湖南省邵东县两市镇第二中学2024届数学高二上期末达标检测试题含解析

湖南省邵东县两市镇第二中学2024届数学高二上期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定2．若不等式组表示的区域为，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中的芝麻数约为（）A. B.C. D.3．已知等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．在等比数列中，，且，则t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.25．方程化简的结果是（）A. B.C. D.6．函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.7．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）A. B.C. D.8．若命题“或”与命题“非”都是真命题，则A.命题与命题都是真命题B.命题与命题都是假命题C.命题是真命题，命题是假命题D.命题是假命题，命题是真命题9．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（）A.2192 B.C. D.10．积分（）A. B.C. D.11．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（）A. B.C. D.12．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（）A. B.C.5 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从正方体的8个顶点中选取4个作为项点，可得到四面体的概率为________14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x=_____________，y=_____________15．已知圆，直线与圆C交于A，B两点，且，则______16．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左右焦点，也是C2的左右焦点，并且六边形是正六边形.若椭圆C1的方程为，则双曲线方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知各项均为正数的等差数列满足，且，，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）已知直线，，分别求实数的值，使得：（1）；（2）；（3）与相交.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点.点M满足.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）直线l经过点，与轨迹C分别交于点M、N，与直线交于点Q，求证：.20．（12分）篮天技校为了了解车床班学生的操作能力，设计了一个考查方案；每个考生从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成零件加工，规定：至少正确加工完成其中个零件方可通过．道备选题中，考生甲有个零件能正确加工完成，个零件不能完成；考生乙每个零件正确完成的概率都是，且每个零件正确加工完成与否互不影响（1）分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列（列出分布列表）；（2）试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力21．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程22．（10分）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）估计这组数据的平均数；（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由正弦定理得出，再由余弦定理得出，从而判断为钝角得出的形状.【详解】因为，所以，所以，所以的形状为钝角三角形.故选：C2、A【解析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，利用几何概型得出芝麻落在区域Γ内的概率，进而可得答案.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中三角形ABC及其内部，不等式表示的区域如下图中的圆及其内部：由图可得，A点坐标为点坐标为坐标为点坐标为.区域即的面积为，区域的面积为圆的面积，即，其中区域和区域不相交的部分面积即空白面积，所以区域和区域相交的部分面积，所以落入区域的概率为.所以均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为.故选:A.3、B【解析】先分析充分性：假设特殊等比数列即可判断；再分析充分性，由条件得恒成立，再对和进行分类讨论即可判断.【详解】先分析充分性：在等比数列中，，所以假设，，所以，等比数列为递减数列，故充分性不成立；分析必要性：若等比数列的公比为，且是递增数列，所以恒成立，即恒成立，当，时，成立，当，时，不成立，当，时，不成立，当，时，不成立，当，时，成立，当，时，不成立，当，时，不恒成立，当，时，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此时成立，所以必要性成立.故选：B.4、A【解析】先求出，利用等比中项求出t.【详解】在等比数列中，，且，所以所以，即，解得：.当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.故选：A.5、D【解析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.【详解】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；∴；∴椭圆的方程是，即为化简的结果故选：D6、B【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，当时，，故A错误；对B，的定义域为，且，故为奇函数；，当时，当时，，即，又，，故存在，故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；对C，为奇函数，故C错误；对D，函数在上不单调，故D错误.故选：B.7、C【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，分别于联立，解得：，，所以中点坐标为，因为点满足，所以，所以，即，所以.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.8、D【解析】因为非p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题，选D.9、D【解析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第个月的还款金额为元，则，故选：D10、B【解析】根据定积分的几何意义求值即可.【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，所以.故选：B11、B【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为点在椭圆的外部，所以，即，解得或.故选：B.12、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），则||＝＝5故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】计算出正方体的8个顶点中选取4个作为项点的取法和分从上底面取一个点下底面取三个点、从上底面取二个点下底面取二个点、从上底面取三个点下底面取一个点可得到四面体的取法，由古典概型概率计算公式可得答案.【详解】正方体的8个顶点中选取4个作为项点，共有取法，可得到四面体的情况有从上底面取一个点下底面取三个点有种；从上底面取二个点下底面取二个点有种，其中当上底面和下底面取的四个点在同一平面时共有10种情况不符合，此种情况共有种；从上底面取三个点下底面取一个点有种；一个有种，所以可得到四面体的概率为.故答案为：.14、①.3②.5【解析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y.【详解】由题意，甲组数据为56，62，65，70+x，74；乙组数据为59，61，67，60+y，78.要使两组数据中位数相等，有65=60+y，所以y=5.又平均数相同，则，解得x=3.故答案为：3；5.15、-2【解析】将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦的距离，再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦的距离，解方程即可求得的值.【详解】解：将圆的方程化为标准方程可得，圆心为，半径圆C与直线相交于、两点,且，由垂径定理和勾股定理得圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得，所以，解得，故答案为：.16、【解析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，然后根据为正六边形求得点的坐标，即点在双曲线上，然后解出方程即可【详解】设双曲线的方程为：根据椭圆的方程可得：又为正六边形，则点的坐标为：则点在双曲线上，可得：又解得：故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，；（2）.【解析】（1）由等差中项的性质可求出，又，，构成等比数列，设出公差，代入可求出，从而求出数列的通项公式，代入可求出，的值，从而求出数列的通项公式；（2）将通项公式代入，运用裂项相消的方法可求出前项和.【详解】解析：（1）因为等差数列中，，所以，设数列公差为，因为，，构成等比数列，则，即，解得或(舍)即，又等比数列中，，所以，；（2）∵，∴，∴【点睛】易错点睛：（1）裂项相消时一定要注意分母的差，一般情况下分母的差是几，则要在裂项前面乘以几分之一；（2）裂项相消时要注意保留的项数.18、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根据直线一般式平行的条件列式计算；（2）根据直线一般式垂直的条件列式计算；（3）根据相交和平行的关系可得答案.【小问1详解】，，解得或又时，直线，，两直线不重合；时，直线，，两直线不重合；故或；【小问2详解】，，解得或；【小问3详解】与相交故由（1）得且.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据已知得点M的轨迹C为椭圆，根据椭圆定义可得方程；（2）直线的方程设为，与椭圆方程联立，利用韦达定理及线段长公式进行计算即可.【小问1详解】由椭圆定义得，点M的轨迹C为以点为焦点，长轴长为4的椭圆，设此椭圆的标准方程为，则由题意得，所以C方程为；【小问2详解】设点的坐标分别为，由题意知直线的斜率一定存在，设为，则直线的方程可设为，与椭圆方程联立可得，由韦达定理知，所以，，又因为，所以又由题知，所以，所以，所以，得证.20、（1）分布列见解析（2）甲的试验操作能力较强，理由见解析【解析】（1）设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、，则的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，计算出两个随机变量在不同取值下的概率，可得出这两个随机变量的概率分布列；（2）计算出、、、的值，比较、的大小，以及、的大小，由此可得出结论.【小问1详解】解：设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、，则的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，，，，所以，考生甲正确加工完成零件数的概率分布列如下表所示：，，，，所以，考生乙正确加工完成零件数的概率分布列如下表所示：【小问2详解】解：，，，，所以，，从做对题的数学期望分析，两人水平相当；从通过考查的概率分析，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的试验操作能力较强.21、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圆心坐标是C(3，2)又r＝|AC|＝＝2.所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.22、（1）（2）77（3）【解析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