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文档简介
2022-2023学年湖北省松滋市四中区域教师研修一体课程复数与逻辑注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.以下四个命题:①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近1;②在回归分析中,可用相关指数的值判断拟合效果,越小,模型的拟合效果越好;③若数据的方差为1,则的方差为4;④已知一组具有线性相关关系的数据,其线性回归方程,则“满足线性回归方程”是“,”的充要条件;其中真命题的个数为()A.4 B.3 C.2 D.12.如图所示的程序框图输出的是126,则①应为()A. B. C. D.3.已知集合,,则集合子集的个数为()A. B. C. D.4.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则;其中真命题的个数为()A. B. C. D.5.过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于,两点,,为的准线上的一点,则的面积为()A.1 B.2 C.4 D.86.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件,则该木件的体积()A. B. C. D.7.设,,,则()A. B. C. D.8.已知是双曲线的左、右焦点,是的左、右顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的渐近线方程为()A. B. C. D.9.已知集合,则()A. B. C. D.10.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()A. B. C. D.11.历史上有不少数学家都对圆周率作过研究,第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值,他的方法被后人称为割圆术.近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现,使得值的计算精度也迅速增加.华理斯在1655年求出一个公式:,根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图,如下图所示,执行该程序框图,已知输出的,若判断框内填入的条件为,则正整数的最小值是A. B. C. D.12.将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象,如果在区间上单调递减,那么实数的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.对于任意的正数,不等式恒成立,则的最大值为_____.14.设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为____________.15.已知,满足约束条件则的最大值为__________.16.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知的内角的对边分别为,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周长是否有最大值?如果有,求出这个最大值,如果没有,请说明理由.18.(12分)已知数列中,(实数为常数),是其前项和,且数列是等比数列,恰为与的等比中项.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.19.(12分)已知在等比数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列前项的和.20.(12分)如图,在直三棱柱中,,,为的中点,点在线段上,且平面.(1)求证:;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若点P的极坐标为,,求的值.22.(10分)已知椭圆的左顶点为,左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且的周长为6,点关于原点的对称点为,直线交于点.(1)求椭圆方程;(2)若直线与椭圆交于另一点,且,求点的坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,而回归直线必过样本中心点,可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,即,不一定成立,而回归直线必过样本中心点,所以当,时,点必满足线性回归方程;因此“满足线性回归方程”是“,”必要不充分条件.故④错误;
所以正确的命题有①③.
故选:C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性,拟合性检验,两个线性相关的变量间的方差的关系,以及两个变量的线性回归方程,注意理解每一个量的定义,属于基础题.2、B【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.∵S=2+22+…+21=121,故①中应填n≤1.故选B点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.3、B【解析】
首先求出,再根据含有个元素的集合有个子集,计算可得.【详解】解:,,,子集的个数为.故选:.【点睛】考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算,集合子集个数的计算公式,属于基础题.4、C【解析】
利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面,那么另一条也垂直于这个平面知①正确;当直线平行于平面与平面的交线时也有,,故②错误;若,则垂直平面内以及与平面平行的所有直线,故③正确;若,则存在直线且,因为,所以,从而,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理,是一道基础题.5、C【解析】
设抛物线的解析式,得焦点为,对称轴为轴,准线为,这样可设点坐标为,代入抛物线方程可求得,而到直线的距离为,从而可求得三角形面积.【详解】设抛物线的解析式,则焦点为,对称轴为轴,准线为,∵直线经过抛物线的焦点,,是与的交点,又轴,∴可设点坐标为,代入,解得,又∵点在准线上,设过点的的垂线与交于点,,∴.故应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质,解题时只要设出抛物线的标准方程,就能得出点坐标,从而求得参数的值.本题难度一般.6、C【解析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为,底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为,圆锥的高,圆锥母线,截去的底面弧的圆心角为120°,底面剩余部分的面积为,故几何体的体积为:.故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.7、A【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】,,,因此,故选:A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.8、D【解析】
