第四章代数式专题4.3 整式的加减【十大题型】（含解析）

第第页第四章代数式专题4.3整式的加减【十大题型】（含解析）专题4.3整式的加减【十大题型】

【知识点1去括号的法则】

（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号

外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内

各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都

要变号．

说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．

【知识点2添括号的法则】

添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．

【题型1去括号与添括号】

【例1】（2022秋招远市期末）下列各式由等号左边变到右边变错的有（）

①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c

②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2

③﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y

④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式1-1】（2022秋江汉区期中）下列添括号正确的是（）

A．a+b﹣c＝a﹣（b﹣c）B．a+b﹣c＝a+（b﹣c）

C．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c）D．a﹣b+c＝a+（b﹣c）

【变式1-2】（2022秋乐清市校级月考）给下列多项式添括号．使它们的最高次项系数变为正数：

（1）﹣x2+x＝；

（2）3x2﹣2xy2+2y2＝；

（3）﹣a3+2a2﹣a+1＝；

（4）（4）﹣3x2y2﹣2x3+y3＝．

【变式1-3】（2022秋滨湖区校级期末）去分别按下列要求把多项式5a﹣b﹣2a2b2添上括号：

（1）把前两项括到前面带有“+”号的括号里，后两项括到前面带有“﹣”号的括号里；

（2）把后三项括到前面带有“﹣”号的括号里；

（3）把含有字母a的项括到前面带有“+”号的括号里，把含有字母b的项括到前面带有“﹣”号的括号里．

【题型2利用去括号法则化简】

【例2】（2022秋滨湖区校级期末）去括号，合并同类项

（1）﹣3（2s﹣5）+6s；

（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]；

（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2ab）；

（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）

【变式2-1】（2022秋大理市校级期中）去括号，合并同类项得：3b﹣2c﹣[﹣4a+（c+3b）]+c＝．

【变式2-2】（2022秋铜官区期末）将下列各式去括号，并合并同类项．

（1）（7y﹣2x）﹣（7x﹣4y）

（2）（﹣b+3a）﹣（a﹣b）

（3）（2x﹣5y）﹣（3x﹣5y+1）

（4）2（2﹣7x）﹣3（6x+5）

（5）（﹣8x2+6x）﹣5（x2x）

（6）（3a2+2a﹣1）﹣2（a2﹣3a﹣5）

【变式2-3】（2022秋广信区期中）将4a2﹣2（a2﹣b2）﹣3（a2+b2）先去括号，再合并同类项得（）

A．﹣a2﹣b2B．﹣a2+b2C．a2﹣b2D．﹣2a2﹣b2

【题型3利用添括号与去括号求值】

【例3】（2022秋北碚区校级期中）若代数式2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）的值与x的取值无关，则m2023n2023的值为（）

A．﹣32023B．32023C．32023D．﹣32023

【变式3-1】（2022秋开封期末）已知a﹣b＝5，c+d＝﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（）

A．2B．﹣2C．8D．﹣8

【变式3-2】（2022秋乐亭县期末）观察下列各式：（1）﹣a+b＝﹣（a﹣b）；（2）2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；（3）5x+30＝5（x+6）；（4）﹣x﹣6＝﹣（x+6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目：

已知a2+b2＝5，1﹣b＝﹣2，求1+a2+b+b2的值．

【变式3-3】（2022秋乐亭县期末）阅读下列材料：

为了简化计算，提高计算速度，我们在日常的加减运算中，通常会利用运算律来计算较长且繁杂的代数式．例如计算1+2+3+4+5++99+100时我们可以运用加法的运算律来简化计算，即1+2+3+4+5++99+100＝（1+100）+（2+99）+（3+98）++（50+51）＝101×50＝5050．

请你根据阅读材料给出的方法计算：

（1）a+（a+m）+（a+2m）+（a+3m）++（a+100m）；

（2）（m+3m+5m++2023m）﹣（2m+4m+6m++2022m）．

【知识点3整式的加减】

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．

整式的加减步骤及注意问题：

（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．

（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．

【题型4利用整式的加减比较大小】

【例4】（2022秋内乡县期末）如果M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，那么M与N的大小关系是（）

