吉林省博文中学2024届高二上数学期末调研试题含解析

吉林省博文中学2024届高二上数学期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列的首项为1，公比为2，则=（）A. B.C. D.2．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（）A. B.C.1 D.43．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则A. B.2C.3 D.4．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（）A. B.C. D.5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺6．设集合，集合，当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为（）A.或 B.或C.或 D.或7．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）A. B.C D.8．过双曲线（，）的左焦点作圆：的两条切线，切点分别为，，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.9．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）A.-1 B.1C.-3 D.310．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.11．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为、，记事件A为“为偶数”，事件B为“”，则的值为（）A. B.C. D.12．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是______14．若直线与直线平行，且原点到直线的距离为，则直线的方程为____________.15．在棱长为1的正方体中，___________.16．已知数列满足（），设数列满足：，数列的前项和为，若（）恒成立，则的取值范围是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的首项，其前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，且，求n.18．（12分）设曲线在点（1，0）处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）求证：；（3）当，求a的取值范围.19．（12分）已知抛物线C：，经过的直线与抛物线C交于A，B两点（1）求的值（其中为坐标原点）；（2）设F为抛物线C的焦点，直线为抛物线C的准线，直线是抛物线C的通径所在的直线，过C上一点P（）（）作直线与抛物线相切，若直线与直线相交于点M，与直线相交于点N，证明：点P在抛物线C上移动时，恒为定值，并求出此定值20．（12分）已知函数.（1）若在处取得极值，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若函数在上无零点，求实数的取值范围.21．（12分）已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.（1）求抛物线C的方程；（2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.22．（10分）已知首项为1的数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】数列是首项为1，公比为4的等比数列，然后可算出答案.【详解】因为等比数列的首项为1，公比为2，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列所以故选：D2、B【解析】化简抛物线的方程为，求得，即为焦点到准线的距离.【详解】由题意，抛物线，即，解得，即焦点到准线的距离是故选：B3、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】在中，由正弦定理得，所以，故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题4、A【解析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果.【详解】解：由，，成等差数列，可得，则，，，可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.则，，则的最大值可能为.由，，可得.因为，，，即，所以，则，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.5、B【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故所以冬至当日日影长为.故选：B6、B【解析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素时，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，如下图所示，当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时，当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，所以当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为或，故选：B.7、B【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】设，则，两式相减得，即，则直线方程为，即.故选：B.8、C【解析】根据，，可以得到，从而得到与的关系式，再由，，的关系，进而可求双曲线的渐近线方程【详解】解：由，，则是圆的切线，，，，所以，因为双曲线的渐近线方程为，即为故选：C9、B【解析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以且，即.故选：B.10、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.11、B【解析】利用条件概率的公式求解即可.【详解】根据题意可知，若事件为“为偶数”发生，则、两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共个基本事件，∴,而A、同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，∴，则在事件A发生的情况下，发生的概率为,故选:12、B【解析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出，即可得解.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，因为，则，从而得，所以，，则为的中点，从而.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求得，利用椭圆的定义可得出的周长.【详解】在椭圆中，，由题意可知，的周长为.故答案为：.14、【解析】可设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求得，即可得解.【详解】可设直线的方程为，即，则原点到直线的距离为，解得，所以直线的方程为.故答案为：.15、1【解析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，，故答案为：116、【解析】先由条件求出的通项公式，得到，由裂项相消法再求出，根据不等式恒成立求出参数的范围即可.【详解】当时，有当时，由①有②由①－②得：所以，当时也成立.所以,故则由，即，所以所以，由所以故答案为：【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及数列不等式问题，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由条件得，则利用等差数列的定义可得答案；（2）利用裂项求和求出，再根据可求出n.【小问1详解】由得，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；【小问2详解】由（1）得，由得又，所以.18、（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）求导，根据导数的几何意义，令x=1处的切线的斜率等1，结合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的结论，构造函数，求求导数，判断单调性，求出最小值即可证明；（3）根据条件构造函数，求出其导数，分类讨论导数的值的情况，根据单调性，判断函数的最小值情况，即可求得答案.【小问1详解】由题意知：，因为曲线在点（1，0）处的切线方程为，故，即；【小问2详解】证明：由（1）知：，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，也即最小值，最小值为，故，即成立；【小问3详解】当，即，（），设，（），则，当时，由得，此时，此时在时单调递增，，适合题意；当时，，此时在时单调递增，，适合题意；当时，，此时，此时在时单调递增，，适合题意；当时，，此时在内，，在内，，故，显然时，，不满足当恒成立，综上述：.19、（1）（2）证明见解析，定值为【解析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合根与系数关系求得.（2）求得过点的抛物线的切线方程，由此求得两点的坐标，通过化简来证得为定值，并求得定值.【小问1详解】依题意可知直线的斜率不为零，设直线的方程为，设，，消去并化简得，所以，所以.小问2详解】抛物线方程为，焦点坐标为，准线，通径所在直线，在抛物线上，且，所以过点的抛物线的切线的斜率存在且不为零，设过点的切线方程为，由消去并化简得，，将代入上式并化简得，解得，所以切线方程为，令得，令得，，将代入上式并化简得，所以为定值，且定值为.20、（1）；（2）见解析；（3）.【解析】（1）根据在处取极值可得，可求得，验证可知满足题意；根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式可求得切线方程；（2）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到的单调性；（3）根据在上无零点可知在上的最大值和最小值符号一致；分别在，两种情况下根据函数的单调性求解最大值和最小值，利用符号一致构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：在处取极值，解得：则当时，，单调递减；当时，，单调递增为极小值点，满足题意函数当时，由得：在处的切线方程为：，即：（2）由题意知：函数的定义域为，①当时若，恒成立，恒成立在内单调递减②当时由，得：；由得：在内单调递减，在内单调递增综上所述：当时，在内单调递减；当时，在内单调递减，在内单调递增（3）①当时，在上单调递减在上无零点，且②当时（i）若，即，则在上单调递增由，知符合题意（ii）若，即，则在上单调递减在上无零点，且（iii）若，即，则在上单调递减，在上单调递增，，符合题意综上所述，实数的取值范围是【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到导数几何意义、极值与导数的关系、讨论含参数函数的单调性、根据区间内零点个数求解参数范围问题.本题的关键是能够通过分类讨论的方式，确定导函数的符号，从而判断出函数的单调性以及最值.21、（1）（2）【解析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理