吉林大学附属中学2024届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

吉林大学附属中学2024届高二上数学期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）A. B.C. D.2．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③3．若圆与直线相切，则（）A.3 B.或3C. D.或4．曲线与曲线的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等5．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（）A. B.C.或 D.6．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（）A. B.C. D.7．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为A.3 B.2C.4 D.8．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（）A.2 B.1C. D.9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里10．定义域为的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为A. B.C. D.11．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D12．函数，的最小值为（）A.2 B.3C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，正方体中，点E，F，G分别是，AB，的中点，则直线与GF所成角的大小是______（用反三角函数表示）14．已知曲线在点处的切线的斜率为，则______15．若“”是“”必要不充分条件，则实数的最大值为_______16．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若数列{an}满足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，则＋B－C的最小值为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列中，，___________，其中.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等比数列；（3）求数列的前n项和.从①前n项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.18．（12分）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，（1）求动点Q的轨迹的方程E；（2）过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标19．（12分）如图，四棱锥中，，.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于？20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求点B到平面PCD的距离；（2）求二面角的平面角的余弦值.21．（12分）已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.22．（10分）已知在长方形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求证：在四棱锥A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在线段AC上是否存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积.【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，，，在图②中作于，则.所以.故选：D.【点睛】本题考查直观图面积的计算，考查计算能力，属于基础题.2、B【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】，故①正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.故选：B.3、B【解析】根据圆与与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】圆的标准方程为：，则圆心为，半径为，因为圆与与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得或，故选：B4、D【解析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，离心率为,焦距为8,曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，短轴长为，离心率为,焦距为,故选：D5、C【解析】分或（）两种情况讨论，由面积列方程即可求解【详解】由题意得，当时，，解得；当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.故选：C.6、C【解析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，设点、、，联立可得，，，所以，，，，直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，，因为，则，因为，解得，因此，直线的斜率为.故选：C.7、A【解析】作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，显然，当三点共线时，的值最小；因为，，准线，所以当三点共线时，，所以.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.8、C【解析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.【详解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为因为切线过点P(2，2)，所以因为与圆相切，所以故选：C9、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B10、B【解析】利用2f(x)<x＋1构造函数g(x)＝2f(x)－x－1，进而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的单调性结合g(1)＝0即可解出【详解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因为f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)单调增函数因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故选B.【点睛】本题主要考察导数的运算以及构造函数利用其单调性解不等式．属于中档题11、A【解析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.12、B【解析】求导函数，分析单调性即可求解最小值【详解】由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增∴当时，取得最小值，且最小值为故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】连接，由得出直线与GF所成角，再由余弦定理得出直线与GF所成角的大小.【详解】连接，因为，所以直线与GF所成角为.设，则，，，又异面直线的夹角范围为，所以直线与GF所成角的大小是.故答案为：14、【解析】对求导，根据题设有且，即可得目标式的值.【详解】由题设，且定义域为，则，所以，整理得，又，所以，两边取对数有，得：，即.故答案为：.15、【解析】设的解集为集合，由题意可得是的真子集，即可求解.【详解】由得或，因为“”是“”的必要不充分条件，设或，，因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含16、2【解析】因为{an}为等差数列，设公差为d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0对任意正整数n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析（3）【解析】（1）选①，根据与的关系即可得出答案；选②，根据与的关系结合等差数列的定义即可得出答案；选③，利用等差中项法可得数列是等差数列，再求出公差，即可得解；（2）求出数列的通项公式，再根据等比数列的定义即可得证；（3）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.【小问1详解】解：选①，当时，，当时，也成立，所以；选②，因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，所以；选③且，因为，所以数列是等差数列，公差，所以；【小问2详解】解：由（1）得，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；【小问3详解】解：，，①，②由①②得，所以.18、（1）（2）【解析】（1）由图中的几何关系可知,故可知动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；（2）设出直线AB的方程，把点、的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，同理求出点的坐标，即可求出直线MN的方程，最后可求出直线MN过哪一定点.【小问1详解】∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，∴RQ是线段FP的垂直平分线,∵,∴是点Q到直线l的距离,∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即动点Q轨迹的方程为.【小问2详解】设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点M的坐标为，同理设，，直线的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点的坐标为，则直线MN的斜率为，即方程为，整理得，故直线MN恒过定点.19、（1）详解解析；（2）存在.【解析】（1）利用勾股定理证得，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设点，，求得平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，进而得解.【小问1详解】取中点为，连接，在中，，，，又，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面.【小问2详解】以A为坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设点，因为点F在线段上，设，，，设平面的法向量为，，，则，令，则，设直线CF与平面所成角为，，解得或（舍去），，此时点F是的三等分点，所以在线段上是存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于.20、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.【小问1详解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又两两互相垂直,所以，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，D(3,6,0),A(0,6,0)设平面的一个法向量所以n⋅PD令，可得记点到平面的距离为，则d=【小问2详解】由(1)可知平面的一个法向量为平面的一个法向量为设二面角的平面角为由图可知，21、（1）；（2）﹒【解析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；(2)分为l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒【小问1详解】以OA中点G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：∴可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为；【小问2详解】设，，则的周长为当轴时，l的方程为，，，当l与x轴不