2018年研究生入学考试数学二真题及答案

2018年研究生入学考试数学二真题及答案一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、若，则______

A．

B．

C．

D．

2、下列函数中，在x=0处不可导的是______

A．f(x)=|x|sin|x|

B．

C．f(x)=cos|x|

D．

3、设函数，若f(x)+g(x)在R上连续，则______

A．a=3，b=1

B．a=3，b=2

C．a=-3，b=1

D．a=-3，b=2

4、设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且，则______

A．当f'(x)＜0时，

B．当f"(x)＜0时，

C．当f'(x)＞0时，

D．当f"(x)＞0时，

5、设，则______

A．M＞N＞K

B．M＞K＞N

C．K＞M＞N

D．K＞N＞M

6、

A．

B．

C．

D．

7、下列矩阵中，与矩阵相似的为______

A．

B．

C．

D．

8、设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则______

A．r(A，AB.=rA.

B．r(A，BA.=rA.

C．r(A，B.=max{rA.，r(B.}

D．r(A，B.=r(AT，BT)

二、填空题9、

10、曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是______．

11、

12、曲线对应点处的曲率为______．

13、设函数z=z(x，y)由方程lnz+ez-1=xy确定，则

14、设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组．若Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=-α2+α3，则A的实特征值为______.

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、求不定积分

已知连续函数f(x)满足16、求f(x)；17、若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．18、设平面区域D由曲线与x轴围成．

计算二重积分

19、已知常数k≥ln2-1，证明：(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0．

20、将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．

21、已知曲线，点O(0，0)，点A(0，1)，设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L所围成图形的面积．若P运动到点(3，4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率．

22、设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn-1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求

设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．23、求f(x1，x2，x3)=0的解；24、求f(x1，x2，x3)的规范形．已知a是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵25、求a；26、求满足AP=B的可逆矩阵P．

答案:

一、选择题

1、B[解析]

要使得极限存在，则成立

提示：对于极限，可将ex展开成泰勒函数形式，进而求出a，b．

要使得上式极限存在，则2、D[解析]

本题考查导数的极限定义．

对于D选项：由定义得

由于，因此f(x)在x=0处不可导．3、D[解析]

分段点为x=-1，x=0．当x≤-1时，f(x)+g(x)=-1+2+ax=1-ax；

当-1＜x＜0时，f(x)+g(x)=-1+x；当x≥0时，f(x)+g(x)=1+x-b．

综上知：，则

又f(x)+g(x)在R上连续，因此4、D[解析]

对于A选项：取，此时f'(x)=-1＜0，但

对于B、D选项：取，由，可得

当f"(x)=2a＜0时，；当f"(x)=2a＞0时，

对于C选项：取，此时f'(x)=1＞0，但．故D选项正确．

提示：本题也可用泰勒公式展开求解．

对于A、C选项，令

可知无论f'(x)＞0，还是f'(x)＜0，都有．排除A、C选项．

对于B、D选项，令

可知当f"(x)＜0时，；当f"(x)＞0时，．B选项错误，D选项正确．5、C[解析]

由定积分的性质，可知

即K＞M＞N．故C选项正确．6、C[解析]

积分区域D可表示为

D={(x，y)|-1≤x≤0，-x≤y≤2-x2}∪{(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤2-x2}．

D关于y轴对称，而xy关于x为奇函数，因此

7、A[解析]

本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)．

若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～B．从而可知

E-A～E-B，且r(E-A)=r(E-B)．

设题中所给矩阵为A，各选项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知

r(E-B1)=2，r(E-B2)=r(E-B3)=r(E-B4)=1．

因此A～B1，即A相似于A选项下的矩阵．8、A[解析]

解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系，

①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．

由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B)≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．

又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．

从而可得r(A，AB)=r(A)．二、填空题

9、[解析]

由拉格朗日中值定理，得

且当x→+∞时，ξ→+∞．10、y=4x-3[解析]

首先求得函数y=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．

求一阶、二阶导，可得

令y"=0，得x=1．当x＞1时，y"＞0；当x＜1时，y"＜0．

因此(1，1)为曲线的拐点，点(1，1)处的切线斜率k=y'(1)=4．

因此切线方程为y-1=4(x-1)，即y=4x-3．11、[解析]

12、[解析]

当时，

因此，曲线的曲率13、[解析]