A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．无法确定

【变式4-1】（2022秋澄海区期末）已知A＝a3+3a2b2+2b2+3b，B＝a3﹣a2b2+b2+3b．A与B的关系是（）

A．A＜BB．A＞BC．A≤BD．A≥B

【变式4-2】（2022秋确山县期中）整式5m2﹣6m+3和整式5m2﹣7m+5的值分别为M、N，则M、N之间的大小关系是（）

A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．无法确定

【变式4-3】（2022秋澄海区期末）若P＝4a2+2a+2，Q＝a+2a2﹣5，则P与2Q之间的大小关系是（）

A．P＞2QB．P＝2QC．P＜2QD．无法确定

【题型5整式的加减中的错看问题】

【例5】（2022秋滦州市期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）

A．﹣a2﹣2a+1B．﹣3a2+a﹣4C．a2+a﹣4D．﹣3a2﹣5a+6

【变式5-1】（2022秋鹿邑县月考）小宇在计算A﹣B时，误将A﹣B看错成A+B，得到的结果为4x2﹣2x+1，已知B＝2x2+1，则A﹣B的正确结果为．

【变式5-2】（2022秋阳东区期中）由于看错了运算符号，“小马虎”把一个整式减去一个多项式2a﹣3b误认为加上这个多项式，结果得出的答案是a+2b，则原题的正确答案是．

【变式5-3】（2022秋潍坊期末）小明做一道代数题：“求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当x＝1时的值”，由于粗心误将某一项前的“+”号看为“﹣”号，从而求得代数式的值为39，小明看错了次项前的符号．

【题型6整式的加减中的不含某项问题】

【例6】（2022秋宜城市期末）若多项式8a2﹣3a+5和多项式3a3+（n+4）a2+5a+7相加后结果不含a2项，则n的值为（）

A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣12

【变式6-1】（2022秋营口期末）若（2x2+mx﹣y+3）﹣（3x﹣2y+1﹣nx2）的值与字母x的取值无关，则代数式（m+2n）﹣（2m﹣n）的值是．

【变式6-2】（2022秋忠县期末）若关于a，b的代数式ma2b2﹣3ma2b2﹣（3a3﹣6a2b2）a3ab﹣5中不含四次项，则有理数m＝．

【变式6-3】（2022秋梅里斯区期末）已知关于x的多项式（a+b）x5+（a﹣3）x3﹣2（b+2）x2+2ax+1不含x3和x2项，则当x＝﹣1时，这个多项式的值为．

【题型7整式的加减中的遮挡问题】

【例7】（2022秋滦州市一模）小明准备完成题目：化简：（□x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）发现系数“□”印刷不清楚．

（1）她把“□”猜成4，请你化简（4x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”请通过计算说明原题中“□”是几？

【变式7-1】（2022秋常宁市期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下：+3（x﹣1）＝x2﹣5x+1

（1）求所挡的二次三项式；

（2）若x＝﹣1，求所挡的二次三项式的值．

【变式7-2】（2022秋常宁市期末）李老师在黑板上写了一个含m，n的整式：2[3mn+m﹣（﹣2m﹣n）]﹣（4mn+5m+5）﹣m﹣3n．

（1）化简上式；

（2）老师将m，n的取值挡住了，并告诉同学们当m，n互为倒数时，式子的值为0，请你计算此时m，n的值；

（3）李老师又将这个题进行了改编，当m取一个特殊的值时，式子的结果与n无关，那么此时m的值为多少．

【变式7-3】（2022秋张家口一模）已知：A、B都是关于x的多项式，A＝3x2﹣5x+6，B＝□﹣6，其中多项式B有一项被“□”遮挡住了

（1）当x＝1时，A＝B，请求出多项式B被“□”遮挡的这一项的系数；

（2）若A+B是单项式，请直接写出多项式B．

【题型8整式的加减中的项与系数问题】

【例8】（2022秋高州市期末）若M、N都是三次四项式，那么它们的和的次数一定是（）

A．六次B．三次C．不超过三次D．以上都不对

【变式8-1】（2022秋禹州市期末）A、B都是五次多项式，则A﹣B的次数一定是（）

A．四次B．五次C．十次D．不高于五次

【变式8-2】（2022秋如皋市校级期中）两个三次多项式的和的次数一定是（）

A．3B．6C．大于3D．不大于3

【变式8-3】（2022秋宜兴市校级期中）若A是三次多项式，B是二次多项式，则A+B一定是（）

A．五次多项式B．三次多项式C．三次单项式D．三次的整式

【题型9整式加减的运算或化简求值】

【例9】（2022秋费县期末）先化简，再求值：5ab2﹣[2a2b﹣（4ab2﹣2a2b）]，其中a＝2，b＝﹣1．

【变式9-1】（2022秋乐平市期中）计算：

①n﹣（﹣n+3）；

②4a3﹣3a2b+5ab2+a2b﹣5ab2﹣3a3；

③5（3x﹣2y）﹣7（3x﹣2y）﹣3（3x﹣2y）+（3x﹣2y）；

④5x2﹣7x﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x﹣1）]．

【变式9-2】（2022秋岳麓区校级月考）先化简，再求值：已知2（﹣3xy+y2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0．

