专题17角度相关知识专题复习（解析版）

专题17角度相关知识专题复习考点一角的度量【知识点睛】角的表示:表示方法图示记法1.用一个大写字母表示ABO表示方法图示记法1.用一个大写字母表示ABO2.用三个大写字母表示ABOC3.用数字或希腊字母并在顶点处加弧线ABOC1α应注意问题题只有一个只有一个单独的角∠A∠A均适用均适用∠∠AOB等在图形上标注后才能用在图形上标注后才能用∠∠1、∠α如上右图：把图中用数字表示的角改用大写字母表示是:∠1=∠AFE、∠2=∠CFE、∠3=∠CEF、∠4=∠B、∠5=∠A。角的度量单位有：度°、分′、秒″，1°=60′，1′=60″，1°=3600″．角的和差计算应该注意：①相同单位的加或减（即度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减）；②加法结果，分或秒大于60时要减60向上一单位进1，减法运算时，被减数分或秒不够减时要向上一单位借1当本单位的60。【类题训练】1．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A． B． C． D．【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示．【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是选项A中的图，选项B，C，D中的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，故选：A．2．如图所示，射线OA的方向为北偏东29°，∠AOB＝90°，则射线OB的方向为（）A．南偏东61° B．南偏东71° C．南偏东29° D．南偏东51°【分析】利用已知得出∠1的度数，进而得出OB的方向角．【解答】解：如图，∵OA是北偏东29°方向的一条射线，∠AOB＝90°，∴∠1＝90°﹣29°＝61°，∴OB的方向角是南偏东61°．故选：A．3．下列度、分、秒运算中，正确的是（）A．48°39'+67°31'＝115°10' B．90°﹣70°39'＝20°21' C．1.45°＝86' D．1800″＝0.5°【分析】根据角度的度分秒的换算依次判断各个选项即可．【解答】解：48°39'+67°31'＝115°70'＝116°10′，故A计算错误；90°﹣70°39'＝89°60′﹣70°39′＝19°21'，故B计算错误；1.45°＝1.45×60′＝87'，故C计算错误；1800′′＝1800÷60′＝30′＝30÷60°＝0.5°，故D计算正确；故选：D．4．如图所示，∠AOB的大小可由量角器测得，则图中∠AOB的度数为（）A．60° B．75° C．120° D．150°【分析】由图形可直接得出．【解答】解：由题意，可得∠AOB＝120°，故选：C．5．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（）A．FH＞HG B．FH＝HG C．FH＜HG D．PF＜PG【分析】由作图痕迹得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，过H点作HM⊥PA于M点，如图，根据角平分线的性质得到HM＝HG，则利用垂线段最短得到HF＞HM，所以HF＞HG．【解答】解：由作图痕迹得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，过H点作HM⊥PA于M点，如图，∴HM＝HG，∵HF＞HM，∴HF＞HG．故选：A．6．时钟显示为2：00时，时针与分针所夹的角是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【解答】解：2：00时，时针与分针所夹角度是30°×2＝60°，故选：C．7．计算：180°﹣（35°54'+21°33'）=．【分析】依据度分秒相邻单位之间的换算是60进制，即可计算．【解答】解：180°﹣（35°54'+21°33'）＝179°60'﹣57°27′＝122°33'．8．计算：（1）45°10′﹣21°35′20″；（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；（3）42°16′+18°23′×2．【分析】（1）根据度分秒之间的进率解答；（2）根据度分秒之间的进率解答；（3）先计算乘法，再计算加法．【解答】解：（1）原式＝44°69′60″﹣21°35′20″＝23°34′40″；（2）原式＝115°70′﹣21°17′＝94°53′；（3）原式＝42°16′+36°46′＝79°2′．考点二角的运算【知识点睛】分类：锐角：0°＜锐角＜90°；直角=90°；钝角：90°＜钝角＜180°；平角=180°；周角=360°；角平分线：从一个角的顶点引出，将一个角分成相等的两个角的射线几何语言：如图，因为OP是∠AOB的平分线（OP平分∠AOB）所以∠AOP=∠BOP=½∠AOB或∠AOB=2∠AOP=2∠BOP角的运算角的加减直角三角板上各角的读数为：30°、60°、90°；45°、45°、90°余角/补角定义：余角相关：如果两个角的和等于90°，我们就称这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角。补角相关：如果两个角的和等于180°，我们就称这两个角互为补角，简称“互补”，其中一个角叫做另一个角的补角。性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。以上两个定理常用于角度间的等量代换。【类题训练】9．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，下列各式正确的是（）A． B． C．∠BOC＝∠AOD D．【分析】根据角平分线的定义逐一进行判断即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∴∠COD＝∠AOB，故A选项不符合题意；∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3∠BOD，∴∠BOD＝∠AOD，故B选项不符合题意；∴∠BOC＝∠AOD，故C选项符合题意；∵∠AOB＝4∠BOD，∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，故D选项不符合题意；故选：C．10．