二次函数和几何图形综合

./二次函数与几何图形综合类型1利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题,图象背景往往就是一件衣服,基本套路是依据"点在图象上→点的坐标满足解析式"求出函数解析式,从而根据题目条件求出更多点的坐标,进而求出线段长度、三角形面积．1．<XX中考>如图,抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A<0,3>,B<－1,0>,请回答下列问题：<1>求抛物线的解析式；<2>抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长．2．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A<－1,4>,B<1,0>,y＝－eq\f<1,2>x＋b经过点B,且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.<1>求二次函数的表达式；<2>点N是二次函数图象上一点<点N在BD上方>,过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交BD于点M,求MN的最大值．3．如图,抛物线经过A<4,0>,B<1,0>,C<0,－2>三点．<1>求此抛物线的解析式；<2>在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标．类型2二次函数图象与"线段之和最短"问题如果两条线段有公共端点,那么直接构造"线段之和最短"问题解决,如果两条线段没有公共端点,那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点,然后应用"线段之和最短"问题解决．4．如图,已知抛物线y＝eq\f<\r<2>,8><x＋2><x－4>与x轴交于点A、B<点A位于点B的左侧>,与y轴交于点C,M为抛物线的顶点．<1>求点A、B、C的坐标；<2>设动点N<－2,n>,求使MN＋BN的值最小时n的值．5．如图,已知抛物线y＝－eq\f<1,m><x＋2><x－m><m>0>与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧．<1>若抛物线过点G<2,2>,求实数m的值；<2>在<1>的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使AH＋CH最小,并求出点H的坐标．6．如图,抛物线y＝－eq\f<1,2>x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OC＝3.<1>求抛物线的解析式．<2>点D<2,2>是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．7．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A<0,4>,C<5,0>,二次函数y＝eq\f<4,5>x2＋bx＋c的图象抛物线经过A,C两点．<1>求该二次函数的表达式；<2>F,G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接D,E,F,G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值．

8.如图,抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A<－1,0>,B<3,0>．请解答下列问题：<1>求抛物线的解析式；<2>点E<2,m>在抛物线上,抛物线的对称轴与x轴交于点H,点F是AE中点,连接FH,求线段FH的长．9.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+<2k-1>x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.<1>求这个二次函数的解析式；<2>在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标；<3>对于<2>中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°？若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积；若不存在,请说明理由.参考答案1.<1>∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A<0,3>,B<－1,0>,∴eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<c＝3,,0＝a－2＋c.>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a＝－1,,c＝3.>>∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.<2>∵y＝－x2＋2x＋3＝－<x－1>2＋4,∴抛物线的顶点坐标为<1,4>．∴BE＝2,DE＝4.∴BD＝eq\r<BE2＋DE2>＝2eq\r<5>.2.<1>∵二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A<－1,4>,B<1,0>,∴eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<4＝－1－m＋n,,0＝－1＋m＋n.>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m＝－2,,n＝3.>>∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.<2>∵y＝－eq\f<1,2>x＋b经过点B,∴－eq\f<1,2>×1＋b＝0.解得b＝eq\f<1,2>.∴y＝－eq\f<1,2>x＋eq\f<1,2>.设M<m,－eq\f<1,2>m＋eq\f<1,2>>,则N<m,－m2－2m＋3>,∴MN＝－m2－2m＋3－<－eq\f<1,2>m＋eq\f<1,2>>＝－m2－eq\f<3,2>m＋eq\f<5,2>＝－<m＋eq\f<3,4>>2＋eq\f<49,16>.