【变式9-3】（2022秋双流区期末）已知A＝2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y

（1）当x＝2，y时，求B﹣2A的值．

（2）若|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，且B﹣2A＝a，求a的值．

【题型10整式加减的应用】

【例10】（2022张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（）

A．5B．6C．7D．8

【变式10-1】（2022秋滑县期末）下列式子表示十位上的数是a，个位上的数是b的两位数减去十位上的数是b，个位上的数是a的两位数的差的是（）

A．ab﹣baB．10a+b﹣10b+a

C．10b+a﹣（10a+b）D．（10a+b）﹣（10b+a）

【变式10-2】（2022秋许昌期末）如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（）

A．2a﹣3bB．2a﹣4bC．4a﹣10bD．4a﹣8b

【变式10-3】（2022河北二模）数学实践活动课上，陈老师准备了一张边长为a和两张边长为b（a＞b）的正方形纸片如图1、图2所示，将它们无重叠的摆放在矩形ABCD内，矩形未被覆盖的部分用阴影表示，设左下阴影矩形的周长为l1，右上阴影矩形的周长为l2．陈老师说，如果l1﹣l2＝6，求a或b的值．下面是四位同学得出的结果，其中正确的是（）

A．甲：a＝6，b＝4B．乙：a＝6，b的值不确定

C．丙：a的值不确定，b＝3D．丁：a，b的值都不确定

专题4.3整式的加减【十大题型】

【知识点1去括号的法则】

（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号

外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．

说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．

【知识点2添括号的法则】

添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．

【题型1去括号与添括号】

【例1】（2022秋招远市期末）下列各式由等号左边变到右边变错的有（）

①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c

②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2

③﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y

④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据去括号的方法逐一化简即可．

【解答】解：根据去括号的法则：

①应为a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，错误；

②应为（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+2y2，错误；

③应为﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a﹣b+x﹣y，错误；

④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x+3y+a﹣b，错误．

故选：D．

【变式1-1】（2022秋江汉区期中）下列添括号正确的是（）

A．a+b﹣c＝a﹣（b﹣c）B．a+b﹣c＝a+（b﹣c）

C．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c）D．a﹣b+c＝a+（b﹣c）

【分析】根据添括号法则即可判断．

【解答】解：A、a+b﹣c＝a﹣（﹣b+c），原添括号错误，故此选项不符合题意；

B、a+b﹣c＝a+（b﹣c），原添括号正确，故此选项符合题意；

C、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），原添括号错误，故此选项不符合题意；

D、a﹣b+c＝a+（﹣b+c），原添括号错误，故此选项不符合题意．

故选：B．

【变式1-2】（2022秋乐清市校级月考）给下列多项式添括号．使它们的最高次项系数变为正数：

（1）﹣x2+x＝﹣（x2﹣x）；

（2）3x2﹣2xy2+2y2＝﹣（2xy2﹣3x2﹣2y2）；

（3）﹣a3+2a2﹣a+1＝﹣（a3﹣2a2+a﹣1）；

（4）﹣3x2y2﹣2x3+y3＝﹣（3x2y2+2x3﹣y3）．

【分析】最高系数项的系数是负数，则多项式放在带负号的括号内，依据添括号法则即可求解．

【解答】解：（1）﹣x2+x＝﹣（x2﹣x）；

（2）3x2﹣2xy2+2y2＝﹣（2xy2﹣3x2﹣2y2）；

（3）﹣a3+2a2﹣a+1＝﹣（a3﹣2a2+a﹣1）；

（4）﹣3x2y2﹣2x3+y3＝﹣（3x2y2+2x3﹣y3）

故答案是：（1）﹣（x2﹣x）；（2）﹣（2xy2﹣3x2﹣2y2）；（3）﹣（a3﹣2a2+a﹣1）；（4）﹣（3x2y2+2x3﹣y3）．

【变式1-3】（2022秋滨湖区校级期末）去分别按下列要求把多项式5a﹣b﹣2a2b2添上括号：

（1）把前两项括到前面带有“+”号的括号里，后两项括到前面带有“﹣”号的括号里；

（2）把后三项括到前面带有“﹣”号的括号里；

（3）把含有字母a的项括到前面带有“+”号的括号里，把含有字母b的项括到前面带有“﹣”号的括号里．

