动量及守恒定律练习

动量及守恒定律一、高考真题1.．[2015·新课标全国Ⅰ，35(2)，10分](难度★★★★)如图，在足够长的光滑水 平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间．A的质量为m， B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．现使A以某一速度向右运动，求 m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体 间的碰撞都是弹性的． 解析设A运动的初速度为v0，A向右运动与C发生碰撞， 由动量守恒定律得 mv0＝mv1＋Mv2 由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,2) 可得v1＝eq\f(m－M,m＋M)v0，v2＝eq\f(2m,m＋M)v0 要使得A与B能发生碰撞，需要满足v1＜0，即m＜M A反向向左运动与B发生碰撞过程，有 mv1＝mv3＋Mv4 eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,3)＋eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,4) 整理可得v3＝eq\f(m－M,m＋M)v1，v4＝eq\f(2m,m＋M)v1 由于m＜M，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足 v3≤v2 即eq\f(2m,m＋M)v0≥eq\f(M－m,m＋M)v1＝(eq\f(m－M,m＋M))2v0 整理可得m2＋4Mm≥M2 解方程可得m≥(eq\r(5)－2)M 所以使A只与B、C各发生一次碰撞，须满足 (eq\r(5)－2)M≤m＜M 答案(eq\r(5)－2)M≤m＜M2.．[2015·新课标全国Ⅱ，35(2)，10分](难度★★★★)两滑块a、b沿水平面上同 一条直线运动，并发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后， 从光滑路段进入粗糙路段．两者的位置x随时间t变化的图象如图所示．求： (ⅰ)滑块a、b的质量之比； (ⅱ)整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比． 解析(ⅰ)设a、b的质量分别为m1、m2，a、b碰撞前的速度为v1、v2.由题 给图象得 v1＝－2m/s① v2＝1m/s② a、b发生完全非弹性碰撞，碰撞后两滑块的共同速度为v.由题给图象得 v＝eq\f(2,3)m/s③ 由动量守恒定律得 m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v④ 联立①②③④式得 m1∶m2＝1∶8⑤ (ⅱ)由能量守恒定律得，两滑块因碰撞而损失的机械能为 ΔE＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)(m1＋m2)v2⑥ 由图象可知，两滑块最后停止运动．由动能定理得，两滑块克服摩擦力所做 的功为 W＝eq\f(1,2)(m1＋m2)v2⑦ 联立⑥⑦式，并代入题给数据得 W∶ΔE＝1∶2⑧ 答案(ⅰ)1∶8(ⅱ)1∶23．[2015·山东理综，39(2)](难度★★★★)如图，三个质量相同的滑块A、B、C， 间隔相等地静置于同一水平直轨道上．现给滑块A向右的初速度v0，一段时 间后A与B发生碰撞，碰后A、B分别以eq\f(1,8)v0、eq\f(3,4)v0的速度向右运动，B再与C 发生碰撞，碰后B、C粘在一起向右运动．滑块A、B与轨道间的动摩擦因数 为同一恒定值．两次碰撞时间均极短．求B、C碰后瞬间共同速度的大小． 解析设滑块质量为m，A与B碰撞前A的速度为vA，由题意知，碰后A的 速度vA′＝eq\f(1,8)v0， B的速度vB＝eq\f(3,4)v0，由动量守恒定律得 mvA＝mvA′＋mvB① 设碰撞前A克服轨道阻力所做的功为WA，由功能关系得 WA＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)② 设B与C碰撞前B的速度为vB′，B克服轨道阻力所做的功为WB，由功能 关系得 WB＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mvB′2③ 据题意可知 WA＝WB④ 设B、C碰后瞬间共同速度的大小为v，由动量守恒定律得 mvB′＝2mv⑤ 联立①②③④⑤式，代入数据得 v＝eq\f(\r(21),16)v0⑥ 答案eq\f(\r(21),16)v04.．[2014·新课标全国Ⅰ，35(2)，9分](难度★★★)如图，质量分别为mA、mB的 两个弹性小球A、B静止在地面上方，B球距地面的高度h＝0.8m，A球在B 球的正上方．先将B球释放，经过一段时间后再将A球释放．当A球下落t ＝0.3s时，刚好与B球在地面上方的P点处相碰，碰撞时间极短，碰后瞬间 A球的速度恰为零．已知mB＝3mA，重力加速度大小g＝10m/s2，忽略空气阻 力及碰撞中的动能损失．求 (1)B球第一次到达地面时的速度； (2)P点距离地面的高度． 解析(1)设B球第一次到达地面时的速度大小为vB，由运动学公式有vB＝ eq\r(2gh)① 将h＝0.8m代入上式，得vB＝4m/s② (2)设两球相碰前、后，A球的速度大小分别为v1和v1′(v1′＝0)，B球的速 度分别为v2和v2′.由运动学规律可得 v1＝gt③ 由于碰撞时间极短，重力的作用可以忽略，两球相碰前、后的动量守恒，总 动能保持不变．