数系的扩充和复数的概念 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1

数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，2.了解数集的扩充过程．3.理解复数的概念、表示法及相关概念．4.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．新课引入我们学过的数系自然数分数有理数无理数实数负数整数扩充扩充思考探究

我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当判别式△<0时没有实数根，因此，在研究代数方程的过程中，如果有限于实数集，有些问题就无法解决。如何解决负数开平方问题呢？概念形成1、

现在我们就引入这样一个新数

i

，并且规定：（3）我们把

i

叫做虚数单位。（1）i

2

1；即x=i是方程x2+1=0的解（2）实数可以与

i

进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。概念形成形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数。

全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。2、复数的概念实部3、复数的代数形式复数通常用字母

z表示，即虚部其中

称为虚数单位。（a、b

R）思考:根据上述几个例子，复数z=a+bi可以是实数吗？如果可以，需要满足什么条件？复数Z=a+bi4、复数的分类¹¹)00(ba，非纯虚数¹=)00(ba，纯虚数¹)0(b虚数(=)0b实数5、复数相等设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.6、思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？复数集虚数集实数集纯虚数集注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。例题巩固：1．复数i－2的虚部是()A．i B．－2C．1

D．2答案：C例题巩固：2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为()A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0

D．x＝0，y＝0答案：A例题巩固：3．在下列数中，属于虚数的是

，属于纯虚数的是．0,

1＋i

，πi

，

＋2i，

－

i，

答案：都是虚数，纯虚数只有πi

和

例题巩固（教材69页例题）：5、

实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。解:（1）当，即时，复数z是实数。（2）当，即时，复数z是虚数。（3）当，即时，复数z是纯虚数例题巩固6、给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是()A．1B．2C．3D．4例题巩固

解析：复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．答案：C例题巩固7、下列说法中正确的是()A．复数由实数、虚数、纯虚数构成B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i例题巩固解析：选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．答案：C例题巩固实数x分别取什么值时，复数z＝

＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解]

(1)当x满足x＋3≠0且x2－2x－15＝0时，

即x＝5时，z是实数．(2)当x满足x＋3≠0且x2－2x－15≠0时，

即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足x＋3≠0且x2－2x－15≠0时，

即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．课