含30°角的直角三角形的性质第2课时课件人教版数学八年级上册

第十三章轴对称含30°角的直角三角形的性质学习目标1.运用等边三角形能推导出30°角的直角三角形的性质2.含30°角的直角三角形的性质及应用（重点）3.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算（难点）情境引入问题1如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB新课导入问题2

将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？新课导入情境引入性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你还能用其他方法证明吗？含30°角的直角三角形的性质讲授新课证明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．

延长BC到D，使BD=AB，连接AD，

则△ABD

是等边三角形．

又∵AC⊥BD,已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

证明方法：倍长法∴

BC=AB．

∴BC=BD．

证法1讲授新课讲授新课EABC在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

证明方法：截半法证法2讲授新课知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．判断下列说法是否正确：1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．

2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。

3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。

4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．×××√即时练

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例题讲授新课

如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.EC例题方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．讲授新课

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例题讲授新课在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．讲授新课例题想一想：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？

如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？ABCDE讲授新课ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB，DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的长是，DE的长是1.85m.讲授新课例题

已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.讲授新课例题

如图，某货轮于上午8时20分从A处出发，此时观测到海岛B的方位为北偏东60°，该货轮以每小时30海里的速度向东航行到C处，此时观测到海岛B的方位为北偏东30°，继续向东航行到D处，观测到海岛B的方位为北偏西30°.当货轮到达C处时恰好与海岛B相距60海里，求该货轮到达C，D处的时间．导引：说明△ABC是等腰三角形及△BCD是等边三角形是解决本题的关键．

讲授新课解：由已知，得∠BAC＝90°－60°＝30°，

∠ACB＝90°＋30°＝120°，∠BCD＝∠BDC＝60°，

∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝30°，

∴AC＝BC＝60海里，

∴货轮从A处到C处所需时间为60÷30＝2(小时)．∵∠CBD＝∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BC＝60海里，∴货轮从C处到D处所需时间为60÷30＝2(小时)，∴货轮从A处到D处所需时间为2＋2＝4(小时)．答：该货轮到达C处的时间是上午10时20分，到达D处的时间是中午12时20分．讲授新课小

结

本题运用建模思想，把实际问题转化为等边三角形和等腰三角形模型，从而利用等边三角形、等腰三角形及方位角的有关知识解决问题．1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB等于(

)

A．6cmB．7cmC．8cm

D．9cmC2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(

)A．BD＝CDB．BD＝2CDC．BD＝3CDD．BD＝4CDB当堂练习3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米B4.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元

D．225a元B当堂练习5.如图，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=

.ABCD16.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC

=

.57.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______.ACB8当堂练习8.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC

=AE

=

BE

=2.5．当堂练习9.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.当堂练习10.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.∴△ADC≌△