九年级数学竞赛专题讲座-二次函数的最值问题(含答案)

九年级数学竞赛专题讲座---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当时，（2）当时，若自变量的取值范围为，则取最值分和两种情况，由、与的大小关系确定。1．对于：（1）当，因为对称轴左侧随的增大而减小，所以的最大值为，最小值为。这里、分别是在与时的函数值。（2）当，因为对称轴右侧随的增大而增大，所以的最大值为，最小值为。（3）当，的最大值为、中较大者，的最小值为.2．对于（1）当，的最大值为，最小值为。（2）当，的最大值为，最小值为。（3）当，的最小值为、中较大者，的最大值为.综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：、、二、例题解析例1已知是方程的两个实数根，求的最大值和最小值。解：由于题给出的二次方程有实根，所以，解得∴＝＝＝∵函数在随着的增大而减小∴当时，；当时，例2（1）求函数在区间中的最大值和最小值。（2）已知：，且，求的最小值。解（1）若则∴若则∴由此在画出草图∴（），当时，；当时，对（），当时，；时，综上所述，时，；当时，.（2）由得，由得故∴为开口向上，对称轴为的抛物线，虽然有最小值，但不在的范围内，因此不是所求的最值。又时，；时，∴所求的最小值为3例3有两条抛物线，通过点且平行于轴的直线，分别交这两条抛物线于点A和B，当在0到3的范围内变化时，求线段AB的最大值。解：∵A和B的纵坐标分别为，∴∴当时，线段取得最大值例4已知二次函数有最大值－3，求实数的值。分析：本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数的对称轴是，而的取值范围是，所以要对是否在的取值范围内讨论求解。解：（1）若，即，抛物线开口向下，当时，∵二次函数最大值，即与矛盾，舍去。（2）若当时，随增大而减小，当时，，由又，∴（3）若当时，随增大而增大，当时，，由又，∴综上所述，或例5在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数的图像上找出满足的所有整点，并说明理由。解：∵，即∴①当时，①式即为，解得此时，满足条件的点有当时，，解得此时满足条件的点有例7综上所述，满足条件的整点，共有6个。例7例6求分式的最小值解：令，问题转化为考虑函数的最小值。∵∴当时，，例7已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。解：设矩形PNDM的边DN=,NP=，于是矩形PNDM的面积，易知CN＝,EM＝，且有,即所以，,所有根据二次函数的性质可得当时二次函数的最值问题训练题班级姓名学号1．填空（1）已知函数，当________时，取最大值是______；当________时，取最小值是______.（2）已知抛物线的开口向上，对称轴是直线，当，对应的值分别是、、，则、、的大小关系是_________.（3）函数的最大值与最小值分别是___________.（4）已知二次函数（）的最大值是3，那么的值为__________.2．设为正整数，则函数的最小值是多少？3．已知：，函数的最小值为，试求的最大值。4．对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围。5．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：（1）它的周长与腰长之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围。ABABODCx6．已知实数、满足等式，求：的最大值和最小值。7．已知：方程，两根为、，求的最大值与最小值，并求此时方程的根。8．根据某服装店统计，服装价格每提高3％，出售服装的件数就要降低2％，设某种服装提价x%，结果每天的经营收入（价格×出售价数）为原来的y倍，（1）写出y与x的函数关系；（2）要使经营收入不降低，x应控制在什么范围内？（3）当x是什么值时，能使经营收入最多？9．求函数的最值。参考答案1．(1)x=1,y=1,x=3,y=-1;(2);（3）最大值与最小值分别为：2，0；（4）a=0；2．1；3．a＝0时，m有最大值0；a＝1时，m有最大值0.25；a＝2时，m有最大值04．－4<k≤05.(1)0<x<;(2)x=1时，周长最大为56．当时，取得最小值；当时，取得最小值7．k=8时，最大值为98，方程为，两根为7；k＝2时，最小值为2，方程为，两根