【分析】（1）根据添括号法则解答即可；

（2）根据添括号法则解答即可；

（3）根据添括号法则解答即可．

【解答】解：（1）5a﹣b﹣2a2b2＝+（5a﹣b）﹣（2a2b2）；

（2）5a﹣b﹣2a2b2＝5a﹣（b+2a2b2）；

（3）5a﹣b﹣2a2b2＝5a﹣2a2﹣bb2＝+（5a﹣2a2）﹣（bb2）．

【题型2利用去括号法则化简】

【例2】（2022秋滨湖区校级期末）去括号，合并同类项

（1）﹣3（2s﹣5）+6s；

（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]；

（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2ab）；

（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）

【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；

（2）先去小括号，再去中括号，再合并同类项即可；

（3）先去括号，再合并同类项即可；

（4）先去括号，再合并同类项即可．

【解答】解：（1）﹣3（2s﹣5）+6s

＝﹣6s+15+6s

＝15；

（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]

＝3x﹣[5xx+4]

＝3x﹣5xx﹣4

x﹣4；

（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2ab）

＝6a2﹣4ab﹣8a2﹣2ab

＝﹣2a2﹣6ab；

（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）

＝﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24

＝﹣2x2+7xy﹣24．

【变式2-1】（2022秋大理市校级期中）去括号，合并同类项得：3b﹣2c﹣[﹣4a+（c+3b）]+c＝4a﹣2c．

【分析】直接利用去括号法则进而化简，再合并同类项求出答案．

【解答】解：3b﹣2c﹣[﹣4a+（c+3b）]+c

＝3b﹣2c+4a﹣（c+3b）+c

＝3b﹣2c+4a﹣c﹣3b+c

＝4a﹣2c．

故答案为：4a﹣2c．

【变式2-2】（2022秋铜官区期末）将下列各式去括号，并合并同类项．

（1）（7y﹣2x）﹣（7x﹣4y）

（2）（﹣b+3a）﹣（a﹣b）

（3）（2x﹣5y）﹣（3x﹣5y+1）

（4）2（2﹣7x）﹣3（6x+5）

（5）（﹣8x2+6x）﹣5（x2x）

（6）（3a2+2a﹣1）﹣2（a2﹣3a﹣5）

【分析】原式各项去括号合并即可得到结果．

【解答】解：（1）原式＝7y﹣2x﹣7x+4y＝11y﹣9x；

（2）原式＝﹣b+3a﹣a+b＝2a；

（3）原式＝2x﹣5y﹣3x+5y﹣1＝﹣x﹣1；

（4）原式＝4﹣14x﹣18x﹣15＝﹣32x﹣11；

（5）原式＝﹣8x2+6x﹣5x2+4x﹣1＝﹣13x2+10x﹣1；

（6）原式＝3a2+2a﹣1﹣2a2+6a+10＝a2+8a+9．

【变式2-3】（2022秋广信区期中）将4a2﹣2（a2﹣b2）﹣3（a2+b2）先去括号，再合并同类项得（）

A．﹣a2﹣b2B．﹣a2+b2C．a2﹣b2D．﹣2a2﹣b2

【分析】首先把括号外的数利用分配律乘到括号内，然后利用去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可．

【解答】解：4a2﹣2（a2﹣b2）﹣3（a2+b2）

＝4a2﹣2a2+2b2﹣3a2﹣3b2

＝﹣a2﹣b2．

故选：A．

【题型3利用添括号与去括号求值】

【例3】（2022秋北碚区校级期中）若代数式2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）的值与x的取值无关，则m2023n2023的值为（）

A．﹣32023B．32023C．32023D．﹣32023

【分析】根据关于字母x的代数式2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）的值与x的取值无关，可得x2、x的系数都为零，可得答案．

【解答】解：2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）＝（2m+6）x2+（4+4n）x﹣2y2+6y﹣2．

由代数式的值与x值无关，得

x2及x的系数均为0，

2m+6＝0，4+4n＝0，

解得m＝﹣3，n＝﹣1．

所以m2023n2023＝（﹣3）2023（﹣1）2023＝﹣32023．

故选：A．

【变式3-1】（2022秋开封期末）已知a﹣b＝5，c+d＝﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（）

A．2B．﹣2C．8D．﹣8

【分析】先把所求代数式去括号，再添括号化成已知的形式，再把已知整体代入即可求解．

【解答】解：根据题意可得：（b+c）﹣（a﹣d）＝（c+d）﹣（a﹣b）＝﹣3﹣5＝﹣8，故选D．

【变式3-2】（2022秋乐亭县期末）观察下列各式：（1）﹣a+b＝﹣（a﹣b）；（2）2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；（3）5x+30＝5（x+6）；（4）﹣x﹣6＝﹣（x+6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目：

