最速降线是连接两一段旋轮线

最速降线是连接两一段旋轮线

“最速降线”是一个非常著名的历史问题。正如提到的那样，咸丰在1630年提出了这个问题。在重力的作用下，一个点的质量在另一个点处，从点1，直到不垂直于其垂直下的另一个点，忽视了摩擦。我问哪种曲线越短，时间就越短。正如赫尔沙夫霍洛夫再次提出这个问题并收集了它。第二年，牛顿和莱布尼茨给出了正确的答案。“速度曲线是连接两点和两点的一条螺旋线。学生对“最速降线”问题很感兴趣,可以通过如图1所示的物理演示实验装置演示,斜着的两条轨道,起点和终点相同,在起点处分别放置两个完全相同的小球,同时释放小球,让学生预测哪个小球先到达终点.很多学生认为是同时到达,因为他们认为直线轨道虽然路程短但小球运动速度相对要慢,而弯曲轨道路程虽然长,但小球运动速度快,所以两个小球会同时到达终点;也有一部分人认为应该是直线轨道上的小球先到达,但是实验表明:沿曲线轨道(路程长)的小球先到达终点.如何解释实验现象?如果再有其他的轨道,究竟那条路径用时最短?这个看似简单的问题,却不能让学生一下子找到答案,所以这个实验引起很多学生浓厚的兴趣,学生给出的研究结果也是五花八门,但是正确的解释却凤毛麟角.关于这个问题牛顿等人已经给出正确答案,但是这是一个比较复杂的推导过程.本文借助Matlab对“最速降线”进行分析并得出一些结论,可以直观地让学生理解最速降线问题.Matlab是目前广泛应用工程技术的计算语言之一,它的语法规则比Basic和Fortran及C语言更简单,编程特点更贴近人的思维方式,所以非常易学易懂,Matlab具有强大的运算功能和作图功能.本文通过Matlab编程研究了最速降线的一些问题,编程过程体现微积分的过程,说明最速降线的问题形象直观.而且还能更直观地比较出不同轨道之间的关系.1确定夯实线的轨迹牛顿等人给出“最速降线”的正确答案是:连接起点和终点的旋轮线上的一段.什么是旋轮线呢?旋轮线就是做无滑滚动的轮子边缘一点的运动轨迹,如图2所示,半径为R的圆周,沿一条直线作纯滚动,取直线为x轴,竖直向下为y轴,考虑圆周的边缘的P点,其起始时刻在所标原点O,θ为轮子转过的角度,其轨迹方程为x=R(θ-sinθ)y=R(1-cosθ)x=R(θ−sinθ)y=R(1−cosθ)2轨道小段式及其特征起点与终点的选取:为了讨论问题方便,x沿水平方向,y轴竖直朝下,做一个圆心在(0.2,0),半径为0.2圆弧,选圆弧上的(0,0)作为质点运动的起始位置A点,选圆弧上的(0.3‚√0.03)(0.3‚0.03−−−−√)作为质点运动的终点B点.这样A、B可视为重力场中的两点,B点位置较低且不在A点的正下方.不同形状的轨道选比较常见的直线、圆弧、抛物线和旋轮线形状的轨道.通过Matlab编程求解质点沿轨道的运动:根据微积分的思路把有限大的过程看成是由许多微小过程组成的,如图3所示:把弯曲的轨道分成很多小段,每一小段可以视为直线段,每一小段的Δx=0.000001m,轨迹长为Δs=√(Δx)2+(Δy)2=√0.0000012+(Δy)2Δs=(Δx)2+(Δy)2−−−−−−−−−−−−√=0.0000012+(Δy)2−−−−−−−−−−−−−−−√,不同的轨道Δy不同,质点在任意小过程中的速率视为匀速为v=√2gy=√20yv=2gy−−−√=20y−−−√,每一小过程所用时间Δt=Δsv,整个过程所用的时间就是对所有的Δt求和.对旋轮线轨迹,按旋转角平分,每转过0.00001弧度为一小过程,算出每一小过程的Δx和Δy,从而可以求出每小段的Δs、Δt.3重力场轨道线的速度、速度和轨道通过速度的变化伽利略认为圆形轨道是最速降线,但是通过A、B两点的圆形轨道也有很多条,到底哪个圆形轨道用时最短,现在我们通过Matlab编程来寻找答案.把上面我们选定A、B两点的圆形轨道作为一条,它是曲率最大的圆形轨道,过两点的曲率再大的圆弧就不满足质点可以沿轨道运动的条件:y1(x)=√0.04-(x-0.2)2——(圆心为(0,0.2),半径为0.2m的圆周).利用几何关系找到过A、B两点的曲率半径为0.3m的一段圆弧作为曲率较小的圆形轨道y2(x)=√0.09-(x-0.2724745)2-0.1255295——(圆心为(0.2724745‚-0.1255295))y3(x)=√0.030.3x(它是两点之间的曲率最小的极限轨道).Matlab编程运行结果1:显示了轨道曲线如图4所示,重力场中起点和终点相同的三条曲率不同的圆形轨道.