专题12锐角的三角函数（5个知识点9种题型4个易错点2种中考考法）

专题12锐角的三角函数（5个知识点9种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的定义（重点）知识点2.坡度和坡角的定义（重点）知识点3.正弦、余弦的定义（重点）知识点4.30°，45°，60°角的三角函数值（重点）知识点5.互为余角的锐角三角函数之间的关系（难点）【方法二】实例探索法题型1.求锐角三角函数值题型2.锐角三角函数与网格、平面直角坐标系的综合题型3.坡度的应用题型4.特殊角的三角函数值的计算题型5.三角函数间关系的运用题型6.利用锐角三角函数的增减性判断角的取值范围题型7利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状题型8.利用锐角三角函数解决几何问题题型9.动点问题【方法三】仿真实战法考法1.锐角三角函数的定义考法2.特殊角的三角函数值【方法四】成果评定法【学习目标】掌握正切、正弦、余弦的定义，并能根据它们的定义求一个锐角的正切、正弦和余弦的值。理解坡度、破角的定义，并能利用它们解决相关问题。能够由所给数据求出锐角三角函数值。4.熟记三个特殊角的三角函数值，并能准确地加以运用。5.掌握互余两角的正、余弦之间的关系，并利用这一性质进行有关计算。6.会利用计算器求锐角的三角函数值，或根据三角函数值求出相应的锐角。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的定义（重点）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．知识点2.坡度和坡角的定义（重点）（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．知识点3.正弦、余弦的定义（重点）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．知识点4.30°，45°，60°角的三角函数值（重点）（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．知识点5.互为余角的锐角三角函数之间的关系（难点）在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．【方法二】实例探索法题型1.求锐角三角函数值1．（2023•镜湖区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值是（）A． B． C． D．【分析】根据余弦的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，由锐角的余弦，得，故选：D．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边．2．（2021秋•萧县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A． B． C． D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2021秋•安徽月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∴sinA＝＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．题型2.锐角三角函数与网格、平面直角坐标系的综合4．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】如图，连接，由正方形的性质可得：，，，再求解的正切即可.【详解】解：如图，连接，由正方形的性质可得：，，，∴，故选D.【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟练构建需要的直角三角形是解本题的关键.5．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，已知的三个顶点均在格点上，则_____．【答案】【分析】作的高．利用勾股定理求出，可得结论．【详解】解：如图，作的高，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosC＝．【分析】作△ABC的高AH．利用勾股定理求出AC，可得结论．【解答】解：如图，作△ABC的高AH，∵∠H＝90°，AH＝2，CH＝4，∴AC＝＝，∴cosC＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．题型3.坡度的应用8．（2023春•萧县月考）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：3，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：3×10＝30（米），∴物体所经过的路程为：＝10（米），故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．9．（2022秋•宁国市期末）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若BD的坡度是1：2，则tan∠DEC的值是．【分析】过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2a，易证△ABE≌△CDF（AAS），从而可求出AE＝CF＝a，BE＝FD＝1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟练掌握三角形的相关应用是解题的关键．题型4.特殊角的三角函数值的计算10．（2022秋•宁国市期末）计算：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【分析】根据有理数的乘方法则、特殊角的三角函数值计算．【解答】解：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°＝﹣1+2×﹣++（）2＝﹣1++3＝2+．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．11．（2022秋•长丰县校级期末）计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣1+﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12．（2022秋•池州期末）计算：2sin45°﹣+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13.（2022秋•宣城期末）计算：cos230°+sin245°﹣tan60°•tan30°【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝（）2+（）2﹣•＝+﹣1＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14．（2022秋•定远县期末）计算：（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；（2）．【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：（1）原式＝×+×＝；（2）原式＝＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．