规定向下的方向为正，有 mAv1＋mBv2＝mBv2′④ eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)mBv2′2⑤ 设B球与地面相碰后的速度大小为vB′，由运动学及碰撞的规律可得vB′＝ vB⑥ 设P点距地面的高度为h′，由运动学规律可得 h′＝eq\f(vB′2－veq\o\al(2,2),2g)⑦ 联立②③④⑤⑥⑦式，并代入已知条件可得 h′＝0.75m⑧ 答案(1)4m/s(2)0.755.．[2014·新课标全国Ⅱ，35(2)，10分](难度★★★★)现利用图(a)所示的装置验 证动量守恒定律．在图(a)中，气垫导轨上有A、B两个滑块，滑块A右侧带 有一弹簧片，左侧与打点计时器(图中未画出)的纸带相连；滑块B左侧也带 有一弹簧片，上面固定一遮光片，光电计时器(未完全画出)可以记录遮光片通 过光电门的时间． 实验测得滑块A的质量m1＝0.310kg，滑块B的质量m2＝0.108kg，遮光片 的宽度d＝1.00cm；打点计时器所用交流电的频率f＝50.0Hz. 将光电门固定在滑块B的右侧，启动打点计时器，给滑块A一向右的初速度， 使它与B相碰．碰后光电计时器显示的时间为ΔtB＝3.500ms，碰撞前、后打 出的纸带如图(b)所示． 若实验允许的相对误差绝对值(|eq\f(碰撞前、后总动量之差,碰前总动量)|×100%)最大为5%， 本实验是否在误差范围内验证了动量守恒定律？写出运算过程． 解析按定义，滑块运动的瞬时速度大小v为 v＝eq\f(Δs,Δt)① 式中Δs为滑块在很短时间Δt内走过的路程． 设纸带上打出相邻两点的时间间隔为ΔtA，则 ΔtA＝eq\f(1,f)＝0.02s② ΔtA可视为很短． 设A在碰撞前、后瞬时速度大小分别为v0、v1.将②式和图给实验数据代入① 式得 v0＝2.00m/s③ v1＝0.970m/s④ 设B在碰撞后的速度大小为v2，由①式有 v2＝eq\f(d,ΔtB)⑤ 代入题给实验数据得 v2＝2.86m/s⑥ 设两滑块在碰撞前、后的总动量分别为p和p′，则 p＝m1v0⑦ p′＝m1v1＋m2v2⑧ 两滑块在碰撞前后总动量相对误差的绝对值为 δp＝|eq\f(p－p′,p)|×100%⑨ 联立③④⑥⑦⑧⑨式并代入有关数据，得 δp＝1.7%<5%⑩ 因此，本实验在允许的误差范围内验证了动量守恒定律． 答案见解析6.．(2014·广东理综，35，18分)(难度★★★★)如图的水平轨道中，AC段的中点 B的正上方有一探测器，C处有一竖直挡板，物体P1沿轨道向右以速度v1与 静止在A点的物体P2碰撞，并接合成复合体P，以此碰撞时刻为计时零点， 探测器只在t1＝2s至t2＝4s内工作，已知P1、P2的质量都为m＝1kg，P与 AC间的动摩擦因数为μ＝0.1，AB段长L＝4m，g取10m/s2，P1、P2和P均 视为质点，P与挡板的碰撞为弹性碰撞． (1)若v1＝6m/s，求P1、P2碰后瞬间的速度大小v和碰撞损失的动能ΔE； (2)若P与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B点，求v1的取值范围和 P向左经过A点时的最大动能E. 解析(1)P1、P2碰撞过程，动量守恒 mv1＝2mv① 解得v＝eq\f(v1,2)＝3m/s② 碰撞损失的动能ΔE＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)(2m)v2③ 解得ΔE＝9J④ (2)根据牛顿第二定律，P做匀减速运动，加速度为a＝eq\f(μ·2mg,2m)⑤ 设P1、P2碰撞后的共同速度为v共，则推得v共＝eq\f(v1,2)⑥ 把P与挡板碰撞后运动过程当做整体运动过程处理 经过时间t1，P运动过的路程为s1，则s1＝v共t1－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)⑦ 经过时间t2，P运动过的路程为s2，则s2＝v共t2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)⑧ 如果P能在探测器工作时间内通过B点，必须满足 s1≤3L≤s2⑨ 联立⑤⑥⑦⑧⑨得10m/s≤v1≤14m/s⑩ v1的最大值为14m/s，此时v共＝7m/s，根据动能定理知 －μ·2mg·4L＝E－eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,共) 代入数据得E＝17J 答案(1)3m/s9J(2)10m/s≤v1≤14m/s17J7.．[2013·新课标全国Ⅰ，35(2)，9分](难度★★★★)在粗糙的水平桌面上有两个 静止的木块A和B，两者相距为d.现给A一初速度，使A与B发生弹性正碰，碰撞时间极短．当两木块都停止运动后，相距仍然为d.已知两木块与桌面之 间的动摩擦因数均为μ，B的质量为A的2倍，重力加速度大小为g.求A的 初速度的大小． 解析设在发生碰撞前的瞬间，木块A的速度大小为v；在碰撞后的瞬间，A 和B的速度分别为v1和v2.在碰撞过程中，由能量和动量守恒定律，得 eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2)① mv＝mv1＋(2m)v2② 式中，以碰撞前木块A的速度方向为正．由①②式得 v1＝－eq\f(v2,2)③ 设碰撞后A和B运动的距离分别为d1和d2，由动能定理得 μmgd1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)④ μ(2m)gd2＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2)⑤ 按题意有 d＝d1＋d2⑥ 设A的初速度大小为v0，由动能定理得 μmgd＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mv2⑦ 联立②至⑦式，得 v0＝eq\r(\f(28,5)μgd) 答案eq\r(\f(28,5)μgd)8.．