人教版高中数学必修2第三章《直线的方程》导学案（无答案）

/必修2人教版数学高一第三章直线的方程课程目标：一、考点突破1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直。3.通过学习直线的倾斜角、斜率等概念,探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式,斜截式,两点式,截距式等；通过理解、欣赏、运用直线方程各具特征的丰富多彩的不同形式,感觉数学世界的奇异美、简洁美、和谐美,增强美学意识。通过对直线方程四种特殊形式和一般形式的分析和运用,体会形式和内容、对立和统一的辩证唯物主义思想。4.通过直线的方程,研究直线间的位置关系：平行和垂直,以及两条直线的交点坐标,点到直线的距离公式等。理解事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想。二、重难点提示重点：直线的倾斜角和斜率概念,直线方程,两直线的位置关系及其应用。难点：直线方程的应用。

精讲精练：微课程1：根本公式及直线的倾角和斜率【考点精讲】1.数轴上两点间距离公式：,为数轴上两点,那么2.平面上两点间距离：,为平面上两点,那么3.线段中点坐标公式：假设点P1、P2的坐标分别为〔x1,y1〕、〔x2,y2〕,且线段P1P2的中点M的坐标为〔x,y〕,那么x=eq\f(x1＋x2,2),y=eq\f(y1＋y2,2),此公式为线段P1P2的中点坐标公式。4.直线的倾斜角与斜率〔1〕直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°。②倾斜角的范围为[0°,180°〕。〔2〕直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k＝tanα,倾斜角是90°的直线斜率不存在。②过两点的直线的斜率公式经过两点P1〔x1,y1〕,P2〔x2,y2〕〔x1≠x2〕的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)。5.点P〔x0,y0〕到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))。6.两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0〔C1≠C2〕间的距离为d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))。【典例精析】例题1假设点A〔4,3〕,B〔5,a〕,C〔6,5〕三点共线,那么a的值为______。思路导航：利用直线斜率公式求解。答案：∵A、B、C三点共线,∴经过A、B两点的直线斜率等于经过B、C两点的直线斜率,即kAB=kBC,∴,∴a=4。例题2经过P〔0,－1〕作直线l,假设直线l与连接A〔1,－2〕,B〔2,1〕的线段总有公共点,求直线l的倾斜角α与斜率k的范围。思路导航：先求直线的两个极限位置,再用运动变化观点求斜率的范围。答案：如下图,kPA==－1,kPB==1,由图可观察出：直线l的倾斜角α的范围是[135°,180°〕∪[0°,45°]；直线l的斜率k的范围是[－1,1]。例题3实数满足,试求的最大值和最小值。思路导航：利用的几何意义：连接定点〔－2,－3〕与动点〔〕的直线的斜率,借助数形结合,将求极值问题转化为求斜率取值范围问题,简化了运算过程。答案：由的几何意义可知,它表示经过定点P〔－2,－3〕与曲线段AB上任一点〔〕的直线斜率k,,由可得A〔1,1〕、B〔－1,5〕,故的最大值为8,最小值为。随堂练习：斜率不存在的直线一定是〔〕A.过原点的直线B.垂直于x轴的直线C.垂直于y轴的直线D.平行于x轴的直线答案：过原点的直线不一定斜率不存在,垂直于y轴的直线斜率为0,平行于x轴的直线斜率也为0,垂直于x轴的直线倾斜角为90度,所以斜率不存在,应选B。【总结提升】1.斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,直线上任意两点所确定的方向不变,即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等,这就是利用斜率可证三点共线的原因。2.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1),该公式与两点顺序无关,两点坐标〔x1≠x2〕时,根据该公式可求出经过两点的直线的斜率。当x1＝x2,y1≠y2时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°。3.求斜率可用k＝tanα〔α≠90°〕,其中α为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记：“斜率变化分两段,90°是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论〞。4.直线的斜率可以从负值到正值,但是倾斜角不能为负,倾斜角的范围是[0,180°〕。例如：一条直线的斜率范围是[],我们知道对应的直线倾斜角为120°,k=1对应的直线倾斜角为45°,但是这条直线的倾斜角的范围是∪[0,45°],而不是[45°,120°]。微课程2：直线方程的表达式【考点精讲】1.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k〔x－x0〕不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x＝x1〔x1≠x2〕和直线y＝y1〔y1≠y2〕截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2.过P1〔x1,y1〕,P2〔x2,y2〕的直线方程〔1〕假设x1＝x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为x＝x1；〔2〕假设x1≠x2,且y1＝y2时,直线垂直于y轴,方程为y＝y1；〔3〕假设x1＝x2＝0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为x＝0；〔4〕假设x1≠x2,且y1＝y2＝0时,直线即为x轴,方程为y＝0。