已知a2+b2＝5，1﹣b＝﹣2，求1+a2+b+b2的值．

【分析】注意观察等号两边的变化，等号右边添加了括号，然后观察符号的变化即可；根据已知条件计算出b的值，然后再代入求值即可．

【解答】解：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．

∵1﹣b＝﹣2，

∴b＝3，

∴1+a2+b+b2＝（a2+b2）+b+1＝5+3+1＝9．

【变式3-3】（2022秋乐亭县期末）阅读下列材料：

为了简化计算，提高计算速度，我们在日常的加减运算中，通常会利用运算律来计算较长且繁杂的代数式．例如计算1+2+3+4+5++99+100时我们可以运用加法的运算律来简化计算，即1+2+3+4+5++99+100＝（1+100）+（2+99）+（3+98）++（50+51）＝101×50＝5050．

请你根据阅读材料给出的方法计算：

（1）a+（a+m）+（a+2m）+（a+3m）++（a+100m）；

（2）（m+3m+5m++2023m）﹣（2m+4m+6m++2022m）．

【分析】（1）仿照规律，由此即可求出结论．

（2）利用加法结合律，再乘以数字的个数即可得．

【解答】解：（1）a+（a+b）+（a+2b）+（a+3b）+…+（a+99b），

＝（a+a+99b）+（a+b+a+98b）+…+（a+49b+a+50b），

＝（2a+99b）×50，

＝101a+5050b．

（2）（m+3m+5m++2023m）﹣（2m+4m+6m++2022m）．

＝（m﹣2m）+（3m﹣4m）+（5m﹣6m）+…+（2023m﹣2022m）

＝﹣m×1011

＝﹣1011m．

【知识点3整式的加减】

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．

整式的加减步骤及注意问题：

（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．

（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．

【题型4利用整式的加减比较大小】

【例4】（2022秋内乡县期末）如果M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，那么M与N的大小关系是（）

A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．无法确定

【分析】先求出M﹣N的值，再根据求出的结果比较即可．

【解答】解：∵M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，

∴M﹣N

＝（x2+3x+12）﹣（﹣x2+3x﹣5）

＝x2+3x+12+x2﹣3x+5

＝2x2+17，

∵不论x为何值，2x2≥0，

∴M﹣N＞0，

∴M＞N，

故选：A．

【变式4-1】（2022秋澄海区期末）已知A＝a3+3a2b2+2b2+3b，B＝a3﹣a2b2+b2+3b．A与B的关系是（）

A．A＜BB．A＞BC．A≤BD．A≥B

【分析】首先作差，根据整式的加减运算法则，即可求得A﹣B＝4a2b2+b2≥0，继而可求得答案．

【解答】解：A﹣B＝（a3+3a2b2+2b2+3b）﹣（a3﹣a2b2+b2+3b）＝a3+3a2b2+2b2+3b﹣a3+a2b2﹣b2﹣3b＝4a2b2+b2≥0，

∴A≥B．

故选：D．

【变式4-2】（2022秋确山县期中）整式5m2﹣6m+3和整式5m2﹣7m+5的值分别为M、N，则M、N之间的大小关系是（）

A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．无法确定

【分析】利用作差法判断大小即可．

【解答】解：M﹣N＝（5m2﹣6m+3）﹣（5m2﹣7m+5）

＝5m2﹣6m+3﹣5m2+7m﹣5

＝m﹣2，

所以则M、N之间的大小关系无法确定．

故选：D．

【变式4-3】（2022秋澄海区期末）若P＝4a2+2a+2，Q＝a+2a2﹣5，则P与2Q之间的大小关系是（）

A．P＞2QB．P＝2QC．P＜2QD．无法确定

【分析】求出P与2Q的差即可比较P与2Q的大小．

【解答】解：∵P＝4a2+2a+2，Q＝a+2a2﹣5，

∴P﹣2Q

＝4a2+2a+2﹣2（a+2a2﹣5）

＝4a2+2a+2﹣2a﹣4a2+10

＝12＞0，

∴P＞2Q．

故选：A．

【题型5整式的加减中的错看问题】

【例5】（2022秋滦州市期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）

A．﹣a2﹣2a+1B．﹣3a2+a﹣4C．a2+a﹣4D．﹣3a2﹣5a+6

【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．

【解答】解：设原多项式为A，则A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4，

故A＝a2+a﹣4﹣（2a2+3a﹣5）

＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5

＝﹣a2﹣2a+1，

则﹣a2﹣2a+1﹣（2a2+3a﹣5）

＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5

＝﹣3a2﹣5a+6．

故选：D．

【变式5-1】（2022秋鹿邑县月考）小宇在计算A﹣B时，误将A﹣B看错成A+B，得到的结果为4x2﹣2x+1，已知B＝2x2+1，则A﹣B的正确结果为﹣2x﹣1．