它们轨道长度不同,y1(x)的轨道长度最长为0.4189m;曲率较小的y2(x)轨道长度为0.3693m;直线轨道y3(x)的长度最短为0.3464m.程序运行结果2:得出的速度与x坐标的关系曲线如图5所示,虽然曲率较大的轨迹路程要长,但是由于在重力场中质点沿轨道运动只有重力做功,重力势能转化成动能,所以在任何x坐标处曲率较大的轨迹的质点运动速率要大些.要讨论哪条曲线轨道用时最短,不但要看路程的长短,还要考虑运动速率的大小对运动的影响.图5表明在整个过程中曲率最大的这条轨道质点速度总是最大,相反直线轨道的速度总是最小.程序运行结果3:图6为质点运动到达水平x坐标位置与其所用时间的关系,曲率较大的轨道在初始阶段在水平方向的位移比其他轨道要小,但是前面的运行结果表明初始阶段曲率较大的轨道速率增加的快,所以在后面的阶段它在水平方向的位移先超过直线轨道,再超过曲率较大的轨道,最终曲率较大的轨道先到达终点.曲率最大的y1(x)轨道所需时间最短为t1=0.3098s;曲率较小的y2(x)轨道所需时间为t2=0.3102s;曲率为零的直线y3(x)轨道所需的时间最长t3=0.3717s.结论:如果A、B之间的轨迹为圆周上的一段,在满足质点可以沿轨道运动的前提下,我们发现质点沿曲率越大的轨迹运动,所需时间越短,相反质点沿曲率越小的轨迹运动所需时间越长.讨论:伽利略指出圆形轨道是“最速降线”,在比较圆弧轨道与直线轨道的关系时是正确的,即圆弧轨道比直线轨道用时间要短.4开口较大的表面线过A、B两点的抛物线轨道很多,为了选出用时最短的抛物线轨道,我们选了过A、B两点三个开口不同的抛物线轨道.如图7所示,y4(x)=-7(x-0.19125)2+0.256——开口较小的抛物线y5=-1.9245(x-0.3)2+0.17320508——开口较大的抛物线y6=-1.1547(x-0.4)2+0.18475——开口更大的抛物线基于Matlab的运行结果:(1)三条轨道的形状如图7所示.(2)三条轨道的长度,s4=0.4766m,s5=0.3573m,s6=0.3503m,开口较小的y4(x)轨道最长,开口最大的y6(x)的轨道长度最短.(3)质点运动到达水平x坐标位置与其所用时间的关系如图8所示,质点沿三轨道运动所用时间:t4=0.3384s,t5=0.3230s,t6=0.3348s,结果表明当抛物线的中线过终点B时,这个抛物线轨道用时最短.所以我们用这条曲线与其他形状的轨道比较.5轨道运动情况1)y1(x)=√0.04-(x-0.2)2——(圆心为(0,0.2),半径为0.2m的圆周)y3(x)=√0.030.3x——过A、B两点的直线方程y5=-1.9245(x-0.3)2+0.17320508——用时最短的抛物线{x6=0.08715(θ-sinθ)y6=0.08715(1-cosθ)——过A、B两点的旋轮线方程程序运行结果:各轨道形状如图9所示,各轨道时间与x关系如图10所示.各轨道的路程:s1=0.4189m;s3=0.3464m;s5=0.3573m;s6=0.3762m质点沿各轨道运动所需时间:t1=0.3098s;t3=0.3717s;t5=0.3230s;t6=0.3081s运行结果表明:(1)质点沿旋轮线轨道运动所需时间最短,次之是圆形轨道,抛物线轨道第三,而沿路程最短的直线轨道所需时间最长.(2)结果也表明质点沿圆形轨道运动所用时间与旋轮线的差别很小,难怪伽利略曾给出圆形轨道用时最短的结论.2)改变终点B位置到(0.373205,0.1),重新模拟出通过新的终点的不同形状的轨道y1(x)=√0.04-(x-0.2)2——(圆心为(0,0.2),半径为0.2m的圆周)y7(x)=0.10.373205x——过A、B两点的直线方程y8=-0.717968(x-0.373205)2+0.1——用时最短的抛物线{x9=0.07155(θ-sinθ)y9=0.07155(1-cosθ)——过A、B两点的旋轮线方程程序运行结果:各轨道形状如图11所示,各轨道时间与x关系如图12所示.各轨道的路程:s1=0.5236m;s7=0.3864m;s8=0.3904m;s9=0.4429m质点沿各轨