黑龙江省哈尔滨市第24中学2024届高二上数学期末经典试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第24中学2024届高二上数学期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知曲线，则“”是“C为双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．下列命题中正确的个数为（）①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；③为空间一组基底，若，则；④对于任意非零空间向量，，若，则A.1 B.2C.3 D.43．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（）A.1 B.C.1或 D.24．命题“”为真命题一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.5．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（）A.20 B.30C.40 D.506．已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）A. B.C. D.7．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°8．经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（）A. B.C. D.9．已知点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为（）A. B.C. D.10．已知全集，，（）A. B.C. D.11．若函数，满足且，则（）A.1 B.2C.3 D.412．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________14．半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为________.15．等比数列的各项均为正数，且，则__________.16．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.（1）求C的方程；（2）设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.18．（12分）为了符合国家制定的工业废气排放标准，某工厂在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，对其排放的废气中的二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该工厂每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为200元（1）该工厂每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该工厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则国家每月至少应补贴多少元才能使工厂不亏损？19．（12分）国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过元提高至不超过元，助学贷款偿还本金的宽限期从年延长到年.假如学生甲在本科期间共申请到元的助学贷款，并承诺在毕业后年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为元，第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，此后工资不再浮动.（1）学生甲参加工作后第几个月的月工资达到元；（2）如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，第个月偿还剩余的本金.则他第个月的工资是否足够偿还剩余的本金.（参考数据：；；）20．（12分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.21．（12分）如图四棱锥P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等边三角形.（1）设面PAB面PDC=l，证明:l//平面ABCD；（2）线段PC内是否存在一点E，使面ADE与面ABCD所成角的余弦值为，如果存在，求λ=的值，如果不存在，请说明理由.22．（10分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据充分必要条件的定义，以及双曲线的标准方程进行判断可得选项【详解】解：当时，表示双曲线，当表示双曲线时，则，所以“”是“C为双曲线”的充分不必要条件.故选A2、C【解析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④.【详解】①：向量与空间任意向量都不能构成一个基底，则与共线或与其中有一个为零向量，所以，故①正确；②：由向量是空间一组基底，则空间中任意一个向量，存在唯一的实数组使得，所以也是空间一组基底，故②正确；③：由为空间一组基底，若，则，所以，故③正确；④：对于任意非零空间向量，，若，则存在一个实数使得，有，又中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.故选：C3、A【解析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以椭圆焦点在轴上，依题意得解得.故选：A4、B【解析】求解命题为真命题的充要条件，再利用集合包含关系判断【详解】命题“”为真命题，则≤1,只有是的真子集,故选项B符合题意故选：B5、B【解析】由前项和公式直接作差可得.【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以.故选：B.6、D【解析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积.【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，，，在图②中作于，则.所以.故选：D.【点睛】本题考查直观图面积的计算，考查计算能力，属于基础题.7、D【解析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K为的四等分点，L为的中点，M为的四等分点，，取的中点N，易证，则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角，在中，，，故故选：D8、B【解析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.【详解】由得，即所求圆的圆心坐标为.由该圆过点，得其半径为1，故圆的方程为.故选：B.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.9、C【解析】先计算抛物线上的点P到圆心距离的最小值，再减去半径即可.【详解】设，由圆心，得，∴时，，∴故选：C.10、C【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.【详解】因，所以，则，又，所以，即.故选：C11、C【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C12、A【解析】利用空间向量加法法则直接求解【详解】连接BD，如图，则故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标准方程为故答案为：14、【解析】利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用辅助角公式得，最后利用函数的值域计算得结论.【详解】因为所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故.由正弦定理得：，，所以，所以当时，S最大，.若，则面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题.15、10【解析】由等比数列的性质可得，再利用对数的性质可得结果【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，所以，所以故答案为：1016、【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，在上恒成立，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程.（2）结合点差法求得直线的斜率，从而求得直线的方程.【小问1详解】因为C的离心率为2，所以，可得.将代入可得，由题设.解得，，，所以C的方程为.【小问2详解】设，，则，.因此，即.因为线段AB的中点为，所以，，从而，于是直线AB的方程是.18、（1）600吨（2）该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52500元才能使工厂不亏损【解析】（1）设该工厂每吨平均处理成本为z，，利用基本不等式求最值可得答案；（2）设该工厂每月的利润为，利用配方求最值可得答案.【小问1详解】设该工厂每吨平均处理成本为z，，∴，当且仅当，即时取等号，当时，每吨平均处理成本最低.【小问2详解】设该工厂每月的利润为，则，∴，当时，，所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52500元才能使工厂不亏损.19、（1）；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到元，根据已知条件可得出关于的不等式，结合参考数据可求得结果；（2）分析可知从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，计算出甲前个月偿还的本金，再由甲第个月的工资可得出结论.【小问1详解】解：设甲参加工作后第个月的月工资达到元，则，可得，，解得，所以，学生甲参加工作后第个月的月工资达到元.【小问2详解】解：因为甲前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，所以，从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，所以，前个月偿还的本金为，因为第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，所以，第个月的工资为元，因为，因此，甲第个月的工资不能足够偿还剩余的本金.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出直线的方程，然后联立直线、的方程，即可求得点的坐标；（2）设，可求得线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，可求得的值，可得出点的坐标，进而利用直线的斜率和点斜式可得出直线的方程.【小问1详解】解：，所以，而，则，所以直线的方程为，由，解得，所以顶点的坐标为.【小问2详解】解：因为在直线，所以可设，由为线段的中点，所以，将的坐标代入直线的方程，所以，解得，所以.故，故直线的方程为，即.21、（1）证明见解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由线面平行的判定可得∥平面，再由线面平行的性质可得∥，再由线面平行的判定可得结论，（2）由已知条件可证得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【小问1详解】证明：因为,所以，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为平面，且平面面，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，【小问2详解】设的中点为，因为△PDC是等边三角形，所以，因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面面，所以平面，因为平面，所以，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，假设存在这样的点，由已知得，则，所以，因为平面，所以平面的一个法向量