第十章 对坐标的曲面积分

第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质

三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分

第十一章2021/5/91对坐标的曲面积分一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧2021/5/92曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面2021/5/93典型单侧曲面:莫比乌斯带2021/5/94•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)2021/5/95曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:类似地可定义2021/5/96其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设

为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定2021/5/97二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.2021/5/982021/5/991.分割则该点流速为.法向量为.2021/5/9102.求和2021/5/9113.取极限2021/5/912设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;

叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对

的任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积三.定义：2021/5/913引例中,流过有向曲面

的流体的流量为称为Q

在有向曲面

上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面

上对

x,

y

的曲面积分.称为P

在有向曲面

上对

y,z

的曲面积分;若记

正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式2021/5/9143.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用

¯

表示

的反向曲面,则2021/5/915四、对坐标的曲面积分的计算法2021/5/9162021/5/917注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.2021/5/918这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式概括为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy面）定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号2021/5/919注积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加②确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负例1计算所截得的在第一卦限的部分的前侧2021/5/920解2021/5/921解例22021/5/922

思考:

下述解法是否正确:根据对称性2021/5/923例3计算平面

x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解分成四个部分左侧下侧后侧上侧2021/5/924同理2021/5/925同理注对坐标的曲面积分的对称性被积表达式具有轮换对称性，即将被积表达式中的所有字母按xyz顺序代换后原式不变积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同，且配给的符号也相同2021/5/926五、两类曲面积分之间的联系2021/5/9272021/5/928两类曲面积分之间的联系2021/5/929向量形式2021/5/930例4解2021/5/9312021/5/932注此例的解法具有普遍性:同一投影法2021/5/933六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”2021/5/934思考题思考题解答此时的左侧为