在不同环节下的权重环节危害因素仓库销售网点电导率0.37199340.4598977菌落总数0.21084520.3545126大肠菌群0.30852270.1855897霉菌和酵母0.10863870由此表可以看出：在仓库这个环节，影响纯净水质量的主要因素的先后次序是电导率、大肠菌群、菌落总数、霉菌和酵母。在销售网点这个环节，影响纯净水质量的主要因素的先后次序是电导率、菌落总数、大肠菌群。其中电导率是主要危害因素。3.3.3模型评价和结论对三公司的管理状况进行分析：由表6：各公司主要危害因素可以看出两公司生产的纯净水分别在电导率、菌落总数及霉菌和酵菌这三项危害因素上有严重问题，公司生产的纯净水在菌落总数这项危害因素上严重超标，结合题中所给的下列叙述：“电导率”:是纯净水的特征性指标，反映的是纯净水的纯净程度，以及生产工艺控制的好坏，“电导率”根本达不到国家卫生标准要求，与自来水无异，根本不能算做纯净水。菌落总数:是指纯净水检样经过处理，在一定条件下培养后所取1ml（g）检样中所含菌落的总数。它可以作为判定纯净水被污染程度的指标之一。大肠菌群：反映纯净水加工过程中对大便污染程度的一个指标。数值越高证明污染越严重。霉菌和酵菌：食物霉变后产生，直接引起中毒，或产生致癌物质，毒害人体。可以得出：公司生产的纯净水纯度很差，作为大公司的它，在生产工艺控制方面有很严重的缺陷，管理状况不容乐观，需要做改善；公司生产的纯净水在生产流程中受到了一定的污染，管理状况也有一定的欠缺；公司生产的纯净水存在和公司相同的情况，说明虽然公司规模虽然小，管理起来很方便，可该公司的管理状况仍然存在很大的漏洞，需要改善。3.4针对问题43.4.1模型的建立根据题中提供的近几年的关于各公司的纯净水检测报告,我们分析各个危害因素的所含百分比,可得出各个公司在抽样在这三年中的危害因素占整个城市的危害因素的比例,由此可得到在下一年度的100个批次的检验中各公司的分配检验数如下表9: 表9:各公司的分配次数 公司分配次数A22B24C4D32E1F2G1H9I5在此基础上,我们求出在各公司生产的纯净水各个环节抽样检验时，可使抽检方案的针对性最优（既抽检出不合格品的概率最大）。根据题中所给数据可计算出各个公司危害因素在各个环节的权值，以此做为各个公司危害因素在在各个环节的不合格品的风险度；再由各个公司安排的检测数目分配为约束条件，以检测出不合格品的风险度最高为目标函数可建立整数线性规划模型：

3.4.2模型的求解及结论用软件编程求解可得到具体的抽检方案如下表: 表10:各公司各地点抽样分布表仓库厂成品库店内营业部内货架货架上A2200000B0240000C000040D14180000E000001F000020G100000H305100I5000003.5针对问题5给食品安全委员会的信XX区食品安全委员会：相关领导你们好，我们是来自XX大学的三名大学生，最近对贵区的九家纯净水公司的产品的风险度进行了相关的评估，并得出了一系列的风险度系数。我们的数据来源是贵区近年来对于各公司的纯净水的检测报告。我们利用相关的专业知识，对这批数据进行了细致的分析，并建立了数学模型，方便以后贵区对这九家纯净水公司的产品进行相关的风险度评估。同时，我们也从对这九家纯净水公司的管理上提出了一些我们自已的看法，希望相关领导能够酌情采纳。首先，我们通过对数据的处理发现，在四个危害指标中，“电导率”一项有着逐年上升的趋势，但总的规律还是出现着交替的波动。而菌落总数一项从整体上看好似有下降的趋势，但是在20070704这一个批号上，它的检测结果出现了异常值，四家公司在这一个批号上同时出了问是，即我们可以肯定的是，在这一个批号生产的时候，主水源受到了污染，从而导致了这一结果。在其它两个指标上控制得也不是很理想，也总是会有不合格的指标出现。通过统计计算，我们对城区内的九家纯净水公司按公司做了一个风险度排序，其中风险度最低的是G公司。按风险度排序的总体情况是：如果按照只要有一项指标不合格就判定为该纯净水不合格的话，那么该城区的纯净水有45%是不合格的。