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文档简介
湖南省邵阳市邵东县第三中学2023-2024学年数学高二上期末统考模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设为椭圆上一点,,为左、右焦点,且,则()A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.,,三点构不成三角形2.已知抛物线内一点,过点的直线交抛物线于,两点,且点为弦的中点,则直线的方程为()A. B.C D.3.双曲线的左、右焦点分别为、,过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点,若,则双曲线C的离心率为()A. B.C. D.4.设,若直线与直线平行,则的值为()A. B.C.或 D.5.过点A(3,3)且垂直于直线的直线方程为A. B.C. D.6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是A.3 B.4C.5 D.67.若数列为等比数列,且,,则()A.8 B.16C.32 D.648.已知椭圆C:的左,右焦点,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点.其中M在第一象限.,则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B.C. D.9.已知直线为抛物线的准线,直线经过抛物线的焦点,与抛物线交于点,则的最小值为()A. B.C.4 D.810.命题,,则是()A., B.,C., D.,11.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则下列判断正确的是()A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件12.焦点坐标为,(0,4),且长半轴的椭圆方程为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.双曲线的实轴长为______.14.数列满足前项和,则数列的通项公式为_____________15.设函数为奇函数,当时,,则_______16.已知O为坐标原点,,是抛物线上的两点,且满足,则______;若OM垂直AB于点M,且为定值,则点Q的坐标为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知,S2=-3.(1)求{an}的通项公式;(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn.18.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求;(2)若,的面积为,求.19.(12分)已知函数(m≥0).(1)当m=0时,求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数的最小值为,求实数m的值.20.(12分)已知O为坐标原点,、为椭圆C的左、右焦点,,P为椭圆C的上顶点,以P为圆心且过、的圆与直线相切(1)求椭圆C的标准方程;(2)若过点作直线l,交椭圆C于M,N两点(l与x轴不重合),在x轴上是否存在一点T,使得直线TM与TN的斜率之积为定值?若存在,请求出所有满足条件的点T的坐标;若不存在,请说明理由21.(12分)已知数列{an}的首项a1=1,且an+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等比数列;(2)设bn=-,求数列{bn}的前n项和Sn.22.(10分)已知动圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为(1)求动点的轨迹方程;(2)已知直线交轨迹于两点,,且中点的纵坐标为,则的最大值为多少?
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据椭圆方程求出,然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出,进而判断答案.【详解】由题意可知,,由椭圆的定义可知,而,联立方程解得,且,则6+2=8,即不构成三角形.故选:D.2、B【解析】利用点差法求出直线斜率,即可得出直线方程.【详解】设,则,两式相减得,即,则直线方程为,即.故选:B.3、C【解析】由,且,可得,再结合,可得,进而在△中,由余弦定理可得到齐次方程,求出即可.【详解】由题意,可得,因为,所以,又,所以,在△中,,即,由余弦定理,可得,整理得,则,即,解得,因为,所以.故选:C.【点睛】方法点睛:本题考查求双曲线的离心率,属于中档题.双曲线离心率的求法:(1)由条件直接求出(或或),或者寻找(或或)所满足的关系,利用求解;(2)根据条件列出的齐次方程,利用转化为关于的方程,解方程即可,注意根据对所得解进行取舍.4、C【解析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】时,容易验证两直线不平行,当时,根据两直线平行的条件可知:,解得或.故选:C.5、D【解析】过点A(3,3)且垂直于直线的直线斜率为,代入过的点得到.