(2013·广东理综，35，18分)(难度★★★★)如图，两块相同平板P1、P2置于 光滑水平面上，质量均为m.P2的右端固定一轻质弹簧，左端A与弹簧的自由 端B相距L.物体P置于P1的最右端，质量为2m且可看作质点．P1与P以共 同速度v0向右运动，与静止的P2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P1与P2 粘连在一起．P压缩弹簧后被弹回并停在A点(弹簧始终在弹性限度内)．P与 P2之间的动摩擦因数为μ.求(1)P1、P2刚碰完时的共同速度v1和P的最终速度v2；(2)此过程中弹簧的最大压缩量x和相应的弹性势能Ep. 解析(1)P1、P2碰撞瞬间，P的速度不受影响，根据动量守恒： mv0＝2mv1，解得v1＝eq\f(v0,2)最终三个物体具有共同速度，根据动量守恒：3mv0＝4mv2，解得v2＝eq\f(3,4)v0(2)根据能量守恒，系统动能减少量等于因摩擦产生的内能： eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)·4mveq\o\al(2,2)＝2mgμ(L＋x)×2解得x＝eq\f(veq\o\al(2,0),32μg)－L在从第一次共速到第二次共速过程中，弹簧弹性势能等于因摩擦产生的内能， 即：Ep＝2mgμ(L＋x)解得Ep＝eq\f(1,16)mveq\o\al(2,0) 答案(1)eq\f(v0,2)eq\f(3,4)v0(2)eq\f(veq\o\al(2,0),32μg)－Leq\f(1,16)mveq\o\al(2,0)二、模拟题1.如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B 置于A的左端，三者质量分别为mA＝2kg、mB＝1kg、mC＝2kg.开始时C静 止，A、B一起以v0＝5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短) 后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰 好不再与C碰撞．求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小． 解析因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为 vA，C的速度为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝mAvA＋mCvC ① A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得 mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)vAB② A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足 vAB＝vC③ 联立①②③式，代入数据得vA＝2m/s.④ 答案2m/s2.如图所示，长为l、质量为M的小船停在静 水中，一个质量为m的人站在船头，若不计水的阻力，当人从船头走到船尾 的过程中，船和人对地面的位移分别是多少？ 解析选人和船组成的系统为研究对象，设某一时刻人对地的速度为v2，船 对地的速度为v1，选人前进的方向为正方向，根据动量守恒定律有：mv2－ Mv1＝0，即eq\f(v2,v1)＝eq\f(M,m).因为在人从船头走到船尾的整个过程中，每一时刻系统都满足动量守恒定律， 所以每一时刻人的速度与船的速度之比都与它们的质量成反比．从而可以做 出判断：在人从船头走向船尾的过程中，人的位移x2与船的位移x1之比也等 于它们的质量的反比，即eq\f(x2,x1)＝eq\f(M,m).由图可以看出x1＋x2＝l，所以x1＝eq\f(m,M＋m)l，x2＝eq\f(M,M＋m)l.3.如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左 侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A以速度v0朝B运动，压缩 弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假 设B和C碰撞过程时间极短．求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中， (1)整个系统损失的机械能； (2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能． 解析(1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的 系统，由动量守恒定律得mv0＝2mv1①此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能 为ΔE，对B、C组成的系统，由动量守恒和能量守恒定律得 mv1＝2mv2② mveq\o\al(2,1)＝ΔE＋eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2)③联立①②③式得ΔE＝eq\f(1,16)mveq\o\al(2,0)④(2)由②式可知v2＜v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设 此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep.