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文档简介
吉林省博文中学2024届高二上数学期末调研试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等比数列的首项为1,公比为2,则=()A. B.C. D.2.已知抛物线,则其焦点到准线的距离为()A. B.C.1 D.43.在中,角,,所对的边分别为,,,若,,,则A. B.2C.3 D.4.设数列的前项和为,当时,,,成等差数列,若,且,则的最大值为()A. B.C. D.5.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则冬至当日日影长为()A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺6.设集合,集合,当有且仅有一个元素时,则r的取值范围为()A.或 B.或C.或 D.或7.已知抛物线内一点,过点的直线交抛物线于,两点,且点为弦的中点,则直线的方程为()A. B.C D.8.过双曲线(,)的左焦点作圆:的两条切线,切点分别为,,双曲线的左顶点为,若,则双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.9.在等比数列中,,是方程的两个实根,则()A.-1 B.1C.-3 D.310.若某群体中的成员只用现金支付的概率为,既用现金支付也用非现金支付的概率为,则不用现金支付的概率为()A. B.C. D.11.将一枚骰子连续抛两次,得到正面朝上的点数分别为、,记事件A为“为偶数”,事件B为“”,则的值为()A. B.C. D.12.如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、,交其准线于点,若,且,则的值为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是______14.若直线与直线平行,且原点到直线的距离为,则直线的方程为____________.15.在棱长为1的正方体中,___________.16.已知数列满足(),设数列满足:,数列的前项和为,若()恒成立,则的取值范围是________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的首项,其前n项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,且,求n.18.(12分)设曲线在点(1,0)处的切线方程为.(1)求a,b的值;(2)求证:;(3)当,求a的取值范围.19.(12分)已知抛物线C:,经过的直线与抛物线C交于A,B两点(1)求的值(其中为坐标原点);(2)设F为抛物线C的焦点,直线为抛物线C的准线,直线是抛物线C的通径所在的直线,过C上一点P()()作直线与抛物线相切,若直线与直线相交于点M,与直线相交于点N,证明:点P在抛物线C上移动时,恒为定值,并求出此定值20.(12分)已知函数.(1)若在处取得极值,求在处的切线方程;(2)讨论的单调性;(3)若函数在上无零点,求实数的取值范围.21.(12分)已知抛物线上的点M(5,m)到焦点F的距离为6.(1)求抛物线C的方程;(2)过点作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段AB的中点,求直线l方程.22.(10分)已知首项为1的数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前n项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】数列是首项为1,公比为4的等比数列,然后可算出答案.【详解】因为等比数列的首项为1,公比为2,所以数列是首项为1,公比为4的等比数列所以故选:D2、B【解析】化简抛物线的方程为,求得,即为焦点到准线的距离.【详解】由题意,抛物线,即,解得,即焦点到准线的距离是故选:B3、A【解析】利用正弦定理,可直接求出的值.【详解】在中,由正弦定理得,所以,故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边,要记得正弦定理所适用的基本类型,考查计算能力,属于基础题4、A【解析】根据等差中项写出式子,由递推式及求和公式写出和,进而得出结果.【详解】解:由,,成等差数列,可得,则,,,可得数列中,每隔两项求和是首项为,公差为的等差数列.则,,则的最大值可能为.由,,可得.因为,,,即,所以,则,当且仅当时,,符合题意,故的最大值为.故选:A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用,考查分析问题能力,属于难题.5、B【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为,利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为,则立春当日日影长为,立夏当日日影长为,故所以冬至当日日影长为.故选:B6、B【解析】由已知得集合M表示以点圆心,以2半径左半圆,与y轴的交点为,集合N表示以点为圆心,以r为半径的圆,当圆C与圆O相外切于点P,有且仅有一个元素时,圆C过点M时,有且有两个元素,当圆C过点N,有且仅有一个元素,由此可求得r的取值范围.【详解】解:由得,所以集合M表示以点圆心,以2半径的左半圆,与y轴的交点为,集合表示以点为圆心,以r为半径的圆,如下图所示,当圆C与圆O相外切于点P时,有且仅有一个元素时,此时,当圆C过点M时,有两个元素,此时,所以,当圆C过点N时,有且仅有一个元素,此时,所以,所以当有且仅有一个元素时,则r的取值范围为或,故选:B.7、B【解析】利用点差法求出直线斜率,即可得出直线方程.【详解】设,则,两式相减得,即,则直线方程为,即.