故答案为D.6、B【解析】循环体第一次运行后;第二次运行后;第三次运行后,第四次运行后;循环结束,输出值为4,答案选B考点:程序框图的功能7、B【解析】设等比数列的公比为,根据等比数列的通项公式得到,即可求出,再根据计算可得;【详解】解:设等比数列公比为,因为、,所以,所以;故选:B8、D【解析】由题设易知四边形为矩形,可得,结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.【详解】由椭圆的对称性知:,而,又,即四边形为矩形,所以,则且M在第一象限,整理得,所以,又即,综上,,整理得,所以.故选:D.【点睛】关键点点睛:由椭圆的对称性及矩形性质可得,由已知条件得到,进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.9、D【解析】先求抛物线的方程,再联立直线方程和抛物线方程,由弦长公式可求的最小值.【详解】因为直线为抛物线的准线,故即,故抛物线方程为:.设直线,则,,而,当且仅当等号成立,故的最小值为8,故选:D.10、D【解析】根据特称命题的否定为全称命题,即可得到答案.【详解】因为命题,,所以,.故选:D11、D【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断【详解】当第一次取出1,第二次取出4时,甲丙同时发生,不互斥不对立;第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生,但可以同时不发生,不对立,当第一次取出1,第二次取出3时,甲与丁同时发生,不互斥不对立,两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生,但可以同时不发生,因此是互斥不对立故选:D12、B【解析】根据题意可知,即可由求出,再根据焦点位置得出椭圆方程【详解】因为,所以,而焦点在轴上,所以椭圆方程为故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】根据双曲线标准方程的特征即可求解.【详解】由题可知.故答案为:4.14、【解析】由已知中前项和,结合,分别讨论时与时的通项公式,并由时,的值不满足时的通项公式,故要将数列的通项公式写成分段函数的形式【详解】∵数列前项和,∴当时,,又∵当时,,故,故答案为.【点睛】本题考查的知识点是等差数列的通项公式,其中正确理解由数列的前n项和Sn,求通项公式的方法和步骤是解答本题的关键15、【解析】由奇函数的定义可得,代入解析式即可得解.【详解】函数为奇函数,当时,,所以.故答案为-1.【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题,属于基础题.16、①.-24②.【解析】由抛物线的方程及数量积的运算可求出,设直线AB的方程为,联立抛物线方程,由根与系数的关系可求出,由圆的定义求出圆心即可.【详解】由,即解得或(舍去).设直线AB的方程为.由,消去x并整理得,.又,,直线AB恒过定点N(6,0),OM垂直AB于点M,点M在以ON为直径圆上.|MQ|为定值,点Q为该圆的圆心,又即Q(3,0).故答案为:;三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】(1)根据所给条件列出方程组,求得,即可求得答案;(2)根据(1)的结果,写出,利用等比数列的前n项和公式求得答案.【小问1详解】设等差数列{an}公差为d,由,得解得所以(n∈N*);【小问2详解】由(1)可知,故,所以18、(1);(2).【解析】(1)由正弦定理得到,两边消去公因式得到,化一即可求得角A;(2)因为,所以,再结合余弦定理得到结果.【详解】(1)由,得,因为,所以,整理得:,因,所以.(2)因为,所以,因为及,所以,即.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19、(1)(2)【解析】(1)求导,利用导函数的几何意义求解切线方程的斜率,进而求出切线方程;(2)对导函数再次求导,判断其单调性,结合隐零点求出其最小值,列出方程,求出实数m的值.【小问1详解】当时,因为,所以切线的斜率为,所以切线方程为,即.【小问2详解】因为,令,因为,所以在上单调递增,当实数时,,;当实数时,,;当实数时,,所以总存在一个,使得,且当时,;当时,,所以,令,因为,所以单调递减,又,所以时,所以,即.20、(1);(2)存在;.【解析】(1)根据给定条件求出a,c,b即可作答.(2)联立直线l与椭圆C的方程,利用斜率坐标公式并结合韦达定理计算即可推理作答.【小问1详解】依题意,,,,由椭圆定义知:椭圆长轴长,即,而半焦距,即有短半轴长,所以椭圆C的标准方程为:【小问2详解】依题意,设直线l方程为,由消去x并整理得,设,,则,,假定存在点,直线TM与TN的斜率分别为,,,要使为定值,必有,即,当时,,,当时,,,所以存在点,使得直线TM与TN的斜率之积为定值【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值21、(1)证明见解析.(2)2-.【解析】(1)根据递推公式,得到,推出,即可证明数列是等比数列;(2)先由(1)求出,即bn=,再错位相减法,即可求出数列的和.【小问1详解】(1)证明:因为an+1=,所以==+,所以-=-=,又a1-≠0,所以数列为以-=为首项,为公比的等比数列.【小问2详解】解:由(1)可得=+,所以bn=,所以Sn=+++…+,①所以Sn=++…++,②①-②得,Sn=++…+-=-,解得Sn=2-.22、(1)(2)【解析】(1)利用抛物线的定义直接可得轨迹方程;(2)设直线方程,联立方程组,结合根与系数关系可得,再根据二次函数的性质可得最值.【小问1详解
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