任意角三角函数教案 高一上学期数学人教A版必修4

《任意角的三角函数》教学设计学校成都市洛带中学授课教师何燕课例名称任意角的三角函数学科（版本）高中数学（人教版）必修4章节第一章第二节学段、年级高中一年级学时2课时教材分析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张。引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.学情分析初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。三角函数是“从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是角的集合（或它的子集），需要“把角的集合转化为实数集”．回顾前一节的弧度制学生可以自行解决该难点，并也体现了引入弧度制的必要性。教学目标知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型作用.情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性.教学重点难点教学重点：任意角三角函数的定义.教学难点：任意角三角函数概念的建构过程.教学方法教学流程教学环节主要教学活动设计意图导入新课探究新知三、知识应用四、小结导入1：欣赏歌曲《trigonometricfunctions》师：这首歌曲里面歌词反复提到的sin，cos，tan是什么？生：三角函数师：对，这也是我们本节课的学习内容（书写标题1.2任意角的三角函数）导入2：关于三角函数数学史任意角三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一，三角形是数学的一门分科，起源于天文观测，它在14世纪至16世纪一度成为欧洲数学的主要内容，研究内容包括了三角函数值表的编制，平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等。其中关于三角函数值编制还有一个故事，因为，当时既没有对数，也没有计算器，全靠笔算。有个意大利数学家利提克斯为了制作他的三角函数值表，和他的助手们勤奋工作了12年，但是遗憾的是他生前没有完成这项工作，直到他去世五十几年后，才由他的学生完成并公布，利提克斯，为了自己的理想或者目标，能够十几年如一日一直从事这样的一件事。希望同学们也能像他一样能够拥有这样坚忍不拔的意志。那我们就带着克服困难的勇气，向三角函数发起挑战！活动一：展示本节课的知识技能目标活动二：回忆初中三角函数概念及特殊角的三角函数值。在初中我们已经接触过锐角三角函数了，在直角三角形中，正弦函数等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比斜边。（请一位学生起来回答）探究一：如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r=>0.师：现在我们将锐角放进平面直角坐标系里，你能利用终边上点的坐标表示锐角三角函数吗？(小组讨论，并请一位学生回答)根据初中学过的三角函数定义,我们有sinα==,cosα==,tanα==.问题1：师：我这里的P是任取的，那我改变终边上的P位置，这些比值会发生变化吗？预设回答1：要发生改变，追问为什么？（因为b，r都在变化），那我们再取一个点P、，根据相似三角形的结论，比值相等。有时候不要被它的表面现象所迷惑，要看清楚事物的本质。那也就是说明这三个比值不会随着P在终边位置的改变而改变。预设回答2：不会发生改变，追问为什么？因为相似三角形，表扬（热情洋溢表扬），非常好！也就是我们再取一个点P0，根据两个三角形相似，我们可以发现比值是不会发生改变的，也就是说这三个比值不会随着P在终边的位置发生改变而改变。问题2：师：那我有一个想法，能不能找到一个P点的位置使得这个三个式子变得更简洁呢？预设生：当|OP|=1，此时sina=b，cosa=a，tana=b/a.（板书）当p点绕O点旋转的时候，它形成的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，我们把这样的圆叫做单位圆，所以我们P可以看成终边与单位圆的交点。们把这样的圆叫做单位圆，所以我们P可以看成终边与单位圆的交点。探究二：在直角坐标系中利用单位圆定义任意角的三角函数图2如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;(3)叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).与初中相同，这里的sin叫做正弦函数，cos叫做余弦函数，tan叫做正切函数（板书）。这里正弦，余弦，正切函数都是以角作为自变量，以与单位圆交点的坐标或坐标比值为函数值的函数统称为三角函数问题3：师：对于三角函数，他的自变量和函数值分别是什么呢？（请一个学生回答）问题4：师：我们一般说函数有三要素，说函数就要提到定义域，那对于这里的正弦，余弦与正切函数他们的定义域分别是多少呢？请同学们完成下列表格（请一位同学起来回答）三角函数定义域sinαcosαtanα预计回答：定义域是R，追问为什么？正弦函数sinα=y,因为y恒有意义,即α取任意实数,y恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tanα=,因为x=0时,无意义,即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,恒有意义,即tanα恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠例1：已知点在单位圆上，角α的终边过点A，则有角A的三角函数值分别为多少？解：sinα=−32例2：已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.解:由已知,可得OP0==5.图5如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则|M0P0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,于是sinα=y====;cosα=x====;tanα===.引出三角函数的终边定义法设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P与原点的距离r=x2图4①叫做α的正弦,即sinα=;②叫做α的余弦,即cosα=;③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).变式练习1：已知角α的终边经过点P0(-12,5),求角α的正弦、余弦和正切值.变式练习2：设a≠0，角α的终边经过点A−3a,4a，那么cos例3：求5π3的正弦、余弦和正切值.图6解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=5π3易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,),所以sin5π3=,cos5π3=,tan5π3=.例4：完成下列特殊角的三角函数值表角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°角α的弧度数0ππππ2π3π5ππSinα01230230Cosα132-1−−--1Tanα0313不存在3-10小结师：这节课你有什么收获或体会？本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比用歌曲、小故事引入课题，激起学生学习三角函数兴趣，为学习三角函数作好情感准备。从锐角三角函数出发，获得任意角三角函数定义。“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论获得任意角的三角函数的单位圆定义加深对三角函数概念的理解通过例1，再次熟悉三角函数概念通过例2，引出三角函数的终边定义法，通过终边定义法，会求已知终边任意一点的三角函数值。设计反思关于三角函数定义法,总的说来就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为此,各种数学出版物中,两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的