15．（2023•池州模拟）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确化简各数是解题关键．16．（2023春•蚌埠月考）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°＝×﹣÷＝﹣2＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．17．（2023•庐阳区校级一模）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．【解答】解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2＝2﹣2﹣2×＝2﹣2﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．题型5.三角函数间关系的运用18．（2022秋•怀宁县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴．故选：C．【点评】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于它余角的余弦是关键．19．（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：设Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，由于tanA＝＝2，可设a＝2k，b＝k，由勾股定理得，c＝＝5k，∴sinB＝＝，故选：A．【点评】本题考查互余两角三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的关键．20．（2023春•金安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinB＝．【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，tanA＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确利用勾股定理求出边长是解题关键．21．（2021秋•金牛区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA+cosA＝．【分析】根据tanA＝2和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．【解答】解：如图，∵tanA＝2，∴设AB＝x，则BC＝2x，AC＝＝x则有：sinA+cosA＝+＝+＝．故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论．22．（2021秋•安徽月考）若sinA＝，则tanA＝．【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数，然后求出tanA的值．【解答】解：∵sinA＝，∴∠A＝30°，则tanA＝．故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．23．（2023•怀宁县一模）若∠A是锐角，且tanA＝2sinA，则∠A＝．【分析】根据tanA＝和tanA＝2sinA得出＝2sinA，求出cosA＝，再根据特殊角的三角函数值得出答案即可．【解答】解：∵tanA＝，又∵∠A是锐角，tanA＝2sinA，∴＝2sinA，∴cosA＝，∴∠A＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了同角三角函数的关系和特殊角的三角函数值，能熟记tanA＝是解此题的关键．24．（2021•安庆模拟）已知sina＝（a为锐角），则tana＝．【分析】（1）利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，由于sina＝＝，因此设BC＝5k，则AB＝13k，由勾股定理得，AC＝＝＝12k，∴tanα＝tanA＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键．25．（2022秋•宣州区期末）已知α为锐角，cosα＝，求tanα﹣的值．【分析】根据cos2α+sin2α＝1，tanα＝，可得答案．【解答】解：α为锐角，cosα＝，得sinα＝＝，tanα＝＝＝2．tanα﹣＝2﹣＝﹣3．【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用cos2α+sin2α＝1，tanα＝是解题关键．26．（2022秋•宿州月考）已知∠A是锐角，cosA＝，求sinA，tanA的值．【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1和tanA＝，即可求解．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sinA＝或﹣（舍去），∴sinA＝．∵tanA＝，∴tanA＝＝，故sinA＝，tanA＝．【点评】本题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α＝1，tanA＝．题型6.利用锐角三角函数的增减性判断角的取值范围27．（2022秋·安徽六安·九年级统考阶段练习）已知，则锐角A的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．【详解】解：故选：C．【点睛】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．28．（2023•安徽模拟）比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解．【解答】解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin81°＜1＜tan47°，∴sin81°＜tan47°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了不等式的传递性．29．（2022秋•天长市月考）比较大小：tan40°tan50°（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】根据正切值随锐角的增减而变化的情况进行解答即可．【解答】解：由于一个锐角的正切值所这锐角的增大而增大，所以tan40°＜tan50°，故答案为：＜．【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大是正确解答的关键．题型7.利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状30．（2012秋•枞阳县月考）若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【分析】根据非负数的性质得到sinA＝，cosB＝，再根据特殊角的三角函数值得到锐角A＝60°，锐角B＝60°，然后根据等边三角形的判定方法进行判断．【解答】解：根据题意得sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴锐角A＝60°，锐角B＝60°，∴△ABC为等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；31．