n次方根与分数指数幂 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章

指数函数与对数函数章前导读

考古学中，经常是利用放射性物质的衰减检验出土文物的年限。

例如，我国的浙江杭州市余杭区良储和瓶窑镇在1936年首次发现巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝何多出高等级建筑。考古学家利用遗址中的碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年-前2300年。你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗?

实际上，考古学家所用的数学知识是我们本章所学的指数函数。指数函数在解决实际问题中有广泛的应用。例如，在自然条件下，细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数模型进行刻画他们的变化规律。4.1.1n次方根与分数指数幂第四章

指数函数与对数函数一二三学习目标了解n次方根与分数指数幂的概念理解n次方根与分数指数幂的性质掌握分数指数幂与根式的互化学习目标新课导入

新知探究问题1

什么是n次方根？我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.

如果x3=a，那么x叫做a的立方根.①

(±2)2＝４，则称±２为４的

；②23=8，则称２为8的

；平方根立方根

类似地，由于(±2)4=16，所以±2叫做16的

；

由于25=32，所以2叫做32的

.4次方根5次方根定义1：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且n∈N*.新知探究问题2

什么是方根的性质？【1】当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.

【2】当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.

【3】负数没有偶次方根.【4】0的任何次方根都是0.记作：

新知探究问题3

什么是根式？

根指数被开方数

说明：新知探究问题4分别等于什么？一般地等于什么？

根据n次方根的意义，可得

结论:an开奇次方根,则有结论:an开偶次方根,则有不一定归纳小结根式的性质⑴当n为任意正整数时，()n=a.⑵当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.

典例解析

解：（1）

（2）

（3）

（4）注意符号新知探究问题6（1）观察以下式子,你总结出什么规律呢？(a>0)结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.新知探究问题6（2）利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?

结论：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以表示为分数指数幂的形式.概念生成分数指数幂（a>0，m、n∈N*,n>1）被开方数的指数根指数规定，正数的正分数指数幂的意义是：规定，正数的负分数指数幂的意义是：（a>0，m、n∈N*,n>1）规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.追问1：

可以理解为

个a相乘吗？新知探究不可以！追问2：分数指数幂能约分吗？不可以！结论：①分数指数幂是根式的另一种表示,分数指数幂与根式可以互化.②分数指数幂不可随意约分.约分之后可能会改变根式有意义的条件.

整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用.概念生成对于任意有理数r,s均有下面的运算性质有理数指数幂的运算性质

同底数幂相除，底数不变，指数相减当a<0,b<0时运算法则不一定成立.只有当a>0,b>0时运算法则才一定成立.

解：

典例解析解：

例3

用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0).

典例解析

例4

计算下式各式(式中字母均是正数).解：典例解析巩固练习教材P107解：解：