一元二次方程实根在给定范围内的充要条件及应用

一元二次方程实根在给定范围内的充要条件及应用学校：盐亭县八角初中姓名：张元勇引论：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象是开口向上，顶点横坐标X=-的抛物线。2、一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0两定实根x1、x2，由韦达定理有=-，当对应抛物线与x轴相交时，两交点横坐标分别为x1、x2，若x1<x2时则必x1<-<x2。12二、问题的引出:-若一元二次方程f（x）=0有任意实根的充要条件是△=b2-4ac≥0。若f（x）=0有实根且实根在某个给定范围（R之子集）内充要条件（即与a、b、c关系）又是怎样的？三、定理：f（x）=ax2+bx+c=0（a>0）的判别式△>0的充要条件是：存在实数m，使f（m）<0。证明：⑴若△>0，f（m）=ax2+bx+c=a（m+）2+<0。⑵若存在实根m，有f（m）<0，即a（m+）2+<0，得4ac-b2<0，即△>0，命题成立。四、推论：1、对于f(x)=ax2+bx+c=0（a>0），△>0⇔f(-)<0。2、对于f(x)=ax2+bx+c，△>0⇔af(-)<0。即a的正负号未明确时，可用该推论，亦可以分a>0，a<0讨论。五、结论：f（x）=ax2+bx+c=0（a>0）两实根X1<X2，m、n、p、r为常数。根的范围充要条件示意图m<x1<x2f(-)≤0f（m）>0->mXx1<x2<mf（-)≤0f（m）>0->mX--x1<m<x2f（m）<0Xm<X1<X2<n△>0m<-<nf（m）>0f（n）>0Xm<x1<n<x2<Pf（n）<0f（m）>0f（p）>0Xm<x1<n<P<X2<rf（m）>0f（n）<0f（p）<0f（r）>0Xx1<m<n<x2f（m）<0f（n）<0X说明：1、若“某一元二次方程实根在（a，b）内”分为①仅一根在其内（较大根或者较小根）；②两根都在其内的情形。2、联系一元二次方程、二次函数、一元二次不等式知识。六、应用举倒：例1：m为何值时，方程x2-6（m-1)x+7m-9m-1=0有两实根都在（-∞，5）内？解法1：设方程f（x）=0有两实根的充要条件是：△>0f（5）>0解得：<m<或m<2-3（m-1）<5解法2：方程f（x）=0有两实根，Δ≥0得到m<2或m>且X=3(m-1)+,只需较大的根在（-∞，5）内，3(m-1)+<5,得到m<综合得：<m<或m<2。例2：设方程f（a）=X-4x+K=0有两实根，X在区间（0，1）内，X在区间(2，5）内，K值。解：其充要条件是：f（0）>0f（1）<0即：0<K<3f（2）<0f（5）>0例3：求y=sin2θ+sinθ（θ∈R）值域。解法1：即求关于sinθ的方程sin2θ+sinθ-y=0在[-1，1]上，有解的y的范围，令f（sinθ）=sin2θ+sinθ-y=（sinθ+）2--y.⑴当一根在[-1，1]上时，只有较大的根合题，其充要条件是：f（-1）≤0且f（1）≥0，得0≤y≤2；亦可一根在[-1，1]上时⇔f(-1)f(1)≤0，同样得0≤y≤2。⑵两根都在[-1，1]上时，⇔∆≥0f（-1）≥0f（1）≥0sinθ-1<-<1--即：-≤y≤0.综上得-≤y≤2.解法2：y=（sinθ+）-当sinθ=-时，Y=-当sinθ=1时，Y=2所以-≤y≤2.例5：方程9-4.3-a=0有实根，求a的范围。解：设3=t，t∈（0，1]，则方程f（t）=t2-4t-a=（t-2）-a-4=0有实根且在（0，1]上的充要条件（只有较小根合题)是：f（0）>0f（1）≤0即：-3≤a<0例3：当m为何值时，方程f（x）=mx+4mx+2=0有两实根，且一根大于4，另一