上海市上海中学2010高二下数学期中试题

上海市上海中学2010高二下数学期中试题班级___________姓名___________学号___________得分___________一．填空题：（每小题3分）1、已知直线的一个方向向量为，且过点求直线的点方向式方程_____________．2、直线（）的倾斜角的取值范围是_____________．3、抛物线的准线方程为_____________．4、已知复数满足（是虚数单位)，则_____________．5、已知，求_____________．6、在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数_____________．7、经过点且与圆相切的直线方程是_____________．8、若直线（）与双曲线有一个公共点，求实数的取值集合_________．9、若为过椭圆中心的一条弦，是椭圆的一个焦点，则△的面积的最大值为_____________．10、在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足，其中∈R，且，则点C的轨迹方程为_____________．二、选择题(满分12分,每小题3分)11、若复数(，为虚数单位)为纯虚数，则[]A、；B、；C、；D、；12、若复数(、)，则下列正确的是[]A、；B、；C、；D、；13、若集合，，且，则的取值范围是[]A、；B、； C、；D、；14、设为抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，若则[]A、； B、； C、； D、；三．解答题：15、（本题8分）已知是以、为焦点的双曲线上的动点，求的重心的轨迹方程。16、（本题4+8=12分）已知：点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程。（2）若直线与曲线相交于、两点，且。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。17、（本题4+8=12分）已知抛物线，椭圆经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上的点，设的坐标为（是已知正实数），求与之间的最短距离。18、（本题4+8=12分）设复数（、）与复平面上点对应。（1）若是关于的一元二次方程（）的一个虚根，且|，求实数的值。（2）设复数满足条件（其中，），当为奇数时，动点的轨迹为；当为偶数时，动点的轨迹为，且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程？19、（本题4+4+6=14分）双曲线：上一点到左，右两焦点距离的差为．（1）求双曲线的方程；（2）设，是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，求的面积；（3）过作直线交双曲线于，两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．参考答案和评分标准一．填空题1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；二．选择题：11、A；12、B；13、D；14、B；三．解答题15、设重心，点，因为，，则有，故代入，得所求轨迹方程，（）16、（1）解法（一）：点与点的距离比它到直线的距离小，所以点与点的距离与它到直线的距离相等。由抛物线定义得：点在以为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上，抛物线方程为。解法（二）：设动点，则当时，，化简得：，显然，但，故此时曲线不存在；当时，，化简得：。（2）设直线：与抛物线的交点为，①若斜率存在，设斜率为，则，整理后得，且，又，得由，得，即，直线为，所以过定点；②若斜率不存在，则的斜率为，，得，即直线过；综上：直线恒过定点。17．解：（1）抛物线焦点为（1，0），设椭圆方程为，（），则，所以椭圆方程为。（2）设，则。当时，，即时，；当时，，即时，；综上，。18解：（1）是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根则，所以（2）方法1：①当为奇数时，，常数），轨迹为双曲线，其方程为；②当为偶数时，，常数），轨迹为椭圆，其方程为；依题意得方程组解得，因为，所以，此时轨迹为与的方程分别是：，.方法2：依题意得轨迹为与都经过点，且点对应的复数，代入上式得