照这样发展下去，贵城区的饮用水安全问题将直接影响到城区居民的身体健康。对此，我们给出了以下几点建议：1、从源头着手，对检测出的不合格指标要求生产商进行强制整改。2、根据我们统计数据得出的相关结果，对各公司相关的薄弱环节都有给出。针对各公司在某一个危害指标上进行相应的整改。加强生产过程的监管力度，以保障城区居名的饮用水安全。3、从检验结果上看，在销售流通环节上同样检出了不合格产品，那么在保障纯净水容器瓶的完整性上需要加大力度，一旦有破损均不得销售。4、由于考虑到检验经费的问题，我们还预算出了下一年度对贵区九家公司进行检验的次数。以达到最佳利用检验经费的目的。5、对生产工艺进行改进，引进一些先进的净水设备对水源进行处理，有针对性的对各项危害指标进行处理，使其值低于标准值为目标。以上是我们对贵区监控与改善纯净水安全风险度作出的一点建议，希望对你们的实际工作能起到一点帮助。同时，我们的能力有限，如有失实的地方，还望批评指正。四模型的评价4.1模型的评价本文建立了线性评价模型，聚类分析，熵权模型，专家打分模型，充分利用编程进行求解，得到了一个比较优化的结果。4.1.1主要优点模型结构清晰、层次分明，数学表达式含义直观、明确、易懂。在问题的求解中充分运用了表格和图，使结果明了、清晰。此模型具有极为广泛的应用性，对每一个具体的情况，都可以通过模型求解。从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，并进行实例验证，从而证明我们建立的数学模型可以较好地解决实际问题。本模型能与实际紧密联系，结合实际情况，对所给数据进行合理解释，使模型更贴近实际，通用性较强。4.1.2主要缺点（1）对每个因素的分析较为简单，没有找出很准确的基本规律；（2）由于数据较少，在进行各项计算时精度不高，许多地方只是大概的估计了一下，因此模型的准确度较差；（3）在建立模型时，我们没有考虑抽检时间与产品批号时间之差的大小对结果的影响；（4）对每个批号的检测结果取平均值，精确度不够高；4.2模型的推广此模型可以应用到实际生活中，不仅仅是对公司纯净水安全的检测；并且对商场上其它商品的检测都可以用到，如食品的安全的检测，空气、水库污染，煤矿爆炸问题。参考文献[1]姜启源、谢金星、叶俊。数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003。[2]邱菀华.管理决策与应用熵学.[M].北京.机械工业出版社,2002。[3]张尧庭,方开泰.多元统计分析引论[M].北京:科学出版社,1982。[4]赵静，但琦，数学建模与数学实验[M]，北京：高等教育出版社，2003。[5]谢季坚,刘承平.模糊数学方法与其应用[M].武汉:华中科技大学出版社,2002。附件:问题2：聚类分析clearallclcx=xlsread('2','sheet1');x=x(1:30,8);x2=zscore(x);%标准化数据y2=pdist(x2);%计算距离z2=linkage(y2);%表示用最短距离法创建系统聚类树为（m-1)×3的Z矩阵C2=cophenet(z2,y2)%计算聚类树信息与原始数据的距离之间的相关性T=cluster(z2,3);%根据linkage函数的输出Z创建以0.5作为聚类分界值H=dendrogram(z2);%生成只有顶部p个节点的冰柱图（谱系图）问题4：model:sets:weizhi/1..6/:q;xuhao/1..9/:N;links(xuhao,weizhi):m,x;endsetsmax=@sum(links(i,j):x(i,j)*m(i,j));!max=@sum(xuhao(i):@sum(weizhi(j):x(i,j)*m(i,j)));@for(xuhao(i):@sum(weizhi(j):m(i,j))=N(i));@for(weizhi(j):@sum(xuhao(i):m(i,j))=q(j));!@sum(lin