安徽省安庆市雷池中学高三数学文期末试卷含解析

安徽省安庆市雷池中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设满足约束条件，若目标函数的最大值为,则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.若tanθ=2，则cos2θ=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．【解答】解：∵tanθ=2，∴cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===﹣，故选D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．3.设函数，函数，则方程实数根的个数是……………（

）.（A）个

（B）个

（C）个

（D）个参考答案：B4.“φ＝”是“函数为偶函数的”（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：5.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】先根据三角函数的定义求出，然后再根据二倍角的余弦公式求出．【详解】∵为角终边上一点，∴，∴．故选D．6.双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P的中点，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出P的坐标，代入抛物线方程，从而求双曲线的离心率．【解答】解：|OF1|=c，|OM|=a，|F1M|=b，又∵M为PF1的中点，∴|PF2|=2|OM|=2a，|PF1|=2b，∵C1与C3有一个共同的焦点，∴p=2c，设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a﹣c，∵c?yM=ab，∴yM=，∴yP=，代入抛物线方程可得=4c（2a﹣c），∵e＞1，∴e=．故选A．【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．7.已知正三棱锥A﹣BCD的外接球半径R=，P，Q分别是AB，BC上的点，且满足=5，DP⊥PQ，则该正三棱锥的高为（）A． B．

C． D．2参考答案：A【考点】棱锥的结构特征．【分析】将正三棱锥A﹣BCD补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接直径，由正方体的性质知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，由此能求出该正三棱锥的高．【解答】解：∵正三棱锥中对棱互相垂直，∴AC⊥BD，∵P，Q分别是AB，BC上的点，且满足==5，∴PQ∥AC，∵DP⊥PQ，∴DP⊥AC，∴AC⊥平面ABD，又∵该三棱锥是正三棱锥，∴正三棱锥A﹣BCD的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A﹣BCD补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接直径，故2R=，由正方体的性质知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，该正三棱锥的高为．故选：A．【点评】本题考查正三棱锥的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．8.已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]参考答案：C【考点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的单调区间．【分析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则当x∈[2，+∞）时，x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故选C9.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（）A．2π B．4π C．8π D．10π参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴×2×1×sin60°×AA1=，∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=．设△ABC外接圆的半径为R，则=2R，∴R=1．∴外接球的半径为，∴球的表面积等于4π×（）2=8π．故选：C．10.已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A由图知，，且，则周期，所以．因为，则，从而．所以，故，选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为 .参考答案：略12.已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则的取值范围为

．参考答案：[﹣，4]．【分析】根据题意，把化为3+2?﹣1，利用参数表示点C（cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根据三角函数的有界性求出3+2?﹣1的最值即可．【解答】解：根据题意，=﹣，且||=||=||=1，∴=（+）?（+）+（+）?（+）+（+）?（+）=3+2?（++）+?+（+）?=3+2?﹣1，以点O为坐标原点，建立直角坐标系，设点C（cosα，sinα），点P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；则3+2?﹣1=3r2﹣2rcos（α﹣β）﹣1，∴3+2?﹣1≤3r2+2r﹣1≤4，且3+2?﹣1≥3r2﹣2r﹣1≥﹣；∴的取值范围是[﹣，4]．故答案为：[﹣，4]．13.下列正确命题的序号是____________（1）“”是直线与直线相互垂直的必要不充分条件（2），使得函数是偶函数（3）不等式：≥，

≥，≥，…，由此猜测第个不等式为…≥…（4）若二项式的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数是【解析】当时，两直线为和，此时两直线垂直，“”是直线与直线相互垂直的充分不必要条件，，所以（1）错误，所以当时，为偶函数，所以(2)正确，由归纳推理可知，（3）正确，令，则得所有项系数为，解得，二项式的通项公式为，令，得，所以，所以系数为，所以（4）错误，正确的为(2)(3)。参考答案：当时，两直线为和，此时两直线垂直，“”是直线与直线相互垂直的充分不必要条件，，所以（1）错误，所以当时，为偶函数，所以(2)正确，由归纳推理可知，（3）正确，令，则得所有项系数为，解得，二项式的通项公式为，令，得，所以，所以系数为，所以（4）错误，正确的为(2)(3)。【答案】(2)(3)14.若向量a，b满足：=，且|a|=2，|b|=4，则a与b的夹角等于.

参考答案：答案：15.已知，，且，则ab的最小值是

．参考答案：因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是

16.已知函数的最小正周期为π，则ω=

；若其图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数，则φ的值为

参考答案：；17.已知双曲线的离心率为2，则实数

．参考答案：答案：12三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率与每日生产产品件数()间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）（Ⅰ）当日产量=30件时，求日利润为多少？；（Ⅱ）将日利润表示成日产量的函数，并求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？参考答案：19.正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an}，直接求数列{an}的通项公式an；（2）利用数列的通项公式化简bn=，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由正项数列{an}满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可得（an﹣2n）（an+1）=0所以an=2n．（2）因为an=2n，bn=，所以bn===，Tn===．数列{bn}的前n项和Tn为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．20.（12分）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．参考答案：解：（1）设，则.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（2）由题设知，可得a≤0.由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，ax≤0，故.因此，a的取值范围是.

21.（本小题满分分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，一个顶点为.（1）求椭圆的标准方程；

（2）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求的取值范围.参考答案：（1）由题意可得，，，∴．

………………2分∴所求的椭圆的标准方程为：．

………………4分（2）设，则

．

①

………………5分

且，，

………………6分由可得，即

∴．

②

………………7分

由①、②消去整理得．

………………9分

∵，

∴．

………………11分

∵，