高三北师大版文科数学第14讲 导数在研究函数中的应用A 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业(十四)A［第14讲导数在研究函数中的应用］(时间：45分钟分值:100分）eq\a\vs4\al\co1（基础热身）1．函数f（x)＝x＋elnx的单调递增区间为()A．（0，＋∞)B．(－∞,0)C．（－∞，0)和(0，＋∞）D．R2．[2012·济宁质检]函数f（x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是()A．a≥0B．a〉0C．a≤0D．a<03．设a∈R，若函数y＝ex＋ax,x∈R有大于零的极值点,则()A．a<－1B．a〉－1C．a≥－eq\f(1，e）D．a<－eq\f(1，e）4．函数f（x）＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．函数f(x）＝ex＋e－x在(0，＋∞)上(）A．有极大值B．有极小值C．是增函数D．是减函数6．[2012·合肥三检］图K14－1函数f(x）的图像如图K14－1所示,则不等式(x＋3）f′（x）〈0的解集为（)A．(1，＋∞)B．(－∞，－3)C．(－∞,－1）∪(1，＋∞)D．(－∞，－3）∪（－1，1)7．[2012·西安模拟]若函数f(x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(）A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3〈k〈－1或1〈k<3C．－2〈k〈2D．不存在这样的实数8．［2012·阜新高中月考］已知f（x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是（)A．0B．1C．2D．39．［2012·陕西卷]设函数f（x）＝eq\f（2,x）＋lnx，则(）A．x＝eq\f（1,2）为f(x）的极大值点B．x＝eq\f（1,2)为f（x）的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点10．[2012·南昌二中模拟]已知|a｜＝2｜b|≠0,且关于x的函数f(x）＝eq\f（1,3)x3＋eq\f（1，2）｜a|x2＋a·bx在R上有极值,则a与b的夹角范围为________．11．已知函数f（x)是R上的偶函数，且在（0，＋∞)上有f′(x）＞0，若f（－1)＝0，那么关于x的不等式xf（x)＜0的解集是________________．12．[2012·盐城一模］函数f（x）＝(x2＋x＋1）ex(x∈R）的单调减区间为________．13．已知函数f(x）＝eq\f(1，3)x3－bx2＋c(b，c为常数)，当x＝2时，函数f（x)取极值,则b＝________；若函数f（x)存在三个不同零点,则实数c的取值范围是________．14．（10分)已知函数f(x）＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R。（1)当t＝1时,求曲线y＝f(x)在点(0，f(0）)处的切线方程；（2）当t>0时,求f（x）的单调区间．15．(13分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx（a≠0)在x＝±1时取得极值,且f（1）＝－1。（1)试求常数a，b，c的值;(2）试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．eq\a\vs4\al\co1(难点突破）16．(12分）[2012·大庆实验中学期中]已知f（x)＝lnx＋eq\f（a，x)－2，g(x）＝lnx＋2x。（1)求f(x)的单调区间；（2)试问过点（2，5)可作多少条直线与曲线y＝g(x)相切？请说明理由．

课时作业（十四)A【基础热身】1．A［解析］因为函数f（x）的定义域为（0，＋∞),且f′（x）＝1＋eq\f（e，x)〉0。故f（x）的递增区间为(0，＋∞)．故选A.2．D[解析]f′（x）＝3ax2＋1，若函数有极值，则方程3ax2＋1＝0必有实数根,显然a≠0，所以x2＝－eq\f（1,3a)〉0，解得a<0.故选D.3．A［解析］y′＝ex＋a,由条件知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a＝0，，x〉0）)有解,所以a＝－ex<－1。故选A.4．2［解析］f′(x)＝3x2－6x＝3x（x－2)．当x＜0时,f′(x)＞0；当0＜x＜2时,f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x)＞0，故当x＝2时f（x）取得极小值．【能力提升】5．C［解析］依题意知，当x＞0时，f′(x）＝ex－e－x＞e0－e0＝0，因此f（x）在(0，＋∞）上是增函数．6．D[解析]由不等式(x＋3）f′(x)<0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋3〈0,，f′（x）>0）)或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＋3〉0，,f′（x）<0，)）观察图像可知,x〈－3或－1<x<1.所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪(－1，1）．故选D.7．