根据为等腰三角形,可求出点P的坐标,又由的斜率为可得出关系,即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图,因为为等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以双曲线的渐近线方程为,故选:D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于中档题.9、C【解析】
解不等式得出集合A,根据交集的定义写出A∩B.【详解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故选C.【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题,是基础题.10、A【解析】
化简为,求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式,利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得,问题得解。【详解】函数可化为:,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,又所得到的图象关于轴对称,所以,解得:,即:,又,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力,属于中档题。11、B【解析】
初始:,,第一次循环:,,继续循环;第二次循环:,,此时,满足条件,结束循环,所以判断框内填入的条件可以是,所以正整数的最小值是3,故选B.12、B【解析】
根据条件先求出的解析式,结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象,则,设,则当时,,,即,要使在区间上单调递减,则得,得,即实数的最大值为,故选:B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换,考查根据三角函数的单调性求参数,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据均为正数,等价于恒成立,令,转化为恒成立,利用基本不等式求解最值.【详解】由题均为正数,不等式恒成立,等价于恒成立,令则,当且仅当即时取得等号,故的最大值为.故答案为:【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围,关键在于合理进行等价变形,此题可以构造二次函数求解,也可利用基本不等式求解.14、【解析】
根据渐近线得到,,计算得到离心率.【详解】,一条渐近线方程为:,故,,.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,意在考查学生的计算能力.15、1【解析】
先画出约束条件的可行域,根据平移法判断出最优点,代入目标函数的解析式,易可得到目标函数的最大值.【详解】解:由约束条件得如图所示的三角形区域,由于,则,要求的最大值,则求的截距的最小值,显然当平行直线过点时,取得最大值为:.故答案为:1.【点睛】本题考查线性规划求最值问题,我们常用几何法求最值.16、【解析】
由点坐标可确定抛物线方程,由此得到坐标和准线方程;过作准线的垂线,垂足为,根据抛物线定义可得,可知当直线与抛物线相切时,取得最小值;利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率.【详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为,准线方程为过作准线的垂线,垂足为,则设直线的倾斜角为,则当取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切设直线的方程为,代入得:,解得:或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为:【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题,涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当取得最小值时,直线与抛物线相切,进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值为3.【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理将角化边,再由余弦定理计算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,则,再根据正弦函数的性质计算可得;【详解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因为,所以.(Ⅱ)当时,的周长有最大值,且最大值为3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因为,所以,所以当即时,取到最大值2,所以的周长有最大值,最大值为3.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函数的性质的应用,属于中档题.18、(1)见解析(2)(3)见解析【解析】
(1)令可得,即.得到,再利用通项公式和前n项和的关系求解,(2)由(1)知,.设等比数列的公比为,所以,再根据恰为与的等比中项求解,(3)由(2)得到时,,,求得,再代入证明。【详解】(1)解:令可得,即.所以.时,可得,当时,所以.显然当时,满足上式.所以.,所以数列是等差数列,(2)由(1)知,.设等比数列的公比为,所以,恰为与的等比中项,所以,解得,所以(3)时,,,而时,,,所以当时,.当时,,∴对任意,都有,【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系,等差数列,等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题,19、(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通项公式;(2)求出,用裂项相消法求和.【详解】解:(1)设等比数列的公比为又因为,所以解得(舍)或所以,即(2)据(1)求解知,,所以所以【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,考查裂项相消法求和.解题方法是基本量法.基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法,务必掌握.20、见解析【解析】
(1)如图,连接,交于点,连接,,则为的中点,因为为的中点,所以,又,所以,从而,,,四点共面.因为平面,平面,平面平面,所以.又,所以四边形为平行四边形,所以,所以(2)因为,为的中点,所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分别以,,的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,,所以,,,,所以,,.设平面的法向量为,则,即,令,可得,,所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为,则,即,令,可得,,所以平面的一个法向量为,所以,所以平面与平面所成二面角的正弦值为.21、(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲线的直角坐标
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