不等式证明中的运用

1.引言不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位.可用推理性或探索性证明不等式。推理性问题即是指在特定条件下，阐述论证过程,揭示内在规律,基本方法有比较法、分析法、综合法；在中学阶段，探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察-归纳-猜想-证明的思路，以数学归纳法完成证明。不等式是中学数学的基础和重要组成部分，它和函数、三角、数列、几何、极限等知识关系密切，相互渗透、相互作用，所以在高考中一直是考查的重点内容。由于在高中阶段我们学习的这部分知识都比较零散和难懂，很多同学都无法攻克不等式这一难关。在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。此文将把同学们学过的不同阶段的代数、几何、三角等方面的知识纵横联系、融会贯通，对中学数学中常用的一些证明方法进行归纳、总结，从而使读者在读完此文之后能够比较系统的、深入的掌握一些规律，学会一些方法。2.中学常用的证明方法一般来说，凡经过逻辑推理或论理来断定不等式中的变量在允许取值的范围之内，使得不等式成立，这样一个过程就叫做“证明不等式”，其实质就是要证明所给的不等式在给定的条件下恒成立。在中学数学中证明不等式的方法许多种。若用初等方法证明往往会造成复杂的运算过程，如在构造函数的背景下运算函数的单调性、利用微分中值定理、函数的极值和最值等。将不等式问题转化为函数问题。利用函数性质来研究，解决不等式问题，使学生掌握不等式证明的函数思想方法，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力。由于不等式的形式多种多样，所以不等式的证明方法也就灵活多样，从具体的教学实践，我们可以归纳以下中学阶段几种常用的证明方法2.1比较法比较法是证明不等式的最基本最重要的方法之一，也是一个常用的方法，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接利用，比较法有求差、求商两种形式。其中求差比较法是最基本的，也是高考重点考查的证法之一，其次用求商法时必须考虑分母的正负。作差法其一般步骤为：作差→将差变形→判断差的正负→得出结论.例1.若，证明。证明：因为所以。作商法若，则“”，其一般步骤为“作商→变形→判断与1的大小→得出结论”。例2.已知求证：证明：同理可证：作差法与作商法本质是一样的，这从下面的转化关系可以看出：设若，正因为这样，一道题能用求差比较法证明，也一定能利用求商比较法证之，反之亦然。如果是和差形式，宜于用求差比较法证明，如果是乘积形式，宜于用求商比较法证明，具体问题要观察结构特征，灵活运用。2.2综合法综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。其特点和思路“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“知”。综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁。例3.已知在，求证即证原不等式成立2.3分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析不等式成立的充分条件，进而转化为判定条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。分析法的优点是利于思考，方向明确，思路自然，易于掌握。例4.已知在，求证要证故只要证明而 即证原不等式成立[知识总结]分析法是一种执果索因的方法,是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判断这些条件是否具备的问题.同时要特别注意分析法步骤的书写规范问题.2.4放缩法放缩法是不等式证明中一种重要的变形技巧，就是在证明不等式时，可借助于一个或多个中间量通过适当的放大使得或通过适当地缩小，使得利用不等式的传递性，达到证题的目的。故放缩法包括添项法、拆项法。例5.设、、是三角形的边长，求证≥3证明：由不等式的对称性，不妨设≥≥，则≤≤且≤0，≥0∴≥∴≥32.5数学归纳法所谓归纳法就是由特殊到一般的推理方法就叫做归纳法，什么是“由特殊到一般”？例如对于一个正数有，对于两个正数有，对于3个正数有，.这就使我们猜想到(或称归纳出)对于个正数可能有，成立像这样从特殊情况中发现一般规律，就叫做“由特殊到一般”，至此，我们只是猜想到有可能结论成立，所得结论是用不完全归纳法得到的。但是这个结论究竟是否成立?还有待进一步的推理(或证明)这便要用到数学归纳法。用数学归纳法证明不等式，须用两个步骤完成：第一步，验证取第一个值()时不等式成立；第二步，假定取某一个自然数时，不等式成立(归纳假设)，由此能够推出取时，此不等式也成立，便得到对于从某一自然数()开始所有自然数()，不等式成立。例6.已知是个自然数，求证：。证明：用数学归纳法.（1）当时，左边右边即不等式成立；（2）假设时不等式成立，即成立，则当时有：即由(1)(2)可知，对所有的自然数，不等式其中（）成立。说明：用数学归纳法证明不等式的“关键”和“难点”是由时不等式成立时不等式成立。2.6反证法反证法就是从否定结论出发，先假设所要证明的不等式不成立，也就是假设要证明的结论的反面成立(可能包含一种或多种情况)，以此为出发点，结合已知条件，进行推理论证，最后导出和已知条件(指前面未用过的已知条件)或已知不等式或公理、定理相矛盾，从而判定假设是错误的，由此确定要证的不等式成立。有些不等式，直接从正面证明比较困难，此时可从反面考虑用反证法。例7.已知：a、b、c都是小于1的正数，求证：、、中至少有一个不大于．分析：利用反证法，配凑整理后再用均值不等式证明．证法：假设，，，．，即，这是矛盾的，假设不成立，即原结论正确．2.7换元法换元法是根据所给不等式的特点，通过适当的换元使问题得到转化，从而达到化繁为简，变为大家熟知的问题。