【典例精析】例题1求适合以下条件的直线方程：〔1〕经过点P〔3,2〕,且在两坐标轴上的截距相等；〔2〕过点A〔－1,－3〕,斜率是直线y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)。思路导航：首先要选择直线方程的形式,注意直线方程的适用范围。答案：〔1〕方法一：设直线l在x,y轴上的截距均为a,假设a＝0,即l过点〔0,0〕和〔3,2〕,∴l的方程为y＝eq\f(2,3)x,即2x－3y＝0。假设a≠0,那么设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1,∵l过点〔3,2〕,∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1,∴a＝5,∴l的方程为x＋y－5＝0,综上可知,直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0。〔2〕设所求直线的斜率为k,依题意有k＝－eq\f(1,4)×3＝－eq\f(3,4)。又直线经过点A〔－1,－3〕,因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)〔x＋1〕,即3x＋4y＋15＝0。例题2直线l1：2x+y－6=0和点A〔1,－1〕,过A点作直线l与直线l1相交于B点,且|AB|=5,求直线l的方程。思路导航：注意直线斜率不存在的情况。答案：过点A〔1,－1〕与y轴平行的直线为x＝1。解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,2x＋y－6＝0)),求得B点坐标为〔1,4〕,此时|AB|＝5,即x＝1为所求。设过A〔1,－1〕且与y轴不平行的直线为y＋1＝k〔x－1〕,解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0,y＋1＝k(x－1))),得两直线交点为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋7,k＋2),y＝\f(4k－2,k＋2)))。〔k≠－2,否那么与直线平行〕。那么B点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2),\f(4k－2,k＋2)))。由,解得k＝－eq\f(3,4),∴y＋1＝－eq\f(3,4)〔x－1〕,即3x＋4y＋1＝0。综上可知,所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0。例题3直线l过点P〔3,2〕,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如下图,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程。思路导航：利用直线方程解决问题,为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地,一点通常选择点斜式；斜率选择斜截式或点斜式；截距选择截距式。答案：设A〔a,0〕,B〔0,b〕〔a>3,b>2〕,那么直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1,∵l过点P〔3,2〕,∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1,b＝eq\f(2a,a－3),从而S△ABO＝eq\f(1,2)a·b＝eq\f(1,2)a·eq\f(2a,a－3)＝eq\f(a2,a－3),故有S△ABO＝eq\f((a－3)2＋6(a－3)＋9,a－3)＝〔a－3〕＋eq\f(9,a－3)＋6≥2eq\r((a－3)·\f(9,a－3))＋6＝12,当且仅当a－3＝eq\f(9,a－3),即a＝6时,〔S△ABO〕min＝12,此时b＝eq\f(2×6,6－3)＝4。∴直线l的方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,4)＝1,即2x＋3y－12＝0。【总结提升】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,假设采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零；假设采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况。微课程3：两直线的位置关系【考点精讲】一、两条直线平行与垂直的判定1.对于两条直线：〔1〕〔2〕〔k1,k2均存在〕2.对于两条直线：〔1〕〔2〕3.与直线平行的直线可设为4.与直线垂直的直线可设为二、两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应。相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解。【典例精析】例题1〔1〕两直线l1：x＋y＋6＝0,l2：〔m－2〕x＋3my＋2m＝0,假设l1∥l2,求实数m的值；〔2〕两直线l1：x＋2y＋6＝0和l2：x＋〔－1〕y＋〔－1〕＝0。假设l1⊥l2,求实数的值。思路导航：〔1〕充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1∥l2⇔k1＝k2,l1⊥l2⇔k1·k2＝－1。假设有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。〔2〕①假设直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2,那么l1⊥l2⇔k1·k2＝－1。②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0。那么：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0。注意转化与化归思想的应用。