湖北省黄冈、华师大附中等八校2024届高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析

湖北省黄冈、华师大附中等八校2024届高二数学第一学期期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面，的法向量分别为，，且，则（）A. B.C. D.2．已知命题p：∀x＞2，x2＞2x，命题q：∃x0∈R，ln（x02+1）＜0，则下列命题是真命题的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q3．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C.对任意， D.对任意，4．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）A. B.C. D.5．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.6．以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位③线性回归方程必过④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。其中错误的个数是（）A.0 B.1C.2 D.37．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)8．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（）A. B.C. D.9．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A. B.C. D.10．设是等比数列，且，，则（）A.12 B.24C.30 D.3211．【山东省潍坊市二模】已知双曲线的离心率为，其左焦点为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.12．已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，且，则的最小值是____________.14．已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.15．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：，，）16．已知函数，则函数在上的最大值为_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1，在四边形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BF折起至的位置，使得二面角的大小为120°（如图2），M，N分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，，且，求a.19．（12分）已知函数的图像在（为自然对数的底数）处取得极值.（1）求实数的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.（1）求C方程；（2）若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4），直线l：，设圆C的半径为1，圆心在直线l上，圆心也在直线上.（1）求圆C的方程；（2）过点A作圆C的切线，求切线的方程.22．（10分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成列联表.低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率：（3）根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题得，解方程即得解.【详解】解：因为，所以所以，所以，所以.故选：D2、B【解析】取x＝4，得出命题p是假命题，由对数的运算得出命题q是假命题，再判断选项.【详解】命题p：∀x＞2，x2＞2x，是假命题，例如取x＝4，则42＝24；命题q：∃x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命题，∵∀x∈R，ln（x2+1）≥0.则下列命题是真命题的是.故选：B.3、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.4、B【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.故选：B.5、C【解析】按照充分不必要条件依次判断4个选项即可.【详解】A选项：，错误；B选项：，错误；C选项：，，正确；D选项：，错误.故选：C.6、C【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.故选：C【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.7、C【解析】求导得，再解不等式即得解.【详解】由得，根据题意得，解得故选：C8、C【解析】对方程进行化简可得双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，进而可得结果.【详解】已知方程可以变形为，即，∴其表示双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，又由，可得，故选：C.9、C【解析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可【详解】解：由题意可知：和时，，函数是增函数，时，，函数是减函数；是函数的极大值点，是函数的极小值点；所以函数的图象只能是故选：C10、D【解析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题11、D【解析】分析：根据题设条件，列出方程，求出，，的值，即可求得双曲线得标准方程详解：∵双曲线的离心率为，其左焦点为∴，∴∵∴∴双曲线的标准方程为故选D.点睛：本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，根据题设条件求出，，的值是解决本题的关键.12、D【解析】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数即为圆与圆的公切线条数，因为，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.故选：D【点睛】解答本题的关键是将满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数转化为圆与圆的公切线条数，从而根据圆与圆的位置关系判断出公切线条数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】应用基本不等式“1”的代换求a+4b的最小值即可.【详解】由，有，则，当且仅当，且，即时等号成立，∴最小值为.故答案为：14、【解析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.【详解】设等差数列的公差为由题可知即因为，所以解得：所以.故答案为：15、24【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为，2022年的投入在结算时的收入为，，2030年的投入在结算时的收入为，则结算时的总投资及收益为：①，则②，由①-②得，，则，故答案为：2416、【解析】利用导数单调性求出的单调性，比较极小值与两端点，的大小求出在上的最大值.【详解】因为，则，令，即时，函数单调递增.令，即时，函数单调递减.所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值也是函数的最小值.，两端点为，，即最大值为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）构造中位线，利用面面平行，可以证明;（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法即可.【小问1详解】证明：如图，取ED的中点P，连接MP，NP.在平行四边形ABCD中，因为E是AD的中点，，所以，又，所以四边形BCDE是平行四边形；因为M，N分别是，BC的中点，所以，.又平面，平面，所以平面，平面.因为，所以平面平面.又平面，所以平面【小问2详解】取BE的中点O，连接，CO，CE.在图1中，因为，所以是等边三角形，，又四边形ABCD等腰梯形，所以，即是等边三角形；所以如图，，，所以.以为原点，射线OB为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为，则，，，，则，设平面的法向量为，，得令，则，，即，由题可知，平面BCD的一个法向量为，.由图可知，平面与平面BDC夹角余弦值为；18、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件，运用余弦定理化简可求出；（2）由可求出，利用诱导公式和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.【小问1详解】）∵且，∴，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，，∴.19、（1）（2）【解析】（1）由求得的值.（2）由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围.【小问1详解】因为，所以，因为函数的图像在点处取得极值，所以，，经检验，符合题意，所以；【小问2详解】由（1）知，，所以在恒成立，即对任意恒成立.令，则.设，易得是增函数，所以，所以，所以函数在上为增函数，则，所以.20、（1）（2）1【解析】（1）由题意得，化简可得答案，（2）求出渐近线方程，设点，，，，，由可得，代入双曲线方程化简可得，然后表示的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案【小问1详解】由题意得，即，整理得，因为双曲线的顶点坐标满足上式，所以C的方程为.【小问2详解】由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，设点，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因为，，所以.由，得，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.21、（1）（2）或【解析】（1）直接求出圆心的坐标，写出圆的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在进行分类讨论，利用几何法列方程，即可求解.【小问1详解】由圆心C在直线l：上可设：点，又C也在直线上，∴，∴又圆C的半径为1，∴圆C的方程为.【小问2详解】当直线垂直于x轴时，与圆C相切，此时直线方程为.当直线与x轴不垂直时，设过A点的切线方程为，即，则，解得.此时切线方程，.综上所述，所求切线为或22、（1）列联表答案见解析；（2）；（3）没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.【解析】(1)根据给定表中数据列出列联表作答.(2)利