2022年河南省洛阳市五头附属中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022年河南省洛阳市五头附属中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.非零向量，，，若向量，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．以上均不对参考答案：B2.已知集合A＝{x｜x＋1＞0}，B＝{x|｜x|≤2}，则AB＝（）

A.{x|x≥－1}B.{x|x≤2}C.{x|－1＜x≤2}D.{x|－1≤x≤2}参考答案：C3.已知曲线(为参数).若直线与曲线C相交于不同的两点A，B，则的值为（

）A. B. C.1 D.参考答案：C分析：消参求出曲线C的普通方程：，再求出圆心到直线的距离，则弦长。详解：根据，求出曲线C的普通方程为，圆心到直线的距离，所以弦长，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题。4.已知方程在有两个不同的解(),则下面结论正确的是（

）A．

B.

C． D．

参考答案：C略5.已知函数，则f(x)的最小正周期和最大值分别为A.π，

B.π，

C.2π，

D.2π，参考答案：B6.在区间和分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为

▲

.参考答案：略7.（5分）记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3B．5C．﹣31D．33参考答案：D【考点】：等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列前n项和公式求．解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==故选D．【点评】：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．8.若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则

()A

或

B或

C

或

D

或

参考答案：A略9.已知等差数列{an}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（）A．5 B．6 C．15 D．30参考答案：C【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由已知结合等差数列的性质求得a3，再由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，由a2+a4=6，得2a3=6，a3=3．∴前5项和S5=5a3=5×3=15．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的性质，关键是对性质的应用，是基础题．10.四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100π C．200π D．300π参考答案：C【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数是奇函数，则=

．参考答案：012.已知向量，，且，，则向量=

。参考答案：答案：

13.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，其中,,，则直角梯形以BC为旋转轴旋转一周形成的几何体的体积为

。参考答案：14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2bcosA=2c﹣a，则角B的大小为．参考答案：

【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c2+a2﹣b2=，进而利用余弦定理可求cosB=，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．【解答】解：∵2bcosA=2c﹣a，∴cosA==，整理可得：c2+a2﹣b2=，∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．15.二项式的展开式中常数项是第

项。参考答案：9略16.如右图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径

．参考答案：4因为根据已知条件可知，连接AC，，，根据切线定理可知,,可以解得为4.17.已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴端点的距离为9，则椭圆E的离心率等于

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知点为的斜边的延长线上一点，且与的外接圆相切，过点作的垂线，垂足为，若，，求线段的长.参考答案：由切割线定理，得，解得，所以，即的外接圆半径，……5分记外接圆的圆心为，连，则，在中，由面积法得，解得.………………10分19.已知a＞0，函数f（x）=a2x3﹣3ax2+2，g（x）=﹣3ax+3．（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的极值；（3）若?x0∈（0，]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由导数值即曲线上过该点的切线的斜率求出斜率，后由点斜式写出切线方程；（2）求出原函数的导函数，求出导函数的两个零点，由零点对定义域分段，得到在各区间段内导函数的符号，判断出原函数的单调性，从而求出原函数在[﹣1，1]上的极值点，进一步求得函数的极值．（3）设F（x）=f（x）﹣g（x），求导，由F（x）为增函数，根据闭区间x的范围，求出F（x）的最大值，只要F（x）max＞0即可，列出不等式求得a的范围．【解答】解：由f（x）=a2x3﹣3ax2+2，求导，f′（x）=3a2x2﹣6ax，（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=3x2﹣6x，f′（1）=﹣3，f（1）=0，∴f（x）在点（1，f（1））的切线方程的斜率k=﹣3，直线方程y=﹣3（x﹣1），即y+3x﹣3=0，函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程y+3x﹣3=0；（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x1=0，x2=，（1）当0＜＜1，即a＞2时，x∈（﹣∞，0），（，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，）时f′（x）＜0，∴当x在区间（﹣1，1）上，x，f′（x），f（x）变化，x（﹣1，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（）=；当=1，即a=2时，x∈（﹣∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，1）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（1）=a2﹣3a+2；当＜1，即0＜a＜2时，x∈（﹣∞，0），（，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2．综上，当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（）=；当a=2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（1）=a2﹣3a+2；当0＜a＜2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2；（3）设F（x）=f（x）﹣g（x）=a2x3﹣3ax2+3ax﹣1，（x∈（0，]），对F（x）求导，得F′（x）=3a2x2﹣6ax+3a=3a2x2+3a（1﹣2x）＞0（a＞0），∴F（x）在（0，]上为增函数，则F（x）max=F（）．依题意，只需F（x）max＞0，即a2×﹣3a×+3a×﹣1＞0，∴a2+6a﹣8＞0，解得a＞﹣3+或a＜﹣3﹣（舍去）．于是，所求实数a的取值范围是（﹣3+，+∞）．20.已知，，且直线与曲线相切．（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；（ⅱ）求证：．参考答案：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．

（*），．

（**）

由（*）、（**）两式，解得，．

1分由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．

2分设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，．因此，实数的取值范围是．

4分（2）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为．

8分（3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，

化简得，

．

13分21.如图，在三棱锥中，平面．已知，点，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若在线段上，满足平面，求的值．参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）.【知识点】线面垂直线面平行

G4

G5（Ⅰ）证明：平面PAB

，D为PB中点平面（Ⅱ）连接交于连接，平面，平面平面又为重心【思路点拨】证明，即可证明平面，连接交于连接，平面，平面平面，，即可得为三角形重心.22.如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）在长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，可得AM=BM=2，则AM⊥BM，由线面垂直的判定可得BM⊥平面ADM，则AD⊥BM；（2）取M中点O，连接DO，则DO⊥平面ABCM，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为，设，则，，求出平面AME的一个法向量为，利用二面角E﹣AM﹣D的余弦值为求得λ值可得E的位置．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，则AM⊥BM，∵平