广东省深圳市南山区南山实验教育集团南海中学2023-2024学年上学期九年级期中考试数学试卷

南山实验教育集团南海中学2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．y2+x＝1 D．+x2＝12．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（）A． B． C． D．4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝75．根据下列表格的对应值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.36．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（）A．3 B．4 C．4.8 D．58． 如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（）秒时△QBP与△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共5小题）11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是．12．已知，则＝．13．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为米．​14．如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为cm2．15．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为．三．解答题（共55分）16．（12分）解方程：（1）x2﹣1＝4x； （2）2x2﹣7x+3＝0；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2； （4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．17．（6分）△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并写出A'，B'，C'的坐标．18．（6分）随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以领取5枚粽子．（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．20．（8分）如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？（2）求内接正方形EFGH边长EF．21．（8分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？22．（9分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．问题发现（1）如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，＝；（2）若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，＝；类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；问题解决（4）如图3，连接EF，当CD＝时，△DEF与△ABC相似．

南海中学九年级期中参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．y2+x＝1 D．+x2＝1【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故A错误；B、x2+1＝0是一元二次方程，故B正确；C、y2+x＝1是二元二次方程，故C错误；D、+x2＝1是分式方程，故D错误；故选：B．2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；B．因为＝，所以4m＝5n，符合题意；C．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；D．因为＝，所以mn＝20，不符合题意．故选：B．3．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：总计有6种可能结果，其中我们关注的事件两个都是红球的情况有2种，∴随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为：＝．故选：B．4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故选：A．5．根据下列表格的对应值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，故选：B．6．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），∴，∵AB＝8，∴AD＝，故选：B．7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（）​A．3 B．4 C．4.8 D．5【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC•BD＝24，∴×8•BD＝24，∴BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝3，故选：A．8．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（）秒时△QBP与△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得：t＝2，当时，△BPQ∽△BCA，即，解得：t＝0.8，综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，故选：C．9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，∴∠CEO＝∠AFB＝90°，∵四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC，AB∥OC，∴∠ABF＝∠COE，∴△OCE≌△ABF（AAS），同理△BCE≌△OAF，∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，∵A（2，1），B（0，5），∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，∴OE＝4，∴点C的坐标是（﹣2，4）；故选：D．10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝BD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠F＝∠FAD，∴AD＝DF，∴BC＝DF，故①正确；∵∠BGE＝∠DGC，∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故②正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵点G为EF的中点，∴CG＝EG，∠FCG＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴BD＝BG，∴AC＝BG，∴AC：BG＝：1，故③正确；过点G作GH⊥CD于H，∵3AD＝4AB，∴设AD＝4x＝DF，AB＝3x，∴CF＝CE＝x，BD＝＝5x，∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，∴HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，∴S△DGF＝DF•HG＝x2，S△DGB＝DG•GB＝x2，∴4S△BDG＝25S△DGF；故④正确；故选：A．二．填空题（共5小题）11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k＜﹣1，故答案为：k＜﹣1．12．已知，则＝5．【解答】解：设，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴．故答案为：5．13．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为8米．【解答】解：由题意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，∴＝，解得：CD＝8，∴旗杆的高度为8米，故答案为：8．14．如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为15cm2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∵AE＝2DE，∴AE＝AD，∴＝＝＝，∴＝，＝＝，∵S△AEF＝4（cm2），∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），故答案为：15．15．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为2．​【解答】解：过H点作HM⊥AB于M点，交BE于N，如图，设AE＝x，ED＝2x，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝x，∵FH垂直平分BE，∴∠BGF＝90°，BG＝BE＝x，∵∠GBF＝∠ABE，∠BGF＝∠A＝90°，∴△BGF∽△BAE，∴BF：BE＝BG：BA，即BF：x＝x：3x，解得BF＝x，∴AF＝AB﹣BF＝3x﹣x＝x，∵∠HMB＝∠MBC＝∠C＝90°，∴四边形BCHM为矩形，∴MH＝BC，HC＝BM，∴AB＝MH，∵∠NMB＝∠HGN，∠BNM＝∠HNG，∴∠MBN＝∠NHG，在△MHF和△ABE中，，∴△MHF≌△ABE（ASA），∴FM＝AE＝x，∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，∴HC＝x，∴＝＝2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．解方程：（1）x2﹣1＝4x（公式法）；（2）2x2﹣7x+3＝0（配方法）；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．【解答】解：（1）（1）x2﹣1＝4x，整理，得x2﹣4x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝16+4＝20＞0，∴x＝＝，∴，；（2）2x2﹣7x+3＝0，2x2﹣7x＝﹣3，，，，，x＝，∴x1＝3，；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；3x（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x+x+2）＝0，x﹣2＝0或4x+2＝0，∴x1＝2，；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．[2（x+2）]2﹣（3x﹣1）2＝0，[2（x+2）+（3x﹣1）][2（x+2）﹣（3x﹣1）]＝0，（5x+3）（﹣x+5）＝0，5x+3＝0或﹣x+5＝0，∴，x2＝5．17．△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并写出A'，B'，C'的坐标．【解答】解：如图，△A'B'C'即为所作．由图可知A'（﹣2，﹣4），B'（﹣6，﹣2），C'（﹣4，﹣6）．18．随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以领取5枚粽子．（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．【解答】解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：转盘B的数字转盘A的数字4561（1，4）（1，5）（1，6）2（2，4）（2，5）（2，6）3（3，4）（3，5）（3，6）（2）（1）中表格中共有9种等可能的结果，则李老师领取到5枚粽子的结果数有三种，其概率为＝．19．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC＝＝＝10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，AB∥DC，∴∠BAF＝∠DFA，∵AF是∠DAB的平分线，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴DF＝DA＝10，∴DC＝DF+CF＝10+6＝16．20．如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？（2）求内接正方形EFGH边长EF．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC；（2）设AD与HG的交点为M，∵△AHG∽△ABC，∴，，解得：，故内接正方形EFGH的边长为．21．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？【解答】解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x