故选:B.8、C【解析】根据,,可以得到,从而得到与的关系式,再由,,的关系,进而可求双曲线的渐近线方程【详解】解:由,,则是圆的切线,,,,所以,因为双曲线的渐近线方程为,即为故选:C9、B【解析】由韦达定理可知,结合等比中项的性质可求出.【详解】解:在等比数列中,由题意知:,,所以,,所以且,即.故选:B.10、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知,该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选:A.11、B【解析】利用条件概率的公式求解即可.【详解】根据题意可知,若事件为“为偶数”发生,则、两个数均为奇数或均为偶数,其中基本事件数为,,,,,,,,,,,,,,,,,,一共个基本事件,∴,而A、同时发生,基本事件有当一共有9个基本事件,∴,则在事件A发生的情况下,发生的概率为,故选:12、B【解析】分别过点、作准线的垂线,垂足分别为点、,设,根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得,结合已知条件求得,分析出为的中点,进而可得出,即可得解.【详解】如图,分别过点、作准线的垂线,垂足分别为点、,设,则由己知得,由抛物线的定义得,故,在直角三角形中,,,因为,则,从而得,所以,,则为的中点,从而.故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】求得,利用椭圆的定义可得出的周长.【详解】在椭圆中,,由题意可知,的周长为.故答案为:.14、【解析】可设直线的方程为,利用点到直线的距离公式求得,即可得解.【详解】可设直线的方程为,即,则原点到直线的距离为,解得,所以直线的方程为.故答案为:.15、1【解析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解.【详解】如图,在正方体中,,故答案为:116、【解析】先由条件求出的通项公式,得到,由裂项相消法再求出,根据不等式恒成立求出参数的范围即可.【详解】当时,有当时,由①有②由①-②得:所以,当时也成立.所以,故则由,即,所以所以,由所以故答案为:【点睛】本题考查求数列的通项公式,考查裂项相消法求和以及数列不等式问题,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)由条件得,则利用等差数列的定义可得答案;(2)利用裂项求和求出,再根据可求出n.【小问1详解】由得,从而数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以;【小问2详解】由(1)得,由得又,所以.18、(1)(2)证明见解析(3)【解析】(1)求导,根据导数的几何意义,令x=1处的切线的斜率等1,结合,即可求得a和b的值;(2)利用(1)的结论,构造函数,求求导数,判断单调性,求出最小值即可证明;(3)根据条件构造函数,求出其导数,分类讨论导数的值的情况,根据单调性,判断函数的最小值情况,即可求得答案.【小问1详解】由题意知:,因为曲线在点(1,0)处的切线方程为,故,即;【小问2详解】证明:由(1)知:,令,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以当时,取得极小值,也即最小值,最小值为,故,即成立;【小问3详解】当,即,(),设,(),则,当时,由得,此时,此时在时单调递增,,适合题意;当时,,此时在时单调递增,,适合题意;当时,,此时,此时在时单调递增,,适合题意;当时,,此时在内,,在内,,故,显然时,,不满足当恒成立,综上述:.19、(1)(2)证明见解析,定值为【解析】(1)设出直线的方程并与抛物线方程联立,结合根与系数关系求得.(2)求得过点的抛物线的切线方程,由此求得两点的坐标,通过化简来证得为定值,并求得定值.【小问1详解】依题意可知直线的斜率不为零,设直线的方程为,设,,消去并化简得,所以,所以.小问2详解】抛物线方程为,焦点坐标为,准线,通径所在直线,在抛物线上,且,所以过点的抛物线的切线的斜率存在且不为零,设过点的切线方程为,由消去并化简得,,将代入上式并化简得,解得,所以切线方程为,令得,令得,,将代入上式并化简得,所以为定值,且定值为.20、(1);(2)见解析;(3).【解析】(1)根据在处取极值可得,可求得,验证可知满足题意;根据导数的几何意义求得切线斜率,利用点斜式可求得切线方程;(2)求导后,分别在和两种情况下讨论导函数的符号,从而得到的单调性;(3)根据在上无零点可知在上的最大值和最小值符号一致;分别在,两种情况下根据函数的单调性求解最大值和最小值,利用符号一致构造不等式求得结果.【详解】(1)由题意得:在处取极值,解得:则当时,,单调递减;当时,,单调递增为极小值点,满足题意函数当时,由得:在处的切线方程为:,即:(2)由题意知:函数的定义域为,①当时若,恒成立,恒成立在内单调递减②当时由,得:;由得:在内单调递减,在内单调递增综上所述:当时,在内单调递减;当时,在内单调递减,在内单调递增(3)①当时,在上单调递减在上无零点,且②当时(i)若,即,则在上单调递增由,知符合题意(ii)若,即,则在上单调递减在上无零点,且(iii)若,即,则在上单调递减,在上单调递增,,符合题意综上所述,实数的取值范围是【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题,涉及到导数几何意义、极值与导数的关系、讨论含参数函数的单调性、根据区间内零点个数求解参数范围问题.本题的关键是能够通过分类讨论的方式,确定导函数的符号,从而判断出函数的单调性以及最值.21、(1)(2)【解析】(1)由抛物线定义有求参数,即可写出抛物线方程.(2)由题意设,联立抛物线方程,结合韦达定理
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