由动量守恒和能量守 恒定律得mv0＝3mv3⑤eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－ΔE＝eq\f(1,2)(3m)veq\o\al(2,3)＋Ep⑥联立④⑤⑥式得Ep＝eq\f(13,48)mveq\o\al(2,0)⑦4.如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂， 将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动， 此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求： (1)两球a、b的质量之比； (2)两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比． 解析(1)设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点、但未与球a 相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得 m2gL＝eq\f(1,2)m2v2① 式中g是重力加速度的大小． 设球a的质量为m1，在两球相碰后的瞬间，两球共同速度为v′，以向左为正， 由动量守恒定律得 m2v＝(m1＋m2)v′② 设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒 定律得 eq\f(1,2)(m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cosθ)③ 联立①②③式得eq\f(m1,m2)＝eq\f(1,\r(1－cosθ))－1④ 代入已知数据得eq\f(m1,m2)＝eq\r(2)－1⑤ (2)两球在碰撞过程中的机械能损失是 Q＝m2gL－(m1＋m2)gL(1－cosθ)⑥ 联立①⑥式，Q为碰前球b的最大动能 Ek(Ek＝eq\f(1,2)m2v2)之比为eq\f(Q,Ek)＝1－eq\f(m1＋m2,m2)(1－cosθ)⑦ 联立①⑤⑦式，并代入题给数据得eq\f(Q,Ek)＝1－eq\f(\r(2),2)5.如图所示，一质量为eq\f(m,3)的人站在质量为m的小船甲上，以 速度v0在水面上向右运动．另一完全相同小船乙以速率v0从右方向左方驶来， 两船在一条直线上运动．为避免两船相撞，人从甲船以一定的速率水平向右 跃到乙船上，求：为能避免两船相撞，人水平跳出时相对于地面的速率至少 多大？ 解析速度v最小的条件是人跳上乙船稳定后两船的速度相等，以甲船的初 速度方向为正方向，以甲船和人组成的系统为研究对象，由动量守恒定律得 (m＋eq\f(1,3)m)v0＝mv船＋eq\f(1,3)mv 以乙船与人组成的系统为研究对象，以人的速度方向为正方向 由动量守恒定律得－mv0＋eq\f(1,3)mv＝(m＋eq\f(1,3)m)v船 解得v＝eq\f(25,7)v0 答案eq\f(25,7)v06.如图所示，质量为M＝50g的木块用长为L＝1m的轻绳 悬挂于O点，质量为m＝10g的子弹以速度v1＝500m/s向左水平穿过木块后， 速度变成v2＝490m/s，该过程历时极短可忽略不计，之后木块在竖直面内摆 起来，经时间t＝0.6s摆到最高点，不计空气阻力，重力加速度为g＝10m/s2. 试求： (1)子弹穿过木块过程中，木块所受冲量大小； (2)子弹穿过木块的过程，系统增加的热量Q. 解析(1)子弹穿过木块的瞬间子弹和木块构成的系统动量守恒，假设子弹穿 过木块后木块具有的瞬时速度为v，则有 mv1＝Mv＋mv2 解得v＝2m/s 由动量定理得I＝Mv－0＝0.1N·s (2)子弹穿过木块的瞬间子弹和木块构成的系统动量守恒，假设子弹穿过木块 后木块具有的瞬时速度为v，则有mv1＝Mv＋mv2① 由能量守恒可知，系统损失的机械能等于系统增加的热量，即 eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)Mv2＝Q② 联立①②解得Q＝49.4J 答案(1)0.1N·s(2)49.4J7.如图所示，一质量M＝4kg的小车左端放有一 质量m＝1kg的铁块，它们以大小v0＝4m/s的共同速度沿光滑水平面向竖直 墙运动，车与墙碰撞的时间t＝0.01s，不计碰撞时机械能的损失，且不计在 该时间内铁块速度的变化．铁块与小车之间的动摩擦因数μ＝0.5，车长L足 够长，铁块不会到达车的右端，最终小车与铁块相对静止．求： (1)车与墙碰撞的平均作用力的大小F； (2)整个过程中因摩擦产生的热量Q. 解析(1)车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小为v0，故由动量定理得Ft ＝2Mv0 解得F＝3200N (2)车与墙碰后瞬间，铁块的速度未变，其大小仍是v0，方向向右，根据动量 守恒定律知，小车与铁块相对静止时的共同速度必向左，设为v，则有Mv0 －mv0＝(M＋m)v 根据能量守恒定律，有Q＝eq\f(1,2)(M＋m)veq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(m＋M)v2 解得Q＝25.6J 答案(1)3200N(2)25.6J8.如图所示，在光滑水平面上物块A处于静止状态，A的质 量为1kg.某时刻一质量为m0＝0.2kg的子弹以v0＝60m/s的初速度水平射向 物块A，从A中穿出时子弹的速率是20m/s.