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形【答案】D【分析】．【详解】解：∵在中，都是锐角，，∴，∴，∴是锐角三角形，故选：D．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，三角形内角和定理，三角形的分类，熟知等特殊角的三角函数值是解题的关键．题型8.利用锐角三角函数解决几何问题32．（2023春·陕西铜川·九年级铜川市第一中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于点E．DF⊥AE于F．若E恰好为BC的中点.⑴∠BAE＝°；⑵DF平分AE吗？证明你的结论.【答案】⑴30°⑵DF平分AE，证明见解析【分析】（1）可先证，利用中点的性质易得∠BAE的正弦值，可知其度数；（2）连接DE，结合（1）中结论，可证是等边三角形，根据“三线合一”的性质可得结论.【详解】解：（1）是以点A为圆心、AD为半径画弧得到的四边形ABCD是矩形点E恰好为BC的中点（2）DF平分AE.如图，连接DE由（1）知，，是等边三角形所以DF平分AE.【点睛】本题主要考查了矩形与三角形的综合，还涉及了解直角三角形，灵活的利用矩形与等边三角形的性质是解题的关键.33．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．【答案】（1）平行四边形，证明见解析；（2）2【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，，可得BE=DG，FC=AH，由勾股定理可得EH=FG，EF=GH，故四边形EFGH为平行四边形．（2）设AE为x，由，可求得BF=DH=x+1，AH=x+2，由可求得AH=2x，则x=2，即AE=2.【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形∴AD=BC，AB=CD，∠HAB=∠EBC=∠FCD=∠ADG=90°，又∵，∴BE=DG，FC=AH∴，，，∴EH=FG，EF=GH∴四边形EFGH为平行四边形．（2）设AE=x则BE=DG=x+1在中，∴∵BF=DH=x+1∴AH=x+1+1=x+2又∵∴∴AH=2AE=2x∴2x=x+2解得x=2，∴AE=2【点睛】本题考查了平行四边形的判定和解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定从而证明出EH=FG，EF=GH是解题关键．34．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，矩形的对角线交于点O，点P在上，其中．(1)证明：．(2)若，求的值．(3)设，和的面积分别为，求证：．【答案】(1)见解析(2)；(3)见解析【分析】（1）利用矩形的性质证得，，即可证明；（2）利用勾股定理求得，，利用余弦函数的定义即可求解；（3）求得，推出和的相似比为，得到，由，据此即可证明结论．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴；∵，∴；（3）解：由（1）得，∴，∵，，∴，∴，∴和的相似比为，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，余弦函数的定义，解第3小题的关键是得到和的相似比为．35．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，相交于点G，与相交于点．(1)求证：；(2)若，求；(3)如图2，连接，请判定三者之间的数量关系并证明．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）证明，得出，证得，则结论得出；（2）证明，得出，解方程即可得出答案；（3）在线段上取点P，使得，证明，得出，证得为等腰直角三角形，可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点E在的延长线上，∴，又∵，∴，∴，∴，即，故；（2）解：∵四边形是矩形，∴，∴，∴，又∵，即，解得或（舍去）；∴；（3）证明：如图，在线段上取点，使得，在与中，，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，即．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求正切，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明出以及证明出．题型9.动点问题36．（2023秋·重庆巴南·九年级校考开学考试）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，的面积为．根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像；(2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质；(3)观察图像，直接写出当时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过）【答案】(1)，见解析(2)当时，y随x的增大而增大(3)或【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，计算，根据面积公式，分类计算即可．（2）根据图像的性质描述即可．（3）分类计算即可．【详解】（1）∵，，点D为中点，∴，∴，当时，；当时，过点P作于点E，则，∴，故，画图像如下：

．（2）根据图像，可得当时，y随x的增大而增大．（3）∵，∴或，∵保留1位小数，误差不超过，∴或，故或．故答案为：或．【点睛】本题考查了三线合一性质，勾股定理，三角函数，函数的图像，误差，熟练掌握三线合一性质，勾股定理，三角函数是解题的关键．37．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B，然后以同样速度沿运动到点C停止．设当点E的运动时间为x秒时，长为y．下面是小聪的探究过程，请补充完整．(1)根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长．(2)小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：x012345y54．824．845．065．466请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质．(3)结合图象探究发现时，x有四个不同的值．求y取何值时，x有且仅有两个不同的值．【答案】(1)；(2)补全图见解析，这个函数关于直线对称；这个函数的最大值为6；(3)当或时，x有且仅有两个不同的值．【分析】（1）根据菱形的性质求得，在中，利用正弦函数即可求解；（2）根据，知点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，据此可补全图象，根据图象可写出其性质；（3）观察图象知当或y取最小值时，x有且仅有两个不同的值，据此求解即可．