答案：〔1〕方法一：①当m＝0时,l1：x＋6＝0,l2：x＝0,l1∥l2；②当m≠0时,l1：y＝－eq\f(1,m2)x－eq\f(6,m2),l2：y＝eq\f(2－m,3m)x－eq\f(2,3),由－eq\f(1,m2)＝eq\f(2－m,3m)且－eq\f(6,m2)≠－eq\f(2,3),∴m＝－1。故所求实数m的值为0或－1。方法二：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等价条件是：A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0。由所给直线方程可得：1·3m－m2·〔m－2〕＝0且1·2m－6·〔m－2〕≠0∵m〔m2－2m－3〕＝0且m≠3∴m＝0或－1。故所求实数m的值为0或－1。〔2〕方法一：由直线l1的方程知其斜率为－eq\f(a,2),当a＝1时,直线l2的斜率不存在,l1与l2不垂直；当a≠1时,直线l2的斜率为－eq\f(1,a－1)。由－eq\f(a,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a－1)))＝－1∴a＝eq\f(2,3)。故所求实数a的值为eq\f(2,3)。方法二：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等价条件是A1A2＋B1B2＝0。由所给直线方程可得：a·1＋2·〔a－1〕＝0∴a＝eq\f(2,3)。故所求实数a的值为eq\f(2,3)。例题2求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点,且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程。思路导航：首先解决两直线焦点问题,再用直线位置关系解题。答案：方法一：先解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0,5x＋2y＋1＝0)),得l1、l2的交点坐标为〔－1,2〕,再由l3的斜率eq\f(3,5)求出l的斜率为－eq\f(5,3),于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－eq\f(5,3)〔x＋1〕,即5x＋3y－1＝0。方法二：由于l⊥l3,故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条,而l过l1、l2的交点坐标为〔－1,2〕,故5×〔－1〕＋3×2＋C＝0,由此求出C＝－1,故l的方程为5x＋3y－1＝0。方法三：由于l过l1、l2的交点,故l是直线系3x＋2y－1＋λ〔5x＋2y＋1〕＝0中的一条,将其整理,得〔3＋5λ〕x＋〔2＋2λ〕y＋〔－1＋λ〕＝0。其斜率－eq\f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq\f(5,3),解得λ＝eq\f(1,5),代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0。例题3光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入,遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射,求反射光线所在的直线方程。思路导航：〔1〕入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l对称。〔2〕对称点的连线被对称轴垂直平分。答案：方法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0,,3x－2y＋7＝0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,,y＝2.))∴反射点M的坐标为〔－1,2〕。又取直线x－2y＋5＝0上一点P〔－5,0〕,设P关于直线l的对称点P′〔x0,y0〕,由PP′⊥l可知,kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5)。而PP′的中点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2),\f(y0,2))),Q点在l上,∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3),,\f(3,2)(x0－5)－y0＋7＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13),,y0＝－\f(32,13).)) 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0。方法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P〔x0,y0〕关于直线l的对称点为P′〔x,y〕,那么eq\f(y0－y,x0－x)＝－eq\f(2,3),又PP′的中点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2),\f(y＋y0,2)))在l上,∴3×eq\f(x＋x0,2)－2×eq\f(y＋y0,2)＋7＝0, 由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－y,x0－x)＝－\f(2,3),,3×\f(x＋x0,2)－(y＋y0)＋7＝0.))可得P点的坐标为x0＝eq\f(－5x＋12y－42,13),y0＝eq\f(12x＋5y＋28,13), 代入方程x－2y＋5＝0中,化简得29x－2y＋33＝0,∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0。 例题4在平面直角坐标系中,矩形ABCD,AB＝2,BC＝1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合。将矩形折叠,使A点落在线段DC上。假设折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程。思路导航：〔1〕题目已告诉直线斜率为k,即斜率存在。〔2〕从题