第九章 二重积分习题课

习题课章二重积分

2021/5/91一基本要求

1.正确理解二重积分

2.了解二重积分的性质。

3.熟练掌握二重积分的计算方法。

(1)直角坐标系下(2)极坐标系下

(4)问题与注意

5会用二重积分计算曲面的面积、立体的体积；以及平面薄片的质量；

二典型例题

1.积分换序2.选择坐标系,确定积分限三课堂练习

1.填空2.选择3.计算第六章

重积分

2021/5/92...几何意义：当f(x,y)0时，(1)(1)式表示：一基本要求特殊情况：若在域D上f(x,y)

1=域D的面积.存在定理：定义：x0y平面上的域D为底的曲顶柱体的体积。以z=f(x,y)为曲顶,...1.二重积分的定义2021/5/932.

二重积分的性质比较定理:设f(x,y),g(x,y)在有界闭域D上可积:估值定理:中值定理:若在域D上，f(x,y)

g(x,y),s是D的面积，则点(,)D,除了一般性质，特别要了解比较定理、估值定理、中值定理这三个性质。设M,m为f(x,y)在D上的最大值和最小值，设f(x,y)在有界闭域D上连续，2021/5/943.二重积分的计算问题：计算方法：化二重积分为二次积分.(1)根据什么选择坐标系？根据被积函数和积分区域的特点。(2)根据什么选择积分次序？根据积分区域D的边界的特点：原则：分块尽可能少，并且积分上、下限简单；容易根据第一次积分结果计算第二次积分。注意：(1)无论在什么坐标系下，转化成二次积分计算时，积分的下限要小于积分的上限。(2)灵活运用二重积分的性质简化计算过程。(3)善于利用被积函数在对称积分区域上的奇偶性简化计算。具体如下：2021/5/95二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.利用重积分换元公式机动目录上页下页返回结束2021/5/96典型例题1.积分换序例1计算.此题必须换序。因为原函数不能用初等函数表示。换序：.2.选择合适的坐标系积分例2计算极坐标系解：2021/5/97(1)若积分区域D关于x轴而f(x,y)是y的奇(偶)函数，则0当f(x,–y)=–f(x,y)当f(x,–y)=f(x,y)其中D1是D在上半平面的部分..(2)若积分区域D关于y轴对称，而f(x,y)是x的奇(偶)函数，则0当f(–x,y)=–f(x,y)当f(–x,y)=f(x,y)其中D2是D在右半平面的部分...(3)若D分别关于x轴、y轴对称，而f(x,y)关于x,y同时为偶函数，则当f(–x,y)=f(x,y)且f(x,–y)=f(x,y)其中D3是D在第一象限的部分.对称，*证明举例如下2021/5/98例3例4由对称性，设D1是D在第一象限的部分..oxyD因积分区域D关于x轴对称；被积函数是y的奇函数,..x=12021/5/99例5.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.机动目录上页下页返回结束2021/5/910(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得机动目录上页下页返回结束2021/5/911例6.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标机动目录上页下页返回结束2021/5/912例7.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线机动目录上页下页返回结束2021/5/913(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成机动目录上页下页返回结束2021/5/914(1)计算其中D分别为:oxyaa–aD1D2xoy–aoxyaaD1D2oxy2aDaa2aD(a,a)（积分域D关于y轴对称，xy2是x的奇函数）I=（D关于x轴对称，xy2是y的偶函数）.（选什么系？）(选什么系?)...三课堂练习1.填空0I=I=I=（选极坐标系）(先对哪个变量积分?)(直角系)(先对x).2021/5/9158

设D是矩形域：–

x

,–1

y1.则(3)

设则在极坐标下的二次积分为...(4)

交换二次积分的积分顺序：(5)...–

1(2)2021/5/9162.选择(1)则下列关系式成立的是：(A)

I1

I2(B)

I1

I2(C)

I1<I2(D)

I1>I2答:（）(2)则I满足（）.(A)(B)(C)(D)(3)(A)(B)(C)(D)1DAB2021/5/9173.计算(1)(2)(3)2021/5/918谢谢使用返回首页习题课.2021/5/919证明：(1)若积分区域D关于x轴对称，而f(x,y)是y的奇(偶)函数，则0当f(x,–y)=–f(x,y)当f(x,–y)=f(x,y)其中D1是D在上半平面的部分.设D=D1+D2其中D2是D在下半平面的部分.oxyD2D1abx0

(x0)–(x0)因为域D关于x轴对称，∴取定x=x0时，相应的D的边界上的点必互为对称点。∴纵坐标满足：原式右边定积分性质证毕.2021/5/920

设D是矩形域：–

x

,–1

y1.则8

（D关于x轴对称，siny是y的奇函数.）.解：1(2)证毕.2021/5/921则在极坐标下的二次积分为.oxy图形2y=xD1

1x=2...曲边扇形解：即得答案.(3)证毕.2021/5/922交换二次积分的积分顺序：.解：oxy121x+y=1D答案..(4)证毕..2021/5/923–

解：..(5)洛必达法则证毕.2021/5/924用二重积分估值定理11-1-1o区域D图形:区域D面积:s=2解答(2).2021/5/925解答(3).2021/5/926解答:3.计算(1)而且必为一个