【详解】（1）解：∵四边形菱形，∴，即，在中，，，∴，∴；（2）解：∵四边形菱形，∴，∴点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，在同一坐标系中补全图象如图，这个函数的两条性质：①这个函数关于直线对称；②这个函数的最大值为6；（3）解：观察图象，当时，x有且仅有两个不同的值；当y取最小值时，x也有且仅有两个不同的值，此时，或，在中，，，∴，∴；综上，当或时，x有且仅有两个不同的值【点睛】此题考查了菱形的性质、三角函数、动点函数的图象，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【方法三】仿真实战法考法1.锐角三角函数的定义1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．2．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系以及勾股定理，得出AB的长是解题关键．3．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考法2.特殊角的三角函数值4．（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．5．（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．6．（2022•广东）sin30°＝．【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．【解答】解：sin30°＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟练掌握特殊角三角函数值进行求解是解决本题的关键．7．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了立方根，特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．8．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确化简各数是解题关键．9．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．【分析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合并即可求解．【解答】解：原式＝+3﹣＝3．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点的运算【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）已知sin42°≈，则cos48°的值约为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据互余两角三角函数的关系得出答案．【详解】解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，故选：A．【点睛】本题主要考查互余两角三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义，得出互余两角三角函数关系是解题的关键．2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）当时下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】采用特值法，取当时，计算出各个三角函数值，即可求解．【详解】解：当时，，，，，符合这一结论的只有B．故选：B．【点睛】本题考查了特值法，特殊角的三角函数值，掌握特值法及特殊角的三角函数值是解题的关键．3．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）在中，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解．【详解】解：在中，，，故选：C．【点睛】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．4．（2020秋·安徽淮北·九年级统考期末）已知，则锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据锐角余弦函数值在0°到90°中，随角度的增大而减小进行对比即可；【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∵cos30°=，cos45°=，∴若锐角的余弦值为，且则30°＜α＜45°；故选B．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.5．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）在中，，，，那么的值是：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理求出，再根据即可解答．【详解】解：∵，，，∴根据勾股定理可得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了求正弦值，解题的关键是掌握正弦的定义，根据题意正确画出图形．6．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）在中，若，则是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形【答案】B【分析】根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得角度，进而判断三角形的性质即可．【详解】解：∵，∴，，，是等腰直角三角形．故选B【点睛】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．7．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解．【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度，铁球距地面的高度．故选：B．【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键．8．（2022秋·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，于点E，设，且，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角的余角相等，得；根据锐角三角函数定义和勾股定理可求的长．【详解】∵四边形是矩形，∴∴，，，，在中，，设，则，解得：，．故选：A．【点睛】此题综合运用了锐角三角函数的知识、矩形的性质．熟记各性质是解题的关键．9．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得到，所以，即两角互余，即可得到【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了两角互余时角的三角函数关系及相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数关系是解题的关键10．（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（）A．2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm2【答案】B【分析】作底边上的高运用等腰三角形的性质及三角函数定义分别求三角形的高和底边长，代入公式计算求解．