如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使迈AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠ABE+∠CBF等于（）A．30° B．35° C．45° D．60°【分析】先根据折叠的性质可得，∠CBF＝∠DBF＝，∠ABE＝∠DBE＝，因为∠ABD+∠CBD＝90°，根据∠ABE+∠CBF＝＝（∠ABD+∠CBD），代入计算即可得出答案．【解答】解：由折叠性质得，∠CBF＝∠DBF＝，∠ABE＝∠DBE＝，∠ABE+∠CBF＝＝（∠ABD+∠CBD）＝＝＝45°．故选：C．11．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB＝160°，则∠COD的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】由∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，求出∠AOC，再由∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，即可计算．【解答】解：∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∴∠AOC＝160°﹣90°＝70°，∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∴∠COD＝90°﹣70°＝20°．故选：A．12．一个角等于它的余角的2倍，那么这个角的补角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】设这个角的余角为α，则这个角为2α，则可得α+2α＝90°，即可算出这个角的度数，根据补角的定义进行计算即可得出答案．【解答】解：设这个角的余角为α，则这个角为2α，则α+2α＝90°，解得：2a＝60°，这个角的补角是180°﹣60°＝120°．故选：C．13．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，若∠AOC＝60°，∠AOD和∠DOE互余，则∠COE的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．60°【分析】根据OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，得出∠AOD＝30°，再根据平角的定义得出∠COD＝30°，即可得出∠COE的度数．【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝∠DOC＝30°，∠EOD＝90°﹣30°＝60°，OE＝30°．故选：A．14．已知∠α＝25°30'，则它的补角为（）A．25°30′ B．64°30' C．164°30' D．154°30′【分析】由补角的概念，即可计算．【解答】解：180°﹣25°30′＝154°30′．故选：D．15．如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠C＝90°；又∵AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，故图中与∠B互余的角有2个．故选：B．16．已知∠α是钝角，∠α与∠β互补，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系式为∠α﹣∠γ＝90°．【分析】根据余角和补角的定义解决此题．【解答】解：由题意得，∠α+∠β＝180°，∠β+∠γ＝90°．∴∠β＝180°﹣∠α＝90°﹣∠γ．∴∠α﹣∠γ＝90°．故答案为：∠α﹣∠γ＝90°．17．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有A、C．（多选）【分析】根据对顶角相等，平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解【解答】解：A：根据对顶角相等，可得∠α＝∠β，故A符合题意；B：∠α＝45°，∠β＝60°，故B不符合题意；C：根据同角的余角相等，∠α＝∠β，故C符合题意；D：∠a＝135°，∠β＝120°，故D不符合题意．故答案为：A、C．考点三直线的相交【知识点睛】对顶角性质：两直线相交，对顶角相等；垂直的定义：当两条直线相交所构成的4个角中有一个是直角时，两条直线互相垂直；推论1：在同一平面内，过一点有且仅有1条直线垂直于已知直线推论2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【类题训练】18．如图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A．B． C．D．【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．【解答】解：由对顶角的定义可知，图中的∠1与∠2是对顶角，故选：B．19．如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，则∠DOB的度数为（）A．50° B．56° C．60° D．65°【分析】设∠DOB＝x，根据邻补角的概念得到∠AOD＝180°﹣x，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设∠DOB＝x，则∠AOD＝180°﹣x，由题意得：180°﹣x＝2（x+15°），解得：x＝50°，∴∠DOB＝50°，故选：A．20．下列说法中正确的是（）A．3时30分，时针与分针的夹角是90° B．6时30分，时针与分针重合 C．8时45分，时针与分针的夹角是30° D．9时整，时针与分针的夹角是90°【分析】根据时钟上一大格是30°，时针一分钟转0.5°，进行计算逐一判断即可．【解答】解：A、3时30分，时针与分针的夹角是75°，故A不符合题意；B、6时30分，时针与分针不重合，故B不符合题意；C、8时45分，时针与分针的夹角是7.5°，故C不符合题意；D、9时整，时针与分针的夹角是90°，故D符合题意；故选：D．21．如图1，直线ED上有一点O，过点O在直线ED上方作射线OC，将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝2或8或32秒时，射线OA，OC与OD中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．