求： (1)子弹穿出后物块A的速度大小； (2)在穿出过程中系统损失的机械能． 解析(1)子弹跟A作用，动量守恒mv0＝m0v1＋mAvA 得vA＝8m/s (2)在此过程中子弹和木块A组成的系统损失的机械能为ΔE， ΔE＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)m0veq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A) 解得ΔE＝288J 答案(1)8m/s(2)288J9.如图所示，在光滑水平面上有一块长为L的木板B， 其上表面粗糙，在其左端有一个光滑的圆弧槽C与长木板接触但不连接，圆 弧槽的下端与木板的上表面相平，B、C静止在水平面上．现有很小的滑块A 以初速度v0从右端滑上B并以eq\f(v0,2)的速度滑离B，恰好能到达C的最高点．A、 B、C的质量均为m，试求： (1)木板B上表面的动摩擦因数μ； (2)eq\f(1,4)圆弧槽C的半径R. 解析(1)由于水平面光滑，A与B、C组成的系统动量守恒，有： mv0＝m(eq\f(1,2)v0)＋2mv1 又μmgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)m(eq\f(1,2)v0)2－eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,1) 解得：μ＝eq\f(5veq\o\al(2,0),16gL) (2)当A滑上C，B与C分离，A、C间发生相互作用．A到达最高点时两者的 速度相等，A、C组成的系统水平方向动量守恒，有： m(eq\f(1,2)v0)＋mv1＝(m＋m)v2 又eq\f(1,2)m(eq\f(1,2)v0)2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2)＋mgR 解得：R＝eq\f(veq\o\al(2,0),64g) 答案(1)eq\f(5veq\o\al(2,0),16gL)(2)eq\f(veq\o\al(2,0),64g)10.如图所示，质量为m1＝0.2kg的小物块A，沿水平面与小 物块B发生正碰，小物块B的质量为m2＝1kg.碰撞前，A的速度大小为v0 ＝3m/s，B静止在水平地面上．由于两物块的材料未知，将可能发生不同性 质的碰撞，已知A、B与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.2，重力加速度g取 10m/s2，试求碰后B在水平面上滑行的时间． 解析假如两物块发生的是完全非弹性碰撞，碰后的共同速度为v1，则由动 量守恒定律有 m1v0＝(m1＋m2)v1 碰后，A、B一起滑行直至停下，设滑行时间为t1，则由动量定理有 μ(m1＋m2)gt1＝(m1＋m2)v1 解得t1＝0.25s 假如两物块发生的是完全弹性碰撞，碰后A、B的速度分别为vA、vB，则由 动量守恒定律有 m1v0＝m1vA＋m2vB 由机械能守恒有 eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,B) 设碰后B滑行的时间为t2，则 μm2gt2＝m2vB 解得t2＝0.5s 可见，碰后B在水平面上滑行的时间t满足 0．25s≤t≤0.5s 答案0.25s≤t≤0.5s11.如图所示，质量为1kg可以看成质点的小球悬挂在长为 0.9m的细线下端，将它拉至细线与竖直方向成θ＝60°的位置后自由释 放．当小球摆至最低点时，恰好与水平面上原来静止的、质量为2kg的木块 相碰，碰后小球速度反向且动能是碰前动能的eq\f(1,9).已知木块与地面的动摩擦因数 μ＝0.2，重力加速度取g＝10m/s2.求： (1)小球与木块碰前瞬时速度的大小； (2)小球与木块碰前瞬间所受拉力的大小； (3)木块在水平地面上滑行的距离． 解析(1)设小球摆至最低点时的速度为v，由动能定理，有 mgL(1－cos60°)＝eq\f(1,2)mv2v＝3m/s(2)设小球与木块碰撞前瞬间所受拉力为T，有： T－mg＝meq\f(v2,L)代入数据，解得：T＝2mg＝20N(3)设小球与木块碰撞后，小球的速度为v1，木块的速度为v2，设水平向右为 正方向，依动量守恒定律有：mv＝Mv2－mv1依题意知：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mv2×eq\f(1,9)设木块在水平地面上滑行的距离为x，依动能定理有：－μMgx＝0－eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,2)联立并代入数据，解得x＝1m. 答案(1)3m/s(2)20N(3)1m12.两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为m＝2kg，初始时 弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动， 质量M＝4kg的物块C静止在前方，如图所示．B与C碰撞后二者会粘在一 起运动．求在以后的运动中： (1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度v1为多大？ (2)系统中弹性势能的最大值Ep是多少？ 解析(1)根据题意，A、B、C三物块动量守恒，当弹簧的弹性势能最大时满 足：2mv＝(2m＋M)v1 代入数值得v1＝3m/s (2)根据动量守恒，当BC刚刚完成碰撞时满足：mv＝(m＋M)vBC 此后系统机械能守恒，当弹簧的弹性势能最大时满足： eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)(M＋m)veq\o\al(2,BC)＝eq\f(1,2)(2m＋M)veq\o\al(2,1)＋Ep 代入数值后整理得Ep＝12J 答案(1)3m/s(2)12J13.