第三章两自由度系统一

第三章两自由度系统振动自由度：描述系统运动所必需的独立坐标数。若一个系统的运动需要两个独立的坐标来描述，则此系统为一个两自由度系统。xө

第一节无阻尼自由振动系统运动微分方程的建立及其求解

由牛顿第二运动定律：矩阵形式：[M]：质量矩阵，通常是实对称矩阵，即[M]T=[M]；[K]：刚度矩阵，通常是实对称矩阵，即[K]T=[K]

；

{x}：位移向量;:加速度向量。第一节无阻尼自由振动由于无阻尼自由振动是简谐振动，故可假设微分方程的一般形式：代入（5）得方程（6）要有非零解，则关于振幅{A}的系数矩阵的行列式要等于零。即矩阵形式频率方程/特征方程固有频率/特征根对于实际的简谐运动，考虑两个正的特征根。等价方程固有振型/特征向量定义称为基频第一节无阻尼自由振动振幅比固有振型/特征向量/振型向量/模态向量模态：第一节无阻尼自由振动求解固有振型由当时当由振幅比和振幅比唯一，但固有振型不唯一。齐次运动微分方程组的解：

第一节无阻尼自由振动总结与说明1.两自由度系统有两阶固有频率；2.系统的自由振动响应是两个固有模态振动的线性组合，通常不再是简谐振动和周期振动，因为/一般不是有理数；、、、是固有特性，是确定、唯一的;四个待定常数由初始条件确定。

非周期函数第一节无阻尼自由振动例已知：I1=I2=I,K1=K2=K3=K（轴的扭转刚度）求扭转振动系统的固有频率和固有振型。解：设圆盘1，2的角位移分别为系统运动微分方程:

第一节无阻尼自由振动振型图：固有振型：第一节无阻尼自由振动进一步讨论求扭转振动系统在三种不同初始条件下的自由振动条件1第一节无阻尼自由振动条件2条件3作业：3-1、2、3、4第一节无阻尼自由振动运动微分方程频率方程振幅方程初始条件引起的自由振动振幅比第一节无阻尼自由振动由当时当由振幅比模态：固有频率固有振型解：系统边下滑边振动。设x1和x2坐标如图，x1以m1的初始位置为原点，x2以弹簧原长下端点为原点。（1）先考虑齐次方程的通解，即求解系统自由振动微分方程，可由此得关于振幅方程解得固有频率及固有振型为两个质量块m1和m2用一弹簧k相连，m1的上端用绳子拴住，放在一个与水平面成角的光滑斜面上，如图所示。若t=0时，突然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时t两质量块的位置（系统对初始条件的响应）。系统的振动微分方程为例3-13（2）表示系统作等加速下滑的刚体平动,与相对应的是简谐振动。故微分方程的全解（特解加通解）可表示为：由初始条件可得即得下滑运动振动动力学分析方法总结动力学三大定理 动量定理 动量矩定理 动能定理动力学分析方法总结动力学三大定理 动量定理 动量矩定理 动能定理

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动力学分析方法总结动力学三大定理 动量定理 动量矩定理 动能定理达朗伯原理（动静法）Lagrange方程分析力学牛顿力学Lagrange方程简介(拉氏方程)L=T-U=动能-势能，称为Lagrange函数。对于n自由度无阻尼自由振动系统，

Lagrange方程可表述为：——广义坐标和广义速度。对于2自由度系统：n=2Lagrange方程应用例3-5取为广义坐标，建立系统运动微分方程，求解固有频率。分析均质圆盘质量为m，半径为r。纯滚动条件：动能势能Lagrange函数由Lagrange方程约掉r2，整理成矩阵形式频率方程固有频率Lagrange函数方法2:动力学定理刚体平面运动微分方程即：质心运动定理+动量矩定理补充纯滚动条件6个方程

6个未知量，消去得到与方法一相同的方程。F1N1F2N2拉格朗日函数L=T-U一重为P的均匀圆柱体可在水平面上作无滑动的滚动，在圆柱体的轴B上铰接一长为l

、重为W的均匀等直杆BD，如图所示。在t=0时，圆柱体是静止的。BD杆在偏离平衡位置微小角处突然释放。求该系统的微幅振动微分方程及在此条件下的响应。解：取x及为广义坐标。取直杆质心C的最低点为系统的重力势能零点系统拉格朗日方程系统的动能为例2圆柱动能直杆动能系统的势能在微幅振动时，可略去，并有，即得振动微分方程故得由上式得频率方程求方程组的解可将两式中消去，得进而有令