【详解】解：如图，作底边上的高AD，∵∠B＝30°，AB＝6cm，AD为高，∴AD＝ABsinB＝ABsin30°＝3，BD＝ABcosB＝6×＝3，∴BC＝2BD＝6，∴S△ABC＝，故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的面积的求法和三角函数的应用，解题的关键是利用等腰三角形中底边上的高也是底边上的中线求解．二、填空题11．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知的三个顶点均在格点上，则．【答案】【分析】作的高．利用勾股定理求出，可得结论．【详解】解：如图，作的高，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．12．（2023春·安徽·九年级专题练习）比较大小：（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】根据即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了不等式的传递性．13．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）在中，，，，则．【答案】【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】解：在中，，，，故答案为：．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的运用．正切值等于对边比邻边，掌握定义是解题的关键．14．（2023·安徽合肥·统考三模）在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处．请完成下列问题：（1）；（2）当时，的长为．【答案】【分析】（1）在中，，，利用，即可求出的值，即可求出的长度；（2）交于，过点作交的延长线于，因为是边的中点，，利用勾股定理求出，将沿直线翻折得到，可得到，可得到，结合，求出的长，即可得到最后结果．【详解】解：（1）在中，，，设，，，解得：，；故答案为：10．（2）如图，交于，过点作交的延长线于，，，是边的中点，，，，，将沿直线翻折得到，，，，，，，，，，，，．故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，也考查了折叠的性质和解直角三角形，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线构造成比例线段是解答本题的关键．三、解答题15．（2023·安徽亳州·统考三模）计算：．【答案】【分析】先根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂化简各式，然后再进行加减计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．16．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）已知为锐角，，求的值．【答案】【分析】根据，，可得，，代入所求式子可得答案．【详解】解：为锐角，，得，．．【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用，是解题关键．17．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，，点E在边上，，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)已知点F为中点，过点F作交于点G，，，请直接写出的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）通过三角形全等证明相应角和相应边相等，再根据证明内错角相等，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；（2）先连接，再根据锐角三角函数的比值求出的长度，从而求出的长度，再求出的长度，从而求出的长度．【详解】（1）解：∵∴，∵∴∴∴∴∵，∴四边形为平行四边形∵∴四边形为菱形（2）解：连接交与点，如图所示∵四边形为菱形∴，∴∵∴∵，∴∴∵点F为中点∴∵∴∴∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数的运用，熟练掌握全等三角形的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数的运用是解答本题的关键．18．（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）如图，四边形中，对角线，．以为圆心，分别以为半径作弧，交于点，连接．(1)按照题意作图，保留作图痕迹；(2)求证：四边形是平行四边形；(3)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据作图得出，，根据等腰三角形的判定得出，，根据，得出，，根据平行线的判定得出，，即可证明四边形是平行四边形；（3）过点F作于点M，根据四边形内角和求出，得出，求出，根据直角三角形性质求出，根据三角形函数求出，根据平行四边形性质求出，即可求出．【详解】（1）解：如图所示：（2）证明：根据作图可知，，，∴，，∵，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形．（3）解：过点F作于点M，如图所示：则，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，根据解析（2）可知，，，∴，∴，∵，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，含直角三角形的性质，四边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行四边形的判定和性质．19．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形中，E为边上的一动点，作交分别于两点，连接．(1)若，求∠DEC的度数；(2)当E为的中点时．①求证：F为的中点；②若正方形的边长为，求的长．【答案】(1)(2)①见解析；②【分析】（1）由线段关系可求，由锐角三角函数可求解；（2）①由“”可证，可得，即可求解；②由锐角三角函数可求的长，可求的长，由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴；（2）①证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵E为的中点，∴，∵，∴，∴F为的中点；②如图，延长到点N，使得，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．20．（2021春·安徽合肥·九年级统考阶段练习）如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF．（1）求证：△CDE是等腰三角形；（2）求∠BFC的度数；（3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFC的度数为45°；（3）EF的长为4．【分析】（1）由题意可以得到CD=CE，从而得证；（2）设BF交AD于Q，则可以证得∠FDP+∠FQP=90°，从而得到∠QFD=90°，进一步可得∠BFC的度数；（3）连结BE，交CF于点H，交CD于N，可得△BCN≌△CPD，从而得到C