第18讲三元一次方程组（知识解读题型精讲随堂检测）（原卷版）

第18讲三元一次方程组知识点1：三元一次方程组的定义三元一次方程组是指含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程的方程组。知识点2：解三元一次方程组解三元一次方程组的一般步骤包括：1.消元：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。2.解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。3.将求得的这两个未知数的值代入方程组中系数较简单的方程，求出第三个未知数的值。4.写出方程组的解，用大括号联立。【题型1三元一次方程组的定义】【典例1】下列是三元一次方程组的是（）A． B． C． D．【变式11】下列不是三元一次方程组的是（）A． B． C． D．【变式12】下列方程组是三元一次方程组的是（）A． B． C． D．【题型2解三元一次方程组】【典例2】解方程组．【变式21】解方程组：．【变式22】解方程组：．【变式23】解方程组：．【变式24】解方程组【题型3三元一次方程组的应用】【典例3】某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元、C型每台3000元．（1）甲中学现有资金210000元，计划全部用于购进这家电脑公司的A型和B型电脑共45台．这两种型号的电脑各购进多少台？（2）乙中学现有资金190000元，计划全部用于购进这家电脑公司的三种型号电脑共60台，请你设计出所有不同的购买方案，并说明理由．【变式31】某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．（1）求A场馆和B场馆的门票价格．（2）若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．（3）若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案．【变式32】一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．【典例4】先阅读下列材料，再完成任务：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝，x+y＝；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？【变式41】在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题．例如1：已知：x+2y﹣3z＝2，2x+y+6z＝1，求：x+y+z的值．解：令x+2y﹣3z＝2．……①2x+y+6z＝1……②①+②，得3x+3y+3z＝3所以x+y+z＝1已知，求x+2y的值．解：①×2得：2x+2y＝﹣10③②﹣③得：x+2y＝11，利用材料中提供的方法，解决下列问题（1）已知：关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值；（2）某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别x，y，z盆、甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？【变式42】在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，即，解得．∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．请你根据小华的分析过程，解决如下问题：（1）若有理数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？1．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（）A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③2．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种3．设＝＝，则的值为（）A． B． C． D．4．有理数x、y、z满足，则x+2y+5z的值是（）A．﹣4 B．3 C．4 D．值不能确定5．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱元．6．解三元一次方程组：．7．甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问：（1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？（2）这台电视机的售价是多少元？8．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员小丽小华月销售件数（件）200150月总收入（元）14001250假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．（1）求x、y的值；（2）如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？9．【阅读感悟】有些关于方程组的问题，所求的不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．【解决问题】（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝，x+y＝；（2）某班级组织活动购买小奖品，买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3本日记本共需48元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝12，4*7＝24，求1*1的值．10．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？11．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．（1）解方程组解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3把x＝1代入②得：y＝0所以方程组的解为（2）已知，求x+y+z的值．解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③③÷4得x+y+z＝4[类比迁移]（1）直接写出方程组的解．（2）若，求x+y+z的值．[实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？12．阅读下列材料：问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅的单价不变）．解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x、y、z元．依题意得：上述方程组可变形为：设x+y+z＝a，2x+z＝b，上述方程组又可化为：①+4×②得：a＝即x+y+z＝答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需元．阅读后，细心的你，可以解决下列问题：上述材料中a＝（2）选择题：上述材料中的解答过程运用了思想方法来指导解题．A、整体B、数形结合C、分类讨论（3）某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表：品名次数甲乙丙丁用钱金额（元）第一次购买件数54311882第二次购买件数97512764那么，购买每种体育用品各一件共需多少元？13．在解决“已知实数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④，③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤，当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