【分析】先根据题意求出多项式A，然后根据整式的加减运算法则即可求出A﹣B的正确结果．

【解答】解：由题意可知：A+B＝4x2﹣2x+1，

∴A＝（4x2﹣2x+1）﹣（2x2+1）

＝4x2﹣2x+1﹣2x2﹣1

＝2x2﹣2x，

∴A﹣B

＝（2x2﹣2x）﹣（2x2+1）

＝2x2﹣2x﹣2x2﹣1

＝﹣2x﹣1，

故答案为：﹣2x﹣1．

【变式5-2】（2022秋阳东区期中）由于看错了运算符号，“小马虎”把一个整式减去一个多项式2a﹣3b误认为加上这个多项式，结果得出的答案是a+2b，则原题的正确答案是8b﹣3a．

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：设该整式为A，

∴A+（2a﹣3b）＝a+2b，

∴A＝a+2b﹣（2a﹣3b）

＝a+2b﹣2a+3b

＝﹣a+5b，

∴正确答案为：﹣a+5b﹣（2a﹣3b）＝﹣a+5b﹣2a+3b＝8b﹣3a，

故答案为：8b﹣3a．

【变式5-3】（2022秋潍坊期末）小明做一道代数题：“求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当x＝1时的值”，由于粗心误将某一项前的“+”号看为“﹣”号，从而求得代数式的值为39，小明看错了7次项前的符号．

【分析】首先把x＝1代入10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，求出算式的值是多少；然后根据它和求得的代数式的错误的值的差的大小，判断出小明看错了几次项前的符号即可．

【解答】解：当x＝1时，

10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1

＝10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

＝55

∵（55﹣39）÷2

＝16÷2

＝8

∴小明看错了7次项前的符号．

故答案为：7．

【题型6整式的加减中的不含某项问题】

【例6】（2022秋宜城市期末）若多项式8a2﹣3a+5和多项式3a3+（n+4）a2+5a+7相加后结果不含a2项，则n的值为（）

A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣12

【分析】先把两个多项式相加，根据结果不合a2项得关于n的方程，求解即可．

【解答】解：8a2﹣3a+5+3a3+（n+4）a2+5a+7

＝3a3+（n+4+8）a2+2a+12

＝3a3+（n+12）a2+2a+12．

∵8a2﹣3a+5和多项式3a3+（n+4）a2+5a+7相加后结果不含a2项，

∴n+12＝0．

∴n＝﹣12．

故选：D．

【变式6-1】（2022秋营口期末）若（2x2+mx﹣y+3）﹣（3x﹣2y+1﹣nx2）的值与字母x的取值无关，则代数式（m+2n）﹣（2m﹣n）的值是﹣9．

【解答】解：（m+2n）﹣（2m﹣n）＝m+2n﹣2m+n＝﹣m+3n，

（2x2+mx﹣y+3）﹣（3x﹣2y+1﹣nx2）

＝2x2+mx﹣y+3﹣3x+2y﹣1+nx2

＝（2+n）x2+（m﹣3）x+y+2，

∵（2x2+mx﹣y+3）﹣（3x﹣2y+1﹣nx2）的值与字母x的取值无关，∴2+n＝0，m﹣3＝0，

解得：n＝﹣2，m＝3，∴﹣m+3n＝﹣3+3×（﹣2）＝﹣3﹣6＝﹣9，

故答案为：﹣9．

【变式6-2】（2022秋忠县期末）若关于a，b的代数式ma2b2﹣3ma2b2﹣（3a3﹣6a2b2）a3ab﹣5中不含四次项，则有理数m＝3．

【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后令四次项系数为零，列方程求解．

【解答】解：原式＝ma2b2﹣3ma2b2﹣3a3+6a2b2a3ab﹣5

＝（﹣2m+6）a2b2a3ab﹣5，

∵原式的结果中不含四次项，

∴﹣2m+6＝0，

解得：m＝3，

故答案为：3．

【变式6-3】（2022秋梅里斯区期末）已知关于x的多项式（a+b）x5+（a﹣3）x3﹣2（b+2）x2+2ax+1不含x3和x2项，则当x＝﹣1时，这个多项式的值为﹣6．