∴MN的最大值为eq\f<49,16>.3.<1>∵该抛物线过点C<0,－2>,设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A<4,0>,B<1,0>代入,得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<16a＋4b－2＝0,,a＋b－2＝0.>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a＝－\f<1,2>,,b＝\f<5,2>.>>∴此抛物线的解析式为y＝－eq\f<1,2>x2＋eq\f<5,2>x－2.<2>设D点的横坐标为t<0<t<4>,则D点的纵坐标为－eq\f<1,2>t2＋eq\f<5,2>t－2.过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y＝eq\f<1,2>x－2.∴E点的坐标为<t,eq\f<1,2>t－2>．∴DE＝－eq\f<1,2>t2＋eq\f<5,2>t－2－<eq\f<1,2>t－2>＝－eq\f<1,2>t2＋2t.∴S△DCA＝eq\f<1,2>×<－eq\f<1,2>t2＋2t>×4＝－t2＋4t＝－<t－2>2＋4.∴当t＝2时,△DCA面积最大．∴D<2,1>．4.<1>令y＝0,得eq\f<\r<2>,8><x＋2><x－4>＝0,解得x1＝－2,x2＝4；令x＝0,得y＝－eq\r<2>.∴A<－2,0>、B<4,0>、C<0,－eq\r<2>>．<2>过点A<－2,0>作y轴的平行线l,则点B关于l的对称点B′<－8,0>,又M<1,－eq\f<9,8>eq\r<2>>,连接B′M与l的交点即为使MN＋BN值最小的点．设直线B′M的解析式为y＝kx＋b,则eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<0＝－8k＋b,,－\f<9,8>\r<2>＝k＋b,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<k＝－\f<1,8>\r<2>.,b＝－\r<2>.>>∴y＝－eq\f<1,8>eq\r<2>x－eq\r<2>.∴当x＝－2时,n＝－eq\f<3,4>eq\r<2>.5.<1>抛物线过点G<2,2>时,－eq\f<1,m><2＋2><2－m>＝2,解得m＝4.<2>∵m＝4,∴y＝－eq\f<1,4><x＋2><x－4>．令y＝0,－eq\f<1,4><x＋2><x－4>＝0,解得x1＝－2,x2＝4.则A<－2,0>,B<4,0>．∴抛物线对称轴为直线l：x＝eq\f<－2＋4,2>＝1.令x＝0,则y＝2,所以C<0,2>．∵B点与A点关于对称轴对称,∴连接BC,BC与直线l的交点便为所求点H.∵B<4,0>,C<0,2>,∴求得线段BC所在直线为y＝－eq\f<1,2>x＋2.当x＝1时,y＝eq\f<3,2>,∴H<1,eq\f<3,2>>．6.<1>由已知条件得A<－2,0>,C<0,3>,代入二次函数解析式,得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<c＝3,,－2－2b＋c＝0.>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<b＝\f<1,2>,,c＝3.>>∴抛物线的解析式为y＝－eq\f<1,2>x2＋eq\f<1,2>x＋3.<2>连接AD,交对称轴于点P,则P为所求的点．设直线AD的解析式为y＝kx＋t.由已知得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<－2k＋t＝0,,2k＋t＝2.>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<k＝\f<1,2>,,t＝1.>>∴直线AD的解析式为y＝eq\f<1,2>x＋1.∵对称轴为直线x＝－eq\f<b,2a>＝eq\f<1,2>,将x＝eq\f<1,2>代入y＝eq\f<1,2>x＋1,得y＝eq\f<5,4>.∴P<eq\f<1,2>,eq\f<5,4>>．7.<1>将A<0,4>、C<5,0>代入二次函数y＝eq\f<4,5>x2＋bx＋c,得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<20＋5b＋c＝0,,c＝4,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<b＝－\f<24,5>,,c＝4.>>故二次函数的表达式为y＝eq\f<4,5>x2－eq\f<24,5>x＋4.<2>延长EC至E′,使E′C＝EC,延长DA至D′,使D′A＝DA,连接D′E′,交x轴于F点,交y轴于G点,GD＝GD′,EF＝E′F,<DG＋GF＋EF＋ED>最小＝D′E′＋DE,由E<5,2>,D<4,4>,得D′<－4,4>,E<5,－2>．由勾股定理,得DE＝eq\r<22＋12>＝eq\r<5>,D′E′＝eq\r<〔5＋42＋〔4＋22>＝3eq\r<13>,<DG＋GF＋EF＋ED>最小＝D′E′＋DE＝3eq\r<13>＋eq\r<5>.8.<1>∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A<－1,0>,B<3,0>,∴eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<1－b＋c＝0,,9＋3b＋c＝0.>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<b＝－2,,c＝－3.>>∴y＝x2－2x－3.<2>∵点E<2,m>在抛物线上,∴m＝4－4－3＝－3.∴E<2,－3>∴BE＝eq\r<〔3－22＋〔0＋32>＝eq\r<10>.∵点F是AE中点,抛物线的对称轴与x轴交于点H,H是AB中点,∴FH＝eq\f<1,2>BE＝eq\f<\r<10>,2>.9、.<1>∵函数的图象与x轴相交于O,∴0=k+1,∴k=-1,∴二次函数的解析式为y=x2-3x.<2>假设存在点B,过点B作BD⊥x轴于点D.∵△AOB的面积等于6,∴AO·BD=6.当y=0时,x<x-3>=0.解得x=0或3.