【分析】分三种情况进行解答，即①射线OA是∠COD的平分线，②射线OC是∠AOD的平分线，③射线OD是∠COA的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可．【解答】解：当射线OA是∠COD的平分线时，∵∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，OA是∠COD的平分线，∴∠AOD＝∠COD＝20°，∴t＝＝2；当射线OC是∠AOD的平分线时，∠AOD＝2∠COD＝80°，∴t＝＝8；当射线OD是∠COA的平分线时，360﹣10t＝40，∴t＝32，故答案为：2或8或32．22．如图，OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，若∠AOC＝∠AOB，则OB的方向是（）A．北偏东65° B．东偏北20° C．北偏东50° D．东偏北15°【分析】先根据角的和差得到∠AOC的度数，根据∠AOC＝∠AOB得到∠AOB的度数，再根据角的和差得到OB的方向．【解答】解：∵OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，∴∠AOB＝∠AOC＝15°+40°＝55°，∴OB的方向是北偏东15°+55°＝70°，或者东偏北90°﹣70°＝20°．故选：B．23．如图，∠1＝15°，AO⊥CO，直线BD经过点O，则∠2的度数为（）A．75° B．105° C．100° D．165°【分析】由OC⊥OA，可知∠BOC+∠1＝90°，而∠1＝15°，可求∠BOC，再根据∠2+∠BOC＝180°求∠2．【解答】解：∵OC⊥OA，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°，又∵∠2+∠BOC＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣75°＝105°．故选：B．24．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，∠BOE＝50°，则∠AOC等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】应用垂线的性质及对顶角的定义进行计算即可得出答案．【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠EOD＝∠BOE+∠BOD，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝90°﹣50°＝40°，∴∠AOC＝∠BOD＝40°．故选：B．25．如图，∠A＝90°，点B到线段AC的距离指的是下列哪条线段的长度（）A．AB B．BC C．BD D．AD【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【解答】解：∵∠A＝90°，∴AB⊥AD，∴点B到线段AC的距离指的是线段AB的长度．故选：A．26．如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；（2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）：MO＜MN，并说明理由：垂线段最短；（3）求∠AON的度数．【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；（2）根据垂线段最短解答即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．【解答】解：（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；（2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短；（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，∴∠BOM＝25°，∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．故答案为：MO；MO＜MN；垂线段最短．27．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．【分析】根据正方形的性质得到∠A＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠F＝∠A＝90°，∠FEN＝∠C＝90°，∠DNM＝∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM＝（180°﹣∠ENC）＝（180°﹣58°）＝61°，根据四边形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，∴∠F＝∠A＝90°，∠DNM＝∠ENM，∠FEN＝∠D＝90°，∵∠NEC＝32°，∴∠ENC＝90°﹣32°＝58°，∴，∴∠FMN＝360°﹣90°﹣90°﹣61°＝119°．28．如图，点O在直线AB上，∠COD＝2∠BOC，∠AOE＝∠DOA．（1）求∠COE的度数；（2）若∠COD＝50°，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据角的比例可得∠BOC+∠AOE＝120°，再根据角的和差可得答案；（2）首先得出∠BOC＝25°，再根据∠BOE＝∠BOC+∠COE可得答案．【解答】解：（1）∵∠COD＝2∠BOC，∴∠BOC＝BOD，∵∠AOE＝∠DOA，∴∠BOC+∠AOE＝∠BOD+∠AOD＝∠AOB＝60°，∴∠COE＝180°﹣（∠BOC+∠AOE）＝180°﹣60°＝120°；（2）∵∠COD＝2∠BOC，∴∠BOC＝COD＝25°，由（1）得，∠COE＝120°，∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝25°+120°＝145°．29．如图所示，∠AOC比∠BOC小30°，∠AOD＝∠BOD，求∠DOC的度数．【分析】由∠BOC﹣∠AOC＝（∠BOD+∠COD）﹣（∠AOD﹣∠COD）求出∠DOC的度数．【解答】解：∵∠BOC﹣∠AOC＝（∠BOD+∠COD）﹣（∠AOD﹣∠COD）＝∠BOD+∠COD﹣∠