常用的有三角换元，代数换元，平均值换元等等。例如题设中有如或分别采用三角代换。其中的取值范围取决于的取值范围，通过代换将原来关于两个变元的问题转化为关于一个变元的问题。例8.已知，求证：设则可设[知识总结]换元法这里主要是三角代换，三角代换的题眼点有如2.8构造法根据不等式证明的某些特点，引入适当的函数、数列、方程、向量、图形等，并利用它们的性质证明不等式的方法，称为构造法。以下分别说明几种常见的构造对象。例9.已知，求证：证明：设向量则=2.9判别式法判别式法一般根据数学中的实际问题的特征，具体问题具体分析，观察是否与一元二次函数有关，或能否通过等价变换转化为一元二次方程，根据其有实数解或无解建立不等式求解实际问题。例10.求证：对于任意实数，都有。分析：本题分式中的分子分母都是二次式，可考虑使用二次函数或二次方程的性质。证明：由题意知，设所以去分母，整理得当时，解得，符合原不等式当，因为不等式成立，所以，即对任意实数，原不等式成立。3.高等数学证明中学不等式的方法证明不等式是数学的重要课题，也是分析解决其他数学问题的基础，构造辅助函数，利用函数性质证明不等式的主要方法；利用微分中值定理；利用函数的单调性；利用最值；利用凹凸性。3.1利用单调性证明不等式定理3.1设在上连续，在（a、b）内可导。若在（a、b）内则在上单调增加（减少）。例11.证明：对任意实数a和b，成立不等式证明：取单调递增。于是，由3.2利用函数的最值证明不等式定理3.2设的极值嫌疑点（即驻点或使不存在的点），a,b为边界点，则中最大（小）者为上的最大(小)值。例12.证明不等式证：设则，得唯一驻点又当时上的最大值，即有.所以.3.3利用中值定理证明不等式定理3.3若函数满足条件：（1）在区间上连续；（2）在区间上可导，则在区间内至少存在一点，使得（拉格朗日中值定理）例13.证明：分析：利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤为：（1）从中间表达选定出及一区间，（2）运用拉格朗日中值定理可得一等式，（3）利用此等式及便不难导出要证的不等式。证明：（1）设内可导，故：所以3.4利用函数凹凸性证明不等式定义：构造出函数，如果的图像时向上凹的，则有不等式如果的图像时向上凸的，则有定理3.4设例14.证明不等式：证明：分析构造出函数，如果的图像时向上凹的，则有不等式如果的图像时向上凸的，则有可知的图像是向上凹的，故对任意的则证明不等式是一门艺术，它具有自己独到丰富的技术手法，我们研究了构造辅助函数，利用函数性质来证明不等式，使一些复杂的不等式的证明得到更加简洁的证明。3.5用“零件不等式”证明一类带界的分式不等式庞大的肌体由微小的细胞组成，复杂的机器由简单的零件构成，这给我们一个启示：对于那些纷繁杂难的分式不等式，能否觅求一些简单的不等式，以便应用它们去巧妙简捷地达到证题的目的？答案是肯定的，下面就一类带界的分式不等式加以讨论。对于形如的不等式，常常可以根据题中的界A及不等式的左边的特征，构造出如下的不等式（1）或（2）其中为不等式左边中的第个加项。将这些不等式相加即可得到要证的不等式。因此，问题的关键就是觅求“零件不等式”（1）或（2）。例15.分析将要证得不等式转化为等价的带界分式不等式再去寻求“零件不等式”。证：同理将得到的三个“零件不等式”相加，即得并指明等号什么条件成立。证由得同理将上述三“零件不等式”相加，即得等号当且仅当时成立。注1：上面两个例子都利用了如下的常用不等式：若有等号当且仅当时成立注2：第二个例子中将变形为，实质上是“齐次化”过程。3.6利用泰勒展开式证明泰勒展开式的证明常用的是将函数在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将舍去而得到不等式。例16.设在上具有二阶可导函数，且满足条件其中都是非负常数，内任意一点，证明。分析：已知二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明，应在特定点处将按泰勒公式展开。证：对在处用泰勒公式展开，得——（1）其中在（1）式中令有在（1）式中令有上述两式相减得又知时，有因这里与有关，可将其记为，那么当令分别取0和1时，对应的可分别用和表示。4.总结证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面。如：与数列的结合，与“二次函数”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式，二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约等。本论文主要讨论用各种方法来证明不等式，为常见不等式的证明指明了方向。根据不等式的外形，不等式的基本性质及其相关的定理，用拉格朗日中值定理、放缩法、构造法来证明不等式，解决了常见不等式和轮换对称不等式的证明方法，仔细总结了具有规律的轮换对称不等式添减项的技巧。不等式的证明是高中数学的一个难点，是高考考查学生代数推理的重要素材，也是高中数学竞赛常常涉及的内容之一，所以在解决不等式问题的过程中，应注意对数学思想进行挖掘、提炼和渗透，熟练运用数学思想解题，在平时应多归纳、多总结，不断提高自己的应变能力。不仅可以有效地掌握不等式知识，驾驭不等式问题的求解及证明，而且对于开发智力，培养能力，优化思维也有着十分重要的意义。参考文献：[1]王传荣、张云晓.不等式的证明及应用[M].天津科学技术出版社1982.10.[2]张驰.不等式[M].上海教育出版社，1963.12[3]朱胜强.浅谈不等式证明的非常规方法[J].中学数学，2004.08.[4]叶殷,何志树.用高等数学证明不等式的若干种方法[J].西昌师范高等专科学校学报,2004年12第16卷第4期：第136—138页[5]刘蓉晖.不等式证明的几种方法[J].上海中学数学，2004.03.[6]苏守平.不等式证明途径的发现[J].数学通报，1994.10.[7]张晓宁、李安昌