函数的概念(2课时)课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1函数的概念（第1课时）

客观世界中有各种各样的运动变化现象。例如，天宫二号在发射过程种，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低......所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律.复习：

（1）学过哪几类函数？（2）初中学过的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.

（”变量说“）

问题1某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t.这里，t和S是两个变量是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数.思考有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗？问题1某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t.这里，t和S是两个变量是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数.思考有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗？t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}。对于A1中的任一时刻t，按照对应关系S=350t，在B1中都有唯一确定的路程S和它对应。问1：时间t的变化范围是什么？思考有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗？问2：如何描述才能准确反映问题情境？wt的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}。对于A1中的任一时刻t，按照对应关系S=350t，在B1中都有唯一确定的路程S和它对应。d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}，w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}。对于A2中的任一工作天数d，按照对应关系w=350d，在B2中都有唯一确定的工资w和它对应。问题2

某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？追问：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？问题3图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（简称AQI）变化图，如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数（AQI）的指数I？的你认为这里的I是t的函数吗？追问1：通过图形能确定唯一的I与之对应吗？怎么找？在横轴上，过t0作垂线交曲线于点（t0,I0),I0就是对应的值.你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？第二天8时的AQI呢？追问2：11月23日这一天的t的范围是什么？AQI值的变化范围是什么？追问3：这个函数有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？追问4：模仿问题1，你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗？t的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24}，I的变化范围是数集B3={I|0<I<150}。对于A3中的任一时刻t，按照曲线所给的对应关系，在B3中都有唯一确定的I和它对应。问题4

国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数

r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？问1：这个表格中，时间的变化范围是什么？恩格尔系数的变化范围是什么？问2：这个表格，恩格尔系数是不是年份的函数？你能说清楚是怎么对应的吗？问3：模仿前面的问题，你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗？问1：这个表格中，时间的变化范围是什么？恩格尔系数的变化范围是什么？问2：这个表格，恩格尔系数是不是年份的函数？你能说清楚是怎么对应的吗？问3：模仿前面的问题，你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗？y的取值范围是数集A4={2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021}，r的取值范围是数集B4={r|0<r≤1}。对于A4中的任一年份y，按照表格中的对应关系，在B4中都有唯一确定的r和它对应。归纳

上述问题1——问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？问题情境自变量的取值集合对应关系函数值所在的集合函数值的集合问题1问题2问题3

问题4

图3.1-1表3.1-1共同特征：（2）都有一个对应关系（解析式、图像、表格等）；（3）对于数集A中的任意一个数

x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数

y和它对应.事实上，除解析式、图像、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.（1）都包含两个非空数集,用A,B来表示；函数的概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称

为从集合A到集合B的一个函数，记作其中，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.①任意性、唯一性.②定义中A、B是非空的实数集，且方向是.③对

的理解：作为一个整体，它是一种记号（y是x的函数），它可以是解析式（如问题1、2），也可以是图象（如问题3），也可以是表格（如问题4）.注意：④函数概念的三要素：定义域、对应关系、值域.

定义域、值域均非空！常见的几种函数的定义域、对应关系和值域：定义域

值域对应关系一次函数

二次函数

反比例函数

1.(1)下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(

)同步训练P56

典例1(2)下列对应关系是集合P上的函数的是

(填序号).①P=Z,Q=N*,对应关系f:对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应;②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;③P={x|x是三角形},Q={x|x>0},对应关系f:对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.同步训练P56

典例11.已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作是从集合A到B的函数关系的是(

)同步训练P57

学以致用13.集合A，B与对应关系f如右图所示：

是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域，值域与对应关系各是什么？课本P64练习区间区间：连续数集的一种表示方式。定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半开半闭区间{x|a<x≤b}半开半闭区间[a，b](a，b)[a，b)(a，b]左端点小于右端点端点abababab并不是所有的数集都能用区间表示，比如{1,2,3}就不能用区间表示.无穷概念及无穷区间表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)

(-∞,a]

(-∞,a)“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。用-∞或+∞作为区间端点时，必须用小括号。区间定义域与值域常用区间表示.例1（课本P63）例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动过程中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系。试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用

来描述.把看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是

对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么其中，x的取值范围是y的取值范围是

对应关系f把每一个长方形的边长x对应到唯一确定的面积课本P63练习一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击落目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.思考：

与函数

是同一个函数吗？函数三要素对应关系f

定义域

值域函数的三要素包括：定义域、对应关系、值域同一函数定义：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。例3（课本P66）下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？总结：判断两个函数是否为同一函数，应注意三点：（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即定义域与值域都相同，也不一定是同一函数；（2）函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量与因变量是没有限制的；（3）在化简解析式时，必须是等价变形.课堂小结值域定义定义域函数的概念三要素对应法则同一函数区间3.1.1函数的概念（第2课时）例2（课本P65）已知（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）其中，f（x）表示x对应的函数值，而不是f乘x。2.求下列函数的定义域:同步训练P57

典例2归纳总结常见的函数定义域求法：1.若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；2.若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；3.若有x0，则x≠04.若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；5.若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义

追问1：观察上面的例子的结果，对于同一个对应关系f，它们括号内的式子范围有什么关系？？？追问2：若把函数的具体解析式去掉，则该如何求定义域？已知函数f(x)的定义域为[-4，4]，求：

（1）求函数f(2x)的定义域；

（2）求函数f(x+1)的定义域.抽象函数的定义域抽象函数：没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。

求抽象函数的定义域：①定义域指的是自变量x的范围；②同一道题中f(

)括号内整体的范围一致.练习1

若函数f(x)的定义域为[-1,4]，求函数f(2x+1)的定义域。练习2

若函数f(2x-1)的定义域为[-3,3]，求函数f(x)的定义域。练习1

若函数f(x)的定义域为[-1,4]，求函数f(2x+1)的定义域。练习2

若函数f(2x-1)的定义域为[-3,3]，求函数f(x)的定义域。解：因为f(2x-1)的定义域为[-3,3]，

所以-7≤2x-1≤5，

所以要使函数f(x)有意义，需满足-7≤x≤5，

所以函数f(x)的定义域为[-7,5].求抽象函数的定义域3.已知函数f(x-1)的定义域为{x|-2≤x≤3},则函数f(2x+1)的定义域为(

)A.{x|-1≤x≤9} B.{x|-3≤x≤7}C.{x|-2≤x≤1}同步训练P57

典例3解析:∵函数y=f(x-1)的定义域为{x|-2≤x≤3},∴-2≤x≤3,则-3≤x-1≤2,即函数f(x)的定义域为{x|-3≤x≤2}.∴对函数f(2x+1),有-3≤2x+1≤2,同步训练P58

学以致用2（2）规律总结求函数定义域要注意应用下列原则

(1)若f(x)是分式,则分母不为零.

(2