如图所示，固定的圆弧轨道与水平面平滑连接，轨道与水 平面均光滑，质量为m的物块B与轻质弹簧拴接静止在水平面上，弹簧右端 固定．质量为3m的物块A从圆弧轨道上距离水平面高h处由静止释放，与B 碰撞后推着B一起运动但与B不粘连．求： (1)弹簧的最大弹性势能； (2)A与B第一次分离后，物块A沿圆弧面上升的最大高度． 解析(1)A下滑与B碰撞前，根据机械能守恒得 3mgh＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,1) A与B碰撞，根据动量守恒得3mv1＝4mv2 弹簧最短时弹性势能最大，系统的动能转化为弹性势能 根据能量守恒得Epmax＝eq\f(1,2)×4mveq\o\al(2,2)＝eq\f(9,4)mgh (2)根据题意，A与B分离时A的速度大小为v2 A与B分离后沿圆弧面上升到最高点的过程中，根据机械能守恒得3mgh′＝eq\f(1,2)× 3mveq\o\al(2,2) 解得h′＝eq\f(9,16)h 答案(1)eq\f(9,4)mgh(2)eq\f(9,16)h14.如图所示，光滑平台上有两个钢性小球A和B，质量分 别为2m和3m，小球A以速度v0向右运动并与静止的小球B发生碰撞(碰撞 过程不损失机械能)，小球B飞出平台后经时间t刚好掉入装有沙子向左运动 的小车中，小车与沙子的总质量为m，速度为2v0，小车行驶的路面近似看做 是光滑的，求： (1)碰撞后小球A和小球B的速度； (2)小球B掉入小车后的速度． 解析(1)A球与B球碰撞过程中系统动量守恒，以向右为正方向，有m1v0＝ m1v1＋m2v2 碰撞过程中系统机械能守恒，有 eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2) 可解得v1＝eq\f(（m1－m2）v0,m1＋m2)＝－eq\f(1,5)v0 v2＝eq\f(2m1v0,m1＋m2)＝eq\f(4,5)v0 即碰后A球向左，B球向右 (2)B球掉入沙车的过程中系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，有m2v2 ＋m3v3＝(m2＋m3)v3′ 解得v3′＝eq\f(1,10)v0，水平向右 15.如图所示，光滑水平面上放置质量均为M＝2kg的甲、 乙两辆小车，两车之间通过一感应开关相连(当滑块滑过感应开关时，两车自 动分离)．甲车上表面光滑，乙车上表面与滑块P之间的动摩擦因数μ＝0.5. 一根通过细线拴着且被压缩的轻质弹簧固定在甲车的左端，质量为m＝1kg 的滑块P(可视为质点)与弹簧的右端接触但不相连，此时弹簧的弹性势能Ep ＝10J，弹簧原长小于甲车长度，整个系统处于静止状态．现剪断细线(1)滑块P滑上乙车前的瞬时速度的大小；(2)滑块P滑上乙车后最终未滑离乙车，滑块P在乙车上滑行的距离．(g＝10 m/s2) 解析(1)设滑块P滑上乙车前的瞬时速度的大小为v，两小车瞬时速度的大 小为V，对整体应用动量守恒和能量守恒有： mv－2MV＝0 Ep＝eq\f(mv2,2)＋eq\f(2MV2,2) 解得v＝4m/s，V＝1m/s (2)设滑块P和小车乙达到的共同速度为v′，滑块P在乙车上滑行的距离为L， 对滑块P和小车乙应用动量守恒和能量关系有： mv－MV＝(m＋M)v′ μmgL＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)MV2－eq\f(1,2)(m＋M)v′2 代入数据解得L＝eq\f(5,3)m 答案(1)4m/s1m/s(2)eq\f(5,3)m16.如图，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止 在水平面上的O点，此时弹簧处于原长．另一质量与B相同的滑块A从P点 以初速度v0向B滑行，当A滑过距离l时，与B相碰．碰撞时间极短，碰后 A、B粘在一起运动．设滑块A和B均可视为质点，与水平面的动摩擦因数均 为μ，重力加速度为g.试求： (1)碰后瞬间，A、B共同的速度大小； (2)若A、B压缩弹簧后恰能返回到O点并停止，求弹簧的最大压缩量． 解析(1)设A、B质量均为m，A刚接触B时的速度为v1，碰后瞬间共同的 速度为v2，以A为研究对象，从P到O，由功能关系有μmgl＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1) 以A、B为研究对象，碰撞瞬间，由动量守恒得mv1＝2mv2 解得v2＝eq\f(1,2)eq\r(veq\o\al(2,0)－2μgl) (2)碰后A、B由O点向左运动，又返回到O点，设弹簧的最大压缩量为x， 由功能关系可得μ(2mg)2x＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2) 解得x＝eq\f(veq\o\al(2,0),16μg)－eq\f(l,8) 答案(1)eq\f(1,2)eq\r(veq\o\al(2,0)－2μgl)(2)eq\f(veq\o\al(2,0),16μg)－eq\f(l,8)17.如图所示，在光滑水平地面上，有一右端装有固定的竖直 挡板的平板小车质量m1＝4.0kg，挡板上固定一轻质细弹簧．位于小车上A 点处的质量为m2＝1.0kg的木块(视为质点)与弹簧的左端相接触但不连接，此 时弹簧与木块间无相互作用力．木块与车面之间的摩擦可忽略不计．