【分析】根据多项式不含x3和x2项，令这两项的系数等于0，求出a，b的值，当x＝﹣1时，代入多项式求值即可．

【解答】解：∵多项式不含x3和x2项，

∴a﹣3＝0，b+2＝0，

∴a＝3，b＝﹣2，

当x＝﹣1时，

原式＝﹣（a+b）﹣2a+1

＝﹣a﹣b﹣2a+1

＝﹣3a﹣b+1

＝﹣9+2+1

＝﹣6，

故答案为：﹣6．

【题型7整式的加减中的遮挡问题】

【例7】（2022秋滦州市一模）小明准备完成题目：化简：（□x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）发现系数“□”印刷不清楚．

（1）她把“□”猜成4，请你化简（4x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”请通过计算说明原题中“□”是几？

【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．

（2）设“□”为a，根据整式的运算法则进行化简后，由答案为常数即可求出“□”的答案．

【解答】解：（1）原式＝4x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2

＝﹣x2+6；

（2）设“□”为a，

∴原式＝ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2

＝（a﹣5）x2+6，

∴a＝5，

∴原题中“□”是5

【变式7-1】（2022秋常宁市期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下：+3（x﹣1）＝x2﹣5x+1

（1）求所挡的二次三项式；

（2）若x＝﹣1，求所挡的二次三项式的值．

【分析】（1）根据题意确定出所挡的二次三项式即可；

（2）把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）所挡的二次三项式为x2﹣5x+1﹣3（x﹣1）＝x2﹣5x+1﹣3x+3＝x2﹣8x+4；

（2）当x＝﹣1时，原式＝1+8+4＝13．

【变式7-2】（2022秋常宁市期末）李老师在黑板上写了一个含m，n的整式：2[3mn+m﹣（﹣2m﹣n）]﹣（4mn+5m+5）﹣m﹣3n．

（1）化简上式；

（2）老师将m，n的取值挡住了，并告诉同学们当m，n互为倒数时，式子的值为0，请你计算此时m，n的值；

（3）李老师又将这个题进行了改编，当m取一个特殊的值时，式子的结果与n无关，那么此时m的值为多少．

【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；

（2）根据m，n互为倒数时，式子的值为0，即可求出m，n的值；

（3）根据式子的结果与n无关，所以2m﹣1＝0，即可求出m的值．

【解答】解：（1）原式＝6mn+2m﹣2（﹣2m﹣n）﹣4mn﹣5m﹣5﹣m﹣3n

＝6mn+2m+4m+2n﹣4mn﹣5m﹣5﹣m﹣3n

＝2mn﹣n﹣5．

（2）∵m，n互为倒数，

∴mn＝1，

∴2﹣n﹣5＝0，

∴n＝﹣3，

∴m，

∴m，n的值分别为和﹣3．

（3）∵2mn﹣n﹣5＝（2m﹣1）n﹣5，

∴当2m﹣1＝0即m时，式子的结果与n无关，

∴此时m的值为．

【变式7-3】（2022秋张家口一模）已知：A、B都是关于x的多项式，A＝3x2﹣5x+6，B＝□﹣6，其中多项式B有一项被“□”遮挡住了

（1）当x＝1时，A＝B，请求出多项式B被“□”遮挡的这一项的系数；

（2）若A+B是单项式，请直接写出多项式B．

【分析】（1）可设多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为k，当x＝1时，A＝4，B＝k﹣6，根据A＝B，列出方程得到关于k的方程即可求解；