B［解析]因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和（2，＋∞），由y′〈0得函数的减区间是（－2，2)．由于函数f(x)在(k－1,k＋1)上不是单调函数，所以有k－1〈－2<k＋1或k－1<2〈k＋1，解得－3〈k<－1或1〈k<3.故选B。8．D[解析]依题意f′（x）＝3x2－a≥0在[1,＋∞）上恒成立，所以a≤(3x2)min＝3。所以a的最大值为3.9．D［解析]所给的原函数f（x）＝eq\f(2，x)＋lnx的导函数为f′（x)＝－eq\f(2，x2)＋eq\f（1，x），令f′（x）＝0可得x＝2.当x〉2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数;当0<x<2时,f′（x）<0，函数f（x)为减函数,所以x＝2为极小值点，故选D。10。eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π,3)，π）)[解析]f′（x）＝x2＋|a|x＋a·b，函数f（x)有极值，则Δ＝｜a|2－4｜a｜｜b|cosθ>0，将|a|＝2|b｜代入得cosθ<eq\f（1,2)，所以θ∈eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，3），π)).11．(－∞，－1）∪（0，1)[解析]在(0,＋∞）上有f′（x)＞0，所以f（x)在（0，＋∞）上单调递增．又函数f(x）是R上的偶函数，所以f(x）在(－∞，0)上单调递减，又f（1)＝f(－1）＝0.当x＞0时，xf(x)＜0，所以0＜x＜1；当x＜0，xf（x）〈0，所以x＜－1。12．（－2，－1)[解析］因f′(x）＝(2x＋1)ex＋（x2＋x＋1）ex＝（x2＋3x＋2）ex，令f′（x)<0，则x2＋3x＋2<0，解得－2<x〈－1.13．10＜c＜eq\f(4，3)［解析]因为f′（x)＝x2－2bx，又x＝2是f(x)的极值点，则f′(2）＝22－2b×2＝0，∴b＝1.且x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f（x)单调递减,x∈（－∞，0),(2,＋∞）时，f′(x）＞0，f（x）单调递增，若f(x）＝0有3个不同实根，则eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（f（0)＝c>0，，f（2）＝\f（1,3)×23－22＋c〈0.））解得0＜c＜eq\f（4，3).14．解：（1)当t＝1时,f(x)＝4x3＋3x2－6x，f（0)＝0，f′（x)＝12x2＋6x－6，f′（0)＝－6。所以曲线y＝f(x）在点(0，f（0）)处的切线方程为y＝－6x。(2)f′(x）＝12x2＋6tx－6t2。令f′（x)＝0，解得x＝－t或x＝eq\f（t,2）.因t〉0，则－t＜eq\f(t，2）.当x变化时,f′（x)，f（x)的变化情况如下表：x(－∞，－t）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－t，\f(t，2))）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（t，2），＋∞））f′（x)＋－＋f(x）所以，f(x）的单调递增区间是（－∞,－t),eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(t，2),＋∞））；f(x)的单调递减区间是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－t，\f(t，2）))。15．解：(1)f′（x)＝3ax2＋2bx＋c，因为x＝±1是函数f(x）的极值点，且f(x）在定义域内任意一点处可导．所以x＝±1使方程f′（x）＝0，即x＝±1为3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（－\f(2b,3a）＝0，①，\f(c，3a）＝－1,②））又f(1）＝－1，所以a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝eq\f（1，2)，b＝0，c＝－eq\f（3，2).（2）由(1)知f（x)＝eq\f(1,2）x3－eq\f(3,2）x，所以f′(x）＝eq\f(3，2）x2－eq\f(3,2)＝eq\f(3，2)(x－1)（x＋1）,当x>1或x<－1时,f′(x）>0;当－1〈x〈1时，f′（x）〈0，所以函数f(x)在（－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，在（－1,1)上为减函数，所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝－1.【难点突破】16．解：（1)f′（x)＝eq\f（x－a,x2)（x〉0），①当a≤0时，f′（x)>0，所以f（x）在（0,＋∞）上单调递增;②当a>0时,若0<x〈a，则f′（x）<0;若x>a，则f′(x)>0，f（x）在(0，a）上单调递减，在（a,＋∞）上单调递增．（2）设切点为（x0,lnx0＋2x0)，g′（x）＝eq\f（1,x）＋2，所以切线方程为：y－(lnx0＋2x0）＝eq\f(1，x0）＋2（x－x0）．因为切线过点(2，5),所以5－(lnx0＋2x0）＝eq\f（1,x0）＋2(2－x0),即x0lnx0－2x0＋2＝