现小车 与木块一起以v0＝2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发 生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v1＝1.0m/s的速度水平向左运动， g取10m/s2.求： (1)小车与竖直墙壁发生碰撞的过程中小车动量变化量的大小； (2)若弹簧始终处于弹性限度内，求小车撞墙后与木块相对静止时的速度大小 和弹簧的最大弹性势能． 解析(1)以v1的方向为正方向，则小车与竖直墙壁发生碰撞的过程中，小车 动量变化量的大小为 Δp＝m1v1－m1(－v0)＝12kg·m/s (2)小车与墙壁碰撞后向左运动，木块与小车间发生相对运动将弹簧压缩至最 短时，二者速度大小相等，此后木块和小车在弹簧弹力的作用下，做变速运 动，当两者具有相同速度时，二者相对静止．整个过程中，小车和木块组成 的系统动量守恒 设小车和木块相对静止时的速度大小为v，根据动量守恒定律有m1v1－m2v0 ＝(m1＋m2)v 解得v＝0.40m/s 当小车与木块首次达到共同速度v时，弹簧压缩至最短，此时弹簧的弹性势 能最大 设最大弹性势能为Ep，根据机械能守恒定律可得 Ep＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(m1＋m2)v2 Ep＝3.6J 答案(1)12kg·m/s(2)0.40m/s3.6J18.如图，在水平地面上有两物块甲和乙，它们的质量分别为 2m、m，甲与地面间无摩擦，乙与地面间的动摩擦因数为μ.现让甲物块以速 度v0向着静止的乙运动并发生正碰，试求： (1)甲与乙第一次碰撞过程中系统的最小动能； (2)若甲在乙刚停下来时恰好与乙发生第二次碰撞，则在第一次碰撞中系统损失了多少机械能？ 解析(1)碰撞过程中系统动能最小时，为两物体速度相等时，设此时两物体 速度为v 由系统动量守恒有2mv0＝3mv 得v＝eq\f(2,3)v0 此时系统动能 Ek＝eq\f(1,2)×3mv2＝eq\f(2,3)mveq\o\al(2,0) (2)设第一次碰撞刚结束时甲、乙的速度分别为v1、v2，之后甲做匀速直线运 动，乙以初速度v2做匀减速直线运动，在乙刚停下时甲追上乙并发生碰撞， 因此两物体在这段时间内平均速度相等，有 v1＝eq\f(v2,2) 而第一次碰撞中系统动量守恒，有 2mv0＝2mv1＋mv2 由以上两式可得 v1＝eq\f(v0,2) v2＝v0 所以第一次碰撞中的机械能损失量为 E＝eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＝eq\f(1,4)mveq\o\al(2,0)动量及守恒定律一、高考真题1.．[2015·新课标全国Ⅰ，35(2)，10分](难度★★★★)如图，在足够长的光滑水 平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间．A的质量为m， B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．现使A以某一速度向右运动，求 m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体 间的碰撞都是弹性的． 2.．[2015·新课标全国Ⅱ，35(2)，10分](难度★★★★)两滑块a、b沿水平面上同 一条直线运动，并发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后， 从光滑路段进入粗糙路段．两者的位置x随时间t变化的图象如图所示．求：(ⅰ)滑块a、b的质量之比；(ⅱ)整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比． 3．[2015·山东理综，39(2)](难度★★★★)如图，三个质量相同的滑块A、B、C， 间隔相等地静置于同一水平直轨道上．现给滑块A向右的初速度v0，一段时 间后A与B发生碰撞，碰后A、B分别以eq\f(1,8)v0、eq\f(3,4)v0的速度向右运动，B再与C 发生碰撞，碰后B、C粘在一起向右运动．滑块A、B与轨道间的动摩擦因数 为同一恒定值．两次碰撞时间均极短．求B、C碰后瞬间共同速度的大小． 4.．[2014·新课标全国Ⅰ，35(2)，9分](难度★★★)如图，质量分别为mA、mB的 两个弹性小球A、B静止在地面上方，B球距地面的高度h＝0.8m，A球在B 球的正上方．先将B球释放，经过一段时间后再将A球释放．当A球下落t ＝0.3s时，刚好与B球在地面上方的P点处相碰，碰撞时间极短，碰后瞬间 A球的速度恰为零．已知mB＝3mA，重力加速度大小g＝10m/s2，忽略空气阻 力及碰撞中的动能损失．求 (1)B球第一次到达地面时的速度； (2)P点距离地面的高度． 5.．[2014·新课标全国Ⅱ，35(2)，10分](难度★★★★)现利用图(a)所示的装置验 证动量守恒定律．在图(a)中，气垫导轨上有A、B两个滑块，滑块A右侧带 有一弹簧片，左侧与打点计时器(图中未画出)的纸带相连；滑块B左侧也带 有一弹簧片，上面固定一遮光片，光电计时器(未完全画出)可以记录遮光片通 过光电门的时间． 实验测得滑块A的质量m1＝0.310kg，滑块B的质量m2＝0.108kg，遮光片 的宽度d＝1.00cm；打点计时器所用交流电的频率f＝50.0Hz. 将光电门固定在滑块B的右侧，启动打点计时器，给滑块A一向右的初速度， 使它与B相碰．碰后光电计时器显示的时间为ΔtB＝3.500ms，碰撞前、后打 出的纸带如图(b)所示． 若实验允许的相对误差绝对值(|eq\f(碰撞前、后总动量之差,碰前总动量)|×100%)最大为5%， 本实验是否在误差范围内验证了动量守恒定律？写出运算过程． 6.．