（2）根据整式加减运算法则，结合单项式的定义即可求解．

【解答】解：（1）设多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为k，

当x＝1时，A＝3×12﹣5×1+6＝3﹣5+6＝4，B＝k﹣6，

∵A＝B，

∴k﹣6＝4，

解得k＝10，

即多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为10；

（2）A+B＝3x2﹣5x+6+□﹣6

＝3x2﹣5x+□，

∵A+B的结果为单项式，且□表示一项，

∴□＝﹣3x2或□＝5x，

∴多项式B为﹣3x2﹣6或5x﹣6．

【题型8整式的加减中的项与系数问题】

【例8】（2022秋高州市期末）若M、N都是三次四项式，那么它们的和的次数一定是（）

A．六次B．三次C．不超过三次D．以上都不对

【分析】根据合并同类项的法则，两个多项式相加后，多项式的次数一定不会升高，但当最高次数项的系数互为相反数，相加后最高次数项就会消失，次数就低于3．

【解答】解：若两个三次四项式中，三次项的系数不互为相反数，它们的和就会是三次多项式或单项式，

若两个三次四项式中，三次项的系数互为相反数，它们的和就会变为低于三次的整式，

故选：C．

【变式8-1】（2022秋禹州市期末）A、B都是五次多项式，则A﹣B的次数一定是（）

A．四次B．五次C．十次D．不高于五次

【分析】整式的加减，有同类项才能合并，否则不能化简．再根据合并同类项法则和多项式的次数的定义解答．

【解答】解：若五次项是同类项，且系数互为相反数，则A﹣B的次数低于五次；否则A﹣B的次数一定是五次．

故选：D．

【变式8-2】（2022秋如皋市校级期中）两个三次多项式的和的次数一定是（）

A．3B．6C．大于3D．不大于3

【分析】当两个三次多项式的三次项系数互为相反数时，其和的次数小于三次，否则，和的次数等于三次．

【解答】解：两个三次多项式的三次项系数可能互为相反数，也可能不互为相反数，

三次项系数互为相反数时，其和的次数小于三次，

三次项系数不互为相反数时，和的次数等于三次．

即和的次数不大于3．

故选：D．

【变式8-3】（2022秋宜兴市校级期中）若A是三次多项式，B是二次多项式，则A+B一定是（）

A．五次多项式B．三次多项式C．三次单项式D．三次的整式

【分析】利用合并同类项法则判断即可得到结果．

【解答】解：∵A是三次多项式，B是二次多项式，

∴A+B一定是三次的多项式或单项式，即一定是三次的整式．

故选：D．

【题型9整式加减的运算或化简求值】

【例9】（2022秋费县期末）先化简，再求值：5ab2﹣[2a2b﹣（4ab2﹣2a2b）]，其中a＝2，b＝﹣1．

【分析】首先去括号，进而合并同类项，再将已知代入求出答案．

【解答】解：5ab2﹣[2a2b﹣（4ab2﹣2a2b）]

＝5ab2﹣（2a2b﹣4ab2+2a2b）

＝5ab2﹣2a2b+4ab2﹣2a2b

＝9ab2﹣4a2b，

当a＝2，b＝﹣1时，

原式＝9×2×（﹣1）2﹣4×22×（﹣1）

＝18+16

＝34．

【变式9-1】（2022秋乐平市期中）计算：

①n﹣（﹣n+3）；

②4a3﹣3a2b+5ab2+a2b﹣5ab2﹣3a3；

③5（3x﹣2y）﹣7（3x﹣2y）﹣3（3x﹣2y）+（3x﹣2y）；

④5x2﹣7x﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x﹣1）]．

【分析】①先去括号，再合并同类项；

②先找同类项，然后再进行合并；

③把（3x﹣2y）看作一个整体，先合并，再进行5x2计算；

④先去小括号，再去中括号，最后再进行加减计算．

【解答】解：①n﹣（﹣n+3）

＝n+n﹣3

＝2n﹣3，

②4a3﹣3a2b+5ab2+a2b﹣5ab2﹣3a3

＝（4a3﹣3a3）+（﹣3a2b+a2b）+（5ab2﹣5ab2）

＝a3+（﹣2a2b）

＝a3﹣2a2b，

③5（3x﹣2y）﹣7（3x﹣2y）﹣3（3x﹣2y）+（3x﹣2y）

＝（5﹣7﹣3+1）（3x﹣2y）

＝﹣4（3x﹣2y）

＝﹣12x+8y，

④5x2﹣7x﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x﹣1）]

＝5x2﹣7x﹣（3x2+2x2﹣8x+2）

＝5x2﹣7x﹣（5x2﹣8x+2）

＝5x2﹣7x﹣5x2+8x﹣2

＝（5x2﹣5x2）+（﹣7x+8x）﹣2

＝x﹣2．

【变式9-2】（2022秋岳麓区校级月考）先化简，再求值：已知2（﹣3xy+y2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0．

【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．

【解答】解：原式＝﹣6xy+2y2﹣[2x2﹣15xy+6x2﹣xy]

＝﹣6xy+2y2﹣2x2+15xy﹣6x2+xy

＝﹣8x2+10xy+2y2；

∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，

∴x＝﹣2，y＝3，

∴原式＝﹣8×（﹣2）2+10×（﹣2）×3+2×32

＝﹣32﹣60+18

＝﹣74．

【变式9-3】（2022秋双流区期末）已知A＝2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y

（1）当x＝2，y时，求B﹣2A的值．

（2）若|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，且B﹣2A＝a，求a的值．

【分析】（1）首先化简B﹣2A，然后把x＝2，y代入B﹣2A，求出算式的值是多少即可．

（2）首先根据|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，可得