将方程lnz+ez-1=xy两边对x求偏导，得

当x=2，时，z=1，代入上式，可得14、[解析]

由题可得

由于α1，α2，α3线性无关，因此P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，则

因此A～B，则矩阵A、B具有相同的特征值．而

从而可知B的实特征值为2，A的实特征值为2．三、解答题15、解：

提示：本题还可利用变量替换求解．令，化简过后，利用分部积分逐步求解．最后求得关于t的表达式后，记得将再代回去．(求解过程略)

16、解：令u=x-t，则t=x-u，dt=-du．因此

从而可转化为

将上式两边关于x求导，得

即

将上式两边关于x求导，得

f'(x)+f(x)=2n．

由通解公式，可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为

又f(0)=0，则可得C=-2a．因此

f(x)=2a(1-e-x)．

17、解：由于，则有

因此

18、解：题中所给曲线是一条拱线，平面区域D可表示为

0≤x≤2π，0≤y≤y(x)．

下面利用换元法求解，令x=t-sint，y(x)=1-cost，则

19、证明：当x=1时，显然所证成立，

当x≠1时，令f(x)=x-ln2x+2klnx-1(x＞0)，求导得

令g(x)=x-2lnx+2k，求导得

令g'(x)=0，得驻点x=2．

①当0＜x＜1时，g'(x)＜0，因此g(x)在(0，1)上单调递减，则

g(x)＞g(1)=1+2k≥1+2(ln2-1)=2ln2-1＞0．

因此f'(x)＞0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)＜f(1)=0．

在(0，1)上，由x-1＜0，f(x)＜0，可得

(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)＞0．

②当x＞1时，可知当1＜x＜2时，g'(x)＜0；当x＞2时，g'(x)＞0．

因此g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，则

g(x)＞g(2)=2-2ln2+2k≥2-2ln2+2(ln2-1)=0．

因此f'(x)＞0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，故f(x)＞f(1)=0．

在(1，+∞)上，由x-1＞0，f(x)＞0，可得

(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)＞0．

综上所述：当x＞0时，不等式(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0恒成立．

20、解：设分割后的三段铁丝的长分别为x，y，z，则x+y+z=2．

对应圆的面积为

对应正方形的面积为

对应正三角形的面积为

则三个图形的面积之和为

构造辅助函数

从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题．

从而得唯一驻点

由问题的实际背景可知，在该驻点处，S取得最小值．因此

21、解：设点P坐标为，则所围图形的面积为

其中，前者为直线AP与直线x=x(t)及x轴、y轴所围梯形的面积，后者为曲线与直线x=x(t)及x轴所围曲面图形的面积．S为两者之差．

则S关于时间t的变化率为

又已知当x(t)=3时，x'(t)=4，代入上式，可得S'(t)|x=3=10．

22、证明：设f(x)=ex-1-x(x＞0)，则有

f'(x)=ex-1＞0，因此f(x)＞f(0)=0，

从而，可知x2＞0．

猜想xn＞0，现用数学归纳法证明．

当n=1时，x1＞0，成立；

假设当n=k(k=2，3，…)时，有xk＞0，则n=k+1时，有

因此xk+1＞0．

从而得知无论n取任何自然数，都有xn＞0，即数列{xn}有下界．

又，设g(x)=ex-1-xex．

当x＞0时，g'(x)=ex-ex-xex=-xex＜0．

因此g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即有ex-1＜xex，

因此，可知数列{xn}单调递减．

由单调有界准则可知数列{xn}收敛．

设，则有AeA=eA-1(A≥0)．可知A=0是该方程的解．

因为当x＞0时，g(x)=ex-1-xex＜g(0)=0．

因此A=0是方程AeA=eA-1唯一的解，故

23、解：由f(x1，x2，x3)=0得

当a≠2时，方程组有唯一解：x1=x2=x3=0．

当a=2时，方程组有无穷解：令x1=1，可得解

24、解：当a≠2时，做非退化的线性变换

此时f(x1，x2，x3)的规范形为

当a=2时，做非退化的线性变换

则f(x1，x2，x3)的规范形为

25、解：由题意知，|A|=|B|，且r(A)=r(B)．由于

因此可得a=2．

26、解：求满足AP=B的可逆矩阵P，即求方程组Ax=B的解．

令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，x=(x1，x2，x3)，

则可得方程组Ax1=β1的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(3，-1，0)T；

得方程组Ax2