(2014·广东理综，35，18分)(难度★★★★)如图的水平轨道中，AC段的中点 B的正上方有一探测器，C处有一竖直挡板，物体P1沿轨道向右以速度v1与 静止在A点的物体P2碰撞，并接合成复合体P，以此碰撞时刻为计时零点， 探测器只在t1＝2s至t2＝4s内工作，已知P1、P2的质量都为m＝1kg，P与 AC间的动摩擦因数为μ＝0.1，AB段长L＝4m，g取10m/s2，P1、P2和P均 视为质点，P与挡板的碰撞为弹性碰撞． (1)若v1＝6m/s，求P1、P2碰后瞬间的速度大小v和碰撞损失的动能ΔE； (2)若P与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B点，求v1的取值范围和 P向左经过A点时的最大动能E. 7.．[2013·新课标全国Ⅰ，35(2)，9分](难度★★★★)在粗糙的水平桌面上有两个 静止的木块A和B，两者相距为d.现给A一初速度，使A与B发生弹性正碰，碰撞时间极短．当两木块都停止运动后，相距仍然为d.已知两木块与桌面之 间的动摩擦因数均为μ，B的质量为A的2倍，重力加速度大小为g.求A的 初速度的大小． 8.．(2013·广东理综，35，18分)(难度★★★★)如图，两块相同平板P1、P2置于 光滑水平面上，质量均为m.P2的右端固定一轻质弹簧，左端A与弹簧的自由 端B相距L.物体P置于P1的最右端，质量为2m且可看作质点．P1与P以共 同速度v0向右运动，与静止的P2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P1与P2 粘连在一起．P压缩弹簧后被弹回并停在A点(弹簧始终在弹性限度内)．P与 P2之间的动摩擦因数为μ.求(1)P1、P2刚碰完时的共同速度v1和P的最终速度v2；(2)此过程中弹簧的最大压缩量x和相应的弹性势能Ep. 二、模拟题1.如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B 置于A的左端，三者质量分别为mA＝2kg、mB＝1kg、mC＝2kg.开始时C静 止，A、B一起以v0＝5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短) 后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰 好不再与C碰撞．求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小． 2.如图所示，长为l、质量为M的小船停在静 水中，一个质量为m的人站在船头，若不计水的阻力，当人从船头走到船尾 的过程中，船和人对地面的位移分别是多少？3.如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左 侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A以速度v0朝B运动，压缩 弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假 设B和C碰撞过程时间极短．求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中， (1)整个系统损失的机械能； (2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能． 4.如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂， 将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动， 此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求： (1)两球a、b的质量之比； (2)两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比． 5.如图所示，一质量为eq\f(m,3)的人站在质量为m的小船甲上，以 速度v0在水面上向右运动．另一完全相同小船乙以速率v0从右方向左方驶来， 两船在一条直线上运动．为避免两船相撞，人从甲船以一定的速率水平向右 跃到乙船上，求：为能避免两船相撞，人水平跳出时相对于地面的速率至少 多大？ 6.如图所示，质量为M＝50g的木块用长为L＝1m的轻绳 悬挂于O点，质量为m＝10g的子弹以速度v1＝500m/s向左水平穿过木块后， 速度变成v2＝490m/s，该过程历时极短可忽略不计，之后木块在竖直面内摆 起来，经时间t＝0.6s摆到最高点，不计空气阻力，重力加速度为g＝10m/s2. 试求： (1)子弹穿过木块过程中，木块所受冲量大小； (2)子弹穿过木块的过程，系统增加的热量Q. 7.如图所示，一质量M＝4kg的小车左端放有一 质量m＝1kg的铁块，它们以大小v0＝4m/s的共同速度沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间t＝0.01s，不计碰撞时机械能的损失，且不计在该时间内铁块速度的变化．铁块与小车之间的动摩擦因数μ＝0.5，车长L足 够长，铁块不会到达车的右端，最终小车与铁块相对静止．求： (1)车与墙碰撞的平均作用力的大小F； (2)整个过程中因摩擦产生的热量Q. 8.如图所示，在光滑水平面上物块A处于静止状态，A的质 量为1kg.某时刻一质量为m0＝0.2kg的子弹以v0＝60m/s的初速度水平射向 物块A，从A中穿出时子弹的速率是20m/s.求： (1)子弹穿出后物块A的速度大小； (2)在穿出过程中系统损失的机械能． 9.如图所